Задачи содержащие правила делимости на 2, 3, 4, 5, 9. - сложные задачи с решениями

Решение:
Числа, которые делятся и на 2 и на 3, также делятся на 6. Числа, оканчивающиеся на (0, 2, 4, 6, 8), делятся на 2, а числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3, нацело делятся на 3.
215496 оканчивается на "6", значит делится на 2.
И (2+1+5+4+9+6) = 27, что делится на 3.
Раз 215496 делится и на 2 и на 3, значит оно также делится на 6.

Решение:
5152 делится на 2 потому что последняя цифра этого числа 2. Но (5+1+5+2) = 13, что НЕ делится на 3.
1980 оканчивается на "0", следовательно, делится на 2. И (1+9+8+0) = 18, что делится на 3. Значит это число делится на 2 и на 3.
9023 оканчивается на 3, что не является кратным 2, значит, оно НЕ делится на 2. И (9+0+2+3) = 14, что НЕ делится на 3.
1980 - число, которое делится одновременно на 2 и на 3.

Решение:
4+1+4+6 = 15. 15 делится на 3, но НЕ делится на 9.
2+9+5+3 = 19. 19 НЕ делится ни на 3, ни на 9.
1+8+6+3 = 18. 18 делится и на 3, и на 9. Значит, 1863 то число, которое делится одновременно на 3 и на 9

Решение:
6+3+1+3 = 13. 13 НЕ делится на 3.
5+3+1+3 = 12. 12 делится на 3. Но это число оканчивается на "3"(не кратное 2), следовательно, оно не делится на 6.
9+8+7+0 = 24. 24 делится на 3. И оно оканчивается на "0"(делится на 2). Следовательно, оно делится и на 2, и на 3 одновременно, значит, оно делится и на 6.

Решение:
1429 оканчивается на "9". Следовательно, оно не делится ни на 5, ни на 10.
8625 оканчивается на "5". Значит, оно делится на 5, но не на 10.
4620 оканчивается на "0". Значит оно делится и на 5, и на 10

Решение:
4563 оканчивается на "3", что НЕ кратно 2, значит, оно НЕ делится на 2. Но (4+5+6+3) = 18, что делится на 9.
9792 оканчивается на "2", значит оно делится на 2. И (9+7+9+2) = 27, что делится на 9. Следовательно, оно делится и на 2, и на 9 одновременно.
2302 оканчивается на "2", значит, оно делится на 2. Но (2+3+0+2) = 7, что НЕ делится на 9.

Решение:
4460 оканчивается на 0, значит оно делится на 10. Но (4+4+6+0) = 14, что НЕ делится на 9.
3969 оканчивается на 9, значит оно НЕ делится на 10. Но (3+9+6+9) = 27, что делится на 9.
1440 оканчивается на 0, значит делится на 10. И (1+4+4+0) = 9, что делится на 9. Следовательно, 1440 делится на 9 и на 10 одновременно.

Решение:
5661 оканчивается на "1", значит оно НЕ делится на 5. Но (5+6+6+1) = 18, что делится на 9.
8425 оканчивается на "5", значит оно делится на 5. Но (8+4+2+5) = 19, что НЕ делится на 9.
4590 оканчивается на "0", значит оно делится на 5. И (4+5+9+0) = 18, что делится на 9. Следовательно, 4590 одновременно делится и на 5, и на 9.

Решение:
6723 оканчивается на "3", значит оно НЕ делится на 5. Но (6+7+2+3) = 18, что делится на 3.
4875 оканчивается на "5", значит оно делится на 5. И (4+8+7+5) = 24, что делится на 3. Значит, оно делится и на 3, и на 5.
9460 оканчивается на "0", значит оно делится на 5. Но (9+4+6+0) = 19, что НЕ делится на 3.

Решение:
1908 не оканчивается на a "0", значит оно НЕ делится на 10. 1908 оканчивается на "8"(кратно 2) и (1+9+0+8) = 18 делится на 3, значит оно делится на 6.
5930 оканчивается на "0", значит оно делится на 10. 5930 оканчивается на "0"(кратно 2), но (5+9+3+0) = 17 НЕ делится на 3, значит оно НЕ делится на 6.
2700 оканчивается на "0", значит оно делится на 10. 2700 оканчивается на "0"(кратно 2) и (2+7+0+0) = 9 делится на 3, значит делится и на 6. Следовательно, оно делится и на 6, и на 10.

Решение:
5062 оканчивается на "2", значит оно делится на 2. Но НЕ делится на 5.
4390 оканчивается на "0", значит оно делится на 2. А также значит, что оно делится на 5. Следовательно, оно делится и на 2, и на 5.
7585 оканчивается на "5", значит оно НЕ делится на 2. Но оно делится на 5.

Решение:
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.

6843 оканчивается на "3"(НЕ делится на 2). Но (6+8+4+3) = 21, что делится на 3, но НЕ на 9.
9756 оканчивается на "6"(делится на 2). И (9+7+5+6) = 27, что делится и на 3, и на 9. Следовательно, оно делится и на 3, и на 6, и на 9 одновременно.
8433 оканчивается на "3"(НЕ делится на 2). Но (8+4+3+3) = 18, делится и на 3, и на 9.

Решение:
2952 = 2+9+5+2 = 18. 2952 делится на 4, потому что 52 ÷ 4 = 13. (Последние две цифры числа должны делиться на 4, чтобы всё число делилось на 4.)
Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться и на 3, и на 4.
2952 делится на 3: 2+9+5+2=18, 18 ÷ 3 = 6. Мы уже знаем, что 2952 делится на 4, потому что его последние две цифры делятся на 4. Следовательно, правильный ответ — 2952.

Решение:
Пусть число имеет вид [tex]\overline{a14b}[/tex], [tex]a\neq 0[/tex].
Делимость на [tex]5[/tex]: [tex]b=0[/tex] или [tex]b=5[/tex].
[tex]b=0[/tex]: [tex]a+1+4+0=a+5[/tex] должно делиться на [tex]3[/tex], следовательно [tex]a\in\{1; 4; 7\}[/tex].
[tex]b=5[/tex]: [tex]a+1+4+5=a+10[/tex] должно делиться на [tex]3[/tex], следовательно [tex]a\in\{2; 5; 8\}[/tex].
Это числа [tex]1140[/tex], [tex]4140[/tex], [tex]7140[/tex], [tex]2145[/tex], [tex]5145[/tex], [tex]8145[/tex] – их [tex]6[/tex].

Решение:
Если числа равны [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex], [tex]n+2[/tex], их сумма равна [tex]n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)[/tex].
Так как [tex]n[/tex] нечётно, [tex]n+1[/tex] чётно, поэтому сумма [tex]3(n+1)[/tex] делится на [tex]3[/tex] и чётна.
Сумма чётная, поэтому её последняя цифра [tex]a[/tex] чётная: [tex]a\in\{0; 2; 4; 6; 8\}[/tex].
Делимость на [tex]3[/tex]: сумма цифр [tex]7+a+9+a=16+2a[/tex] должно делиться на [tex]3[/tex]:
[tex]16+2a\in\{16; 20; 24; 28; 32\}[/tex]
Только [tex]24[/tex] делится на [tex]3[/tex], следовательно, [tex]a=4[/tex].
Проверка: [tex]2497+2498+2499=7494[/tex]

Решение:
Трёхзначные числа, кратные [tex]9[/tex]: от [tex]108=9\cdot 12[/tex] до [tex]999=9\cdot 111[/tex], т.е. [tex]111-12+1=100[/tex] чисел.
Число, которое делится и на [tex]9[/tex], и на [tex]12[/tex], делится на их наименьшее общее кратное [tex]36[/tex]. Трёхзначные числа, кратные [tex]36[/tex]: от [tex]108=36\cdot 3[/tex] до [tex]972=36\cdot 27[/tex], т.е. [tex]27-3+1=25[/tex] чисел.
Исключаем их: [tex]100-25=75[/tex].

Решение:
Пусть число имеет вид [tex]\overline{abc}=100a+10b+c[/tex], а число, записанное в обратном порядке, [tex]\overline{cba}=100c+10b+a[/tex].
[tex]\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)[/tex]
Так как [tex]99=9\cdot 11[/tex] и [tex]9=3\cdot 3[/tex], разность [tex]99(a-c)[/tex] делится на [tex]3[/tex], [tex]9[/tex] и [tex]11[/tex].