Задачи содержащие правила делимости на 2, 3, 4, 5, 9. - очень сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]28=4\cdot 7[/tex], поэтому число должно делиться на [tex]4[/tex] и на [tex]7[/tex].
Делимость на [tex]4[/tex]: [tex]\overline{4b}[/tex] делится на [tex]4[/tex], следовательно, [tex]b\in\{0; 4; 8\}[/tex].
[tex]\overline{ab}+1=10a+b+1=9a+(a+b+1)[/tex], поэтому [tex]a+b+1[/tex] делится на [tex]9[/tex]: [tex]a+b=8[/tex] или [tex]a+b=17[/tex].
[tex]b=0 \Rightarrow a=8[/tex]: [tex]63840[/tex]
[tex]b=4 \Rightarrow a=4[/tex]: [tex]63444[/tex]
[tex]b=8 \Rightarrow a=0[/tex] или [tex]a=9[/tex]: [tex]63048[/tex], [tex]63948[/tex]
Делимость на [tex]7[/tex]:
[tex]63840=7\cdot 9120[/tex]
[tex]63444=7\cdot 9063+3[/tex]
[tex]63048=7\cdot 9006+6[/tex]
[tex]63948=7\cdot 9135+3[/tex]
Ответ: [tex]63840[/tex]

Решение:
Число [tex]10^{2007}+5=100\ldots 005[/tex] имеет сумму цифр [tex]1+5=6[/tex], поэтому делится на [tex]3[/tex].
Второй множитель содержит [tex]2008[/tex] слагаемых (чётное число), поэтому сгруппируем их попарно:
[tex](2+2^2)+(2^3+2^4)+\ldots+(2^{2007}+2^{2008})=2(1+2)+2^3(1+2)+\ldots+2^{2007}(1+2)=3(2+2^3+\ldots+2^{2007})[/tex]
Значит, и второй множитель делится на [tex]3[/tex]. Произведение двух чисел, каждое из которых делится на [tex]3[/tex], делится на [tex]3\cdot 3=9[/tex].

Решение:
Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на [tex]9[/tex]. Так как [tex]N[/tex] делится на [tex]9[/tex], то на [tex]9[/tex] делятся и [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] (и они положительны).
Каждая из [tex]1998[/tex] цифр не больше [tex]9[/tex], поэтому [tex]a\le 9\cdot 1998=17982[/tex].
Значит, [tex]a[/tex] имеет не более пяти цифр, а если их пять, то первая равна [tex]1[/tex]. Поэтому [tex]b\le 1+9+9+9+9=37[/tex].
[tex]b[/tex] — кратное [tex]9[/tex], не больше [tex]37[/tex], т.е. [tex]b\in\{9; 18; 27; 36\}[/tex], и в каждом случае [tex]c=9[/tex].

Решение:
Для любого натурального [tex]x[/tex] разность [tex]x-S(x)[/tex] делится на [tex]9[/tex]. Действительно, если [tex]x=\overline{d_k\ldots d_1d_0}[/tex], то
[tex]x-S(x)=d_k(10^k-1)+\ldots+d_2(100-1)+d_1(10-1)[/tex]
а каждое число [tex]10^m-1=99\ldots 9[/tex] делится на [tex]9[/tex].
Тогда [tex]a-S(a)[/tex] и [tex]2a-S(2a)[/tex] делятся на [tex]9[/tex], а значит, и их разность:
[tex](2a-S(2a))-(a-S(a))=a-(S(2a)-S(a))=a-0=a[/tex]
Следовательно, [tex]a[/tex] делится на [tex]9[/tex].