Zadaci o zajedničkom radu - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka su zajedno radili [tex]x[/tex] dana:
[tex]x\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)+\dfrac{3}{8}=1 \Rightarrow \dfrac{5x}{24}=\dfrac{5}{8} \Rightarrow x=3[/tex]
[tex]3+3=6[/tex]

Rešenje:
Svaki bi sam radio [tex]10[/tex] sati, tj. uradio bi [tex]\frac{1}{10}[/tex] porudžbine za sat. Nove produktivnosti su [tex]\frac{1}{10}[/tex] i [tex]1{,}4\cdot \frac{1}{10}=\frac{7}{50}[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{50}=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}[/tex]
[tex]\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}[/tex] h = [tex]4[/tex] h [tex]10[/tex] min

Rešenje:
Neka je radio [tex]t[/tex] sati normalnom brzinom ([tex]\frac{1}{8}[/tex] norme za sat) i [tex]t[/tex] sati dvostrukom brzinom:
[tex]\dfrac{t}{8}+\dfrac{2t}{8}=1 \Rightarrow t=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}[/tex]
Radio je [tex]2t=5\frac{1}{3}[/tex] h = [tex]5[/tex] h [tex]20[/tex] min, pa je otišao [tex]2[/tex] h [tex]40[/tex] min ranije.

Rešenje:
Posao iznosi [tex]6\cdot 45=270[/tex] radnih sati. Ako je trajao [tex]T[/tex] sati:
[tex]6T+3\cdot \dfrac{T}{2}=270 \Rightarrow 7{,}5T=270 \Rightarrow T=36[/tex]

Rešenje:
Posao iznosi [tex]30\cdot 10=300[/tex] radnih dana. Za prva [tex]3[/tex] dana urađeno je [tex]90[/tex], a ostaje [tex]210[/tex]. Preostalih [tex]25[/tex] radnika radi po [tex]1{,}4[/tex] jedinice dnevno, ukupno [tex]35[/tex]:
[tex]210:35=6; 3+6=9[/tex]
Posao je završen [tex]9[/tex]. dana, dan pre roka.

Rešenje:
Tom ofarba [tex]\frac{0{,}75}{2}=\frac{3}{8}[/tex] ograde za sat, a Hak [tex]\frac{0{,}6}{2}=\frac{3}{10}[/tex]. Tomovih samostalnih [tex]10\%[/tex] trajalo je:
[tex]0{,}1:\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{15}[/tex]
tj. [tex]16[/tex] min. Zajedno farbaju [tex]\frac{3}{8}+\frac{3}{10}=\frac{27}{40}[/tex] za sat, pa preostalih [tex]90\%[/tex] traje [tex]0{,}9:\frac{27}{40}=\frac{4}{3}[/tex] h = [tex]1[/tex] h [tex]20[/tex] min. Ukupno: [tex]1[/tex] h [tex]36[/tex] min.

Rešenje:
Neka cevi pune [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] bazena za sat. Saberimo tri uslova:
[tex]2(a+b+c)=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{7+5+4}{140}=\dfrac{16}{140}[/tex]
[tex]a+b+c=\dfrac{8}{140}=\dfrac{2}{35}[/tex]
[tex]\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}[/tex] h = [tex]17[/tex] h [tex]30[/tex] min

Rešenje:
Neka je posle [tex]6{:}00[/tex] prošlo [tex]t[/tex] sati. Neizorani delovi su [tex]1-\frac{t}{8}[/tex] i [tex]1-\frac{t-1}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{11-t}{10}=2\cdot \dfrac{8-t}{8} \Rightarrow 4(11-t)=10(8-t) \Rightarrow 6t=36 \Rightarrow t=6[/tex]
U [tex]12{:}00[/tex] neizorani delovi su [tex]\frac{1}{4}[/tex] i [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Neka rov ima [tex]V[/tex] kubnih metara. [tex]3[/tex] h [tex]20[/tex] min [tex]=\frac{10}{3}[/tex] h, pa za sat bageri iskopaju [tex]\frac{V}{2}[/tex] i [tex]V:\frac{10}{3}=\frac{3V}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{V}{2}-\dfrac{3V}{10}=24 \Rightarrow \dfrac{V}{5}=24 \Rightarrow V=120[/tex]

Rešenje:
Neka je prva cev bila otvorena [tex]t[/tex] sati; druga je bila otvorena [tex]t-1[/tex] sati:
[tex]\dfrac{t}{9}-\dfrac{t-1}{15}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 10t-6(t-1)=45 \Rightarrow 4t=39 \Rightarrow t=9\dfrac{3}{4}[/tex]
Prva cev je bila otvorena [tex]9[/tex] h [tex]45[/tex] min (a druga [tex]8[/tex] h [tex]45[/tex] min).

Rešenje:
Za [tex]2[/tex] sata zajedno otkucaju [tex]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex] teksta, pa je za [tex]10[/tex] sati prva otkucala [tex]\frac{2}{3}[/tex]; sama bi završila za [tex]10:\frac{2}{3}=15[/tex] h. Druga za sat otkuca:
[tex]\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5-2}{30}=\dfrac{1}{10}[/tex]
Prva: [tex]15[/tex] h; druga: [tex]10[/tex] h.

Rešenje:
Neka ima [tex]x[/tex] radnika i [tex]y[/tex] dana. Posao iznosi [tex]xy[/tex] radnih dana:
[tex]xy=(x+3)(y-2)=(x+12)(y-5)[/tex]
[tex]3y-2x-6=0; 12y-5x-60=0[/tex]
[tex]4(2x+6)=5x+60 \Rightarrow x=12; y=10[/tex]
Provera: [tex]12\cdot 10=15\cdot 8=24\cdot 5=120[/tex]

Rešenje:
Neka slavine same pune bazen za [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] sati:
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}; \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=25 \Rightarrow a+b=50[/tex]
[tex]\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow ab=600[/tex]
Dakle, [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] su koreni jednačine [tex]z^2-50z+600=0[/tex], tj. [tex]20[/tex] i [tex]30[/tex] sati.

Rešenje:
Neka je prvoj ekipi potrebno [tex]x[/tex] dana, a drugoj [tex]x+3[/tex]. Prva je radila [tex]10[/tex] dana, a druga [tex]6[/tex]:
[tex]\dfrac{10}{x}+\dfrac{6}{x+3}=1 \Rightarrow x^2-13x-30=0 \Rightarrow (x-15)(x+2)=0 \Rightarrow x=15[/tex]
Provera: [tex]\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{18}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1[/tex]

Rešenje:
[tex]3[/tex] h [tex]44[/tex] min [tex]=3\frac{44}{60}=\frac{56}{15}[/tex] h. Neka su vremena [tex]x[/tex] i [tex]x+1[/tex] sati:
[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{15}{56} \Rightarrow 15x^2-97x-56=0 \Rightarrow (x-7)(15x+8)=0 \Rightarrow x=7[/tex]
Provera: [tex]\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{15}{56}[/tex]