Zadaci o zajedničkom radu - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka cevi pune bazen za [tex]x[/tex] i [tex]x+4[/tex] sati. Prva napuni polovinu za [tex]\frac{x}{2}[/tex] sati:
[tex]\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+4}\right)=\dfrac{10}{x+4}[/tex]
[tex](x+4)+x=20 \Rightarrow x=8[/tex]
Provera: [tex]4\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}[/tex]

Rešenje:
[tex]2[/tex] h [tex]24[/tex] min [tex]=\frac{12}{5}[/tex] h, pa zajedno mašine asfaltiraju [tex]\frac{2}{3}:\frac{12}{5}=\frac{5}{18}[/tex] ulice za sat. Uz [tex]b=\frac{2}{3}a[/tex]:
[tex]a+\dfrac{2}{3}a=\dfrac{5}{18} \Rightarrow a=\dfrac{1}{6}; b=\dfrac{1}{9}[/tex]
Prva mašina asfaltira polovinu ulice za [tex]3[/tex] sata, tj. do [tex]11{:}00[/tex]. [tex]t[/tex] sati posle toga:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{t}{6}=6\cdot \dfrac{t}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{2} \Rightarrow t=1[/tex]
U [tex]12{:}00[/tex] (ulica još nije završena: [tex]\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}[/tex]).

Rešenje:
Za sat cevi napune [tex]\frac{1}{5}=0{,}2[/tex] i [tex]\frac{1}{12{,}5}=0{,}08[/tex] bazena, a treća isprazni [tex]1:\frac{20}{3}=0{,}15[/tex]. Ako su prve dve radile zajedno [tex]t[/tex] sati:
[tex]0{,}28t+5\cdot 0{,}08=0{,}68 \Rightarrow 0{,}28t=0{,}28 \Rightarrow t=1[/tex]
Pražnjenje sa [tex]68\%[/tex] na [tex]50\%[/tex] traje [tex]0{,}18:0{,}15=1{,}2[/tex] h. Ukupno: [tex]1+5+1{,}2=7{,}2[/tex] h = [tex]432[/tex] min.

Rešenje:
Neka jedan mornar ispumpa [tex]p[/tex] za sat, kroz rupu ulazi [tex]w[/tex] za sat, a na početku ima [tex]V[/tex] vode:
[tex]V+6w=60p; V+4w=56p \Rightarrow w=2p; V=48p[/tex]
[tex]48p+2pt=18pt \Rightarrow 16t=48 \Rightarrow t=3[/tex]

Rešenje:
Neka je sporijoj ekipi potrebno [tex]a[/tex] dana, a bržoj [tex]b[/tex]. Pošto je [tex]\frac{75}{7}\%=\frac{3}{28}[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{28}a=\dfrac{3}{7}b-6 \Rightarrow a=4b-56[/tex]
[tex]\dfrac{1}{4b-56}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow b^2-29b+168=0 \Rightarrow (b-21)(b-8)=0[/tex]
[tex]b=8[/tex] daje [tex]a\lt 0[/tex], pa je [tex]b=21[/tex] i [tex]a=28[/tex]: sporijoj ekipi treba [tex]28[/tex] dana, a bržoj [tex]21[/tex] dan.

Rešenje:
Neka je [tex]T[/tex] stvarno vreme u minutima, a [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] produktivnosti (delova po minutu):
[tex]2p(T-12)=12; 2q(T+20)=12; (p+q)T=12[/tex]
[tex]\dfrac{6T}{T-12}+\dfrac{6T}{T+20}=12 \Rightarrow 2T^2+8T=2T^2+16T-480 \Rightarrow T=60[/tex]
[tex]p=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}[/tex] i [tex]q=\frac{6}{80}=\frac{3}{40}[/tex] delova po minutu. Za [tex]480[/tex] minuta: [tex]60[/tex] i [tex]36[/tex] delova.

Rešenje:
Neka ima [tex]n[/tex] kosača i svaki pokosi jednu jedinicu površine dnevno. Velika livada je:
[tex]n\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3n}{4}[/tex]
Dakle, mala livada je [tex]\frac{3n}{8}[/tex], a pokošeno je [tex]\frac{n}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{n}{4}[/tex]:
[tex]\dfrac{3n}{8}-\dfrac{n}{4}=\dfrac{n}{8}=1 \Rightarrow n=8[/tex]

Rešenje:
Neka ima [tex]n[/tex] radnika i svaki obavi [tex]p[/tex] posla dnevno, tj. [tex]24np=1[/tex]. Vremena rada čine aritmetički niz od [tex]T[/tex] (za prvog) do [tex]\frac{T}{5}[/tex] (za poslednjeg); njihova sredina je [tex]\frac{1}{2}\left(T+\frac{T}{5}\right)=\frac{3T}{5}[/tex]:
[tex]np\cdot \dfrac{3T}{5}=1=24np \Rightarrow \dfrac{3T}{5}=24 \Rightarrow T=40[/tex]
Posao je trajao koliko je radio prvi: [tex]40[/tex] dana.