Tekstualni zadaci - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]34+x=4(10+x) \Rightarrow 34+x=40+4x \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2[/tex]
Negativan odgovor znači da je to bilo pre [tex]2[/tex] godine: otac je imao [tex]32[/tex], a sin [tex]8[/tex]. Od sada se odnos njihovih godina samo smanjuje, pa se to više neće desiti.

Rešenje:
Idemo unazad. Ako posle prodaje od [tex]x[/tex] konja ostane [tex]y[/tex], onda je [tex]y=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}[/tex], tj. [tex]x=2y+1[/tex]:
[tex]5\to 2\cdot 5+1=11\to 2\cdot 11+1=23\to 2\cdot 23+1=47[/tex]
Provera: [tex]47-24=23[/tex], [tex]23-12=11[/tex], [tex]11-6=5[/tex].

Rešenje:
Posle prvog dana ostalo je [tex]\frac{4}{9}[/tex] knjige. Drugog dana je pročitao [tex]\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{6}[/tex] knjige. Poslednji deo je:
[tex]\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{8-3}{18}=\dfrac{5}{18}[/tex]
[tex]\dfrac{5}{18}x=40 \Rightarrow x=144[/tex]

Rešenje:
Neka ja imam [tex]h[/tex], a žena [tex]w[/tex] godina. Ja sam imao [tex]w[/tex] godina pre [tex]h-w[/tex] godina; tada je ona imala [tex]w-(h-w)=2w-h[/tex]:
[tex]h=2(2w-h) \Rightarrow 3h=4w[/tex]
[tex]h+w=63 \Rightarrow \dfrac{4w}{3}+w=63 \Rightarrow w=27; h=36[/tex]
Provera: pre [tex]9[/tex] godina ja sam imao [tex]27[/tex], a ona [tex]18[/tex], i [tex]36=2\cdot 18[/tex].

Rešenje:
[tex]\overline{ab}+63=\overline{ba} \Rightarrow 10a+b+63=10b+a \Rightarrow 9(b-a)=63 \Rightarrow b-a=7[/tex]
Zajedno sa [tex]a+b=11[/tex] dobijamo [tex]a=2[/tex], [tex]b=9[/tex]. Broj je [tex]29[/tex] (provera: [tex]29+63=92[/tex]).

Rešenje:
Neka je novčića od [tex]1[/tex] ukupno [tex]x[/tex], a od [tex]0{,}1[/tex] ukupno [tex]51-x[/tex]:
[tex]x+0{,}1(51-x)=33 \Rightarrow 0{,}9x=27{,}9 \Rightarrow x=31[/tex]
Provera: [tex]31+0{,}1\cdot 20=31+2=33[/tex]

Rešenje:
Neka je dužina deblje sveće [tex]L[/tex]; tanje je [tex]L-4[/tex]. Za [tex]2[/tex] sata deblja izgori [tex]\frac{2}{5}[/tex] dužine, a tanja [tex]\frac{2}{3}[/tex], pa su ostaci [tex]\frac{3}{5}L[/tex] i [tex]\frac{1}{3}(L-4)[/tex]:
[tex]\dfrac{3}{5}L=2\cdot \dfrac{L-4}{3} \Rightarrow 9L=10L-40 \Rightarrow L=40[/tex]
Sveće su dugačke [tex]40[/tex] i [tex]36[/tex] cm.

Rešenje:
Strane od [tex]1[/tex] do [tex]9[/tex] koriste [tex]9[/tex] cifara, a strane od [tex]10[/tex] do [tex]99[/tex] koriste [tex]90\cdot 2=180[/tex] cifara, ukupno [tex]189[/tex]. Preostale cifre pripadaju trocifrenim brojevima:
[tex](2322-189):3=2133:3=711[/tex]
[tex]99+711=810[/tex]

Rešenje:
Ako ima [tex]n[/tex] učenika, svaki daje [tex]n-1[/tex] fotografija:
[tex]n(n-1)=992=32\cdot 31 \Rightarrow n=32[/tex]

Rešenje:
Ukupno ima [tex]\frac{4\cdot 3}{2}=6[/tex] utakmica. Utakmica sa pobednikom donosi ukupno [tex]3[/tex] boda, a nerešena [tex]2[/tex]. Ako je nerešenih bilo [tex]x[/tex]:
[tex]3(6-x)+2x=16 \Rightarrow 18-x=16 \Rightarrow x=2[/tex]

Rešenje:
Neka ima [tex]m[/tex] muškaraca, [tex]w[/tex] žena i [tex]c[/tex] dece:
[tex]m+w+c=13; 2m+\dfrac{w}{2}+\dfrac{c}{4}=13[/tex]
Pomnožimo drugu jednačinu sa [tex]4[/tex] i oduzmimo prvu:
[tex]8m+2w+c=52 \Rightarrow 7m+w=39 \Rightarrow w=39-7m[/tex]
Iz [tex]w\ge 0[/tex] sledi [tex]m\le 5[/tex], a iz [tex]m+w=39-6m\le 13[/tex] sledi [tex]m\ge 5[/tex]. Dakle, [tex]m=5[/tex], [tex]w=4[/tex], [tex]c=4[/tex].
Provera: [tex]5\cdot 2+4\cdot 0{,}5+4\cdot 0{,}25=10+2+1=13[/tex]

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]n; n+1; \dots; n+8[/tex]. Njihov zbir je [tex]9n+36[/tex], pa je izbrisani broj [tex]9n+36-166=9n-130[/tex]. On je jedan od devet brojeva:
[tex]n\le 9n-130\le n+8 \Rightarrow 130\le 8n\le 138 \Rightarrow n=17[/tex]
[tex]9\cdot 17-130=23[/tex]

Rešenje:
Neka je prosečna starost [tex]10[/tex] igrača [tex]a[/tex] (zbir njihovih godina je [tex]10a[/tex]), a kapiten ima [tex]c[/tex] godina:
[tex]\dfrac{10a+c}{11}=a+1 \Rightarrow 10a+c=11a+11 \Rightarrow c=a+11[/tex]
Prosečna starost ekipe je [tex]a+1[/tex], pa je kapiten stariji od nje za [tex](a+11)-(a+1)=10[/tex] godina.

Rešenje:
U zbiru [tex]43+48+44[/tex] svaki učenik sa dve odlične ocene je brojan dva puta, a sa tri — tri puta. Kada oduzmemo parove, učenici sa tri odlične ocene potpuno nestanu, pa ih dodajemo jednom:
[tex]43+48+44-14-17-15+6=135-46+6=95[/tex]

Rešenje:
Po satu, od [tex]21{:}25[/tex] do [tex]6{:}31[/tex] prođe [tex]9[/tex] h [tex]6[/tex] min, tj. [tex]546[/tex] min. Za svaki stvarni sat ([tex]60[/tex] min) sat odbroji [tex]63[/tex] min, pa stvarno prođe:
[tex]546\cdot \dfrac{60}{63}=520[/tex]
[tex]520[/tex] min [tex]=8[/tex] h [tex]40[/tex] min, pa budilnik zvoni u [tex]6{:}05[/tex] po stvarnom vremenu. Ivo može da se izležava [tex]26[/tex] minuta.