Tekstualni zadaci - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je jeo po [tex]n[/tex] bombona dnevno tokom [tex]d[/tex] dana; u kutiji je bilo [tex]nd[/tex] bombona:
[tex](n-1)(d+9)=nd \Rightarrow 9n-d=9[/tex]
[tex](n+1)(d-6)=nd \Rightarrow d-6n=6[/tex]
[tex]3n=15 \Rightarrow n=5; d=36[/tex]
Provera: [tex]5\cdot 36=4\cdot 45=6\cdot 30=180[/tex]

Rešenje:
Neka jedna krava pojede [tex]1[/tex] jedinicu trave dnevno, na početku na livadi ima [tex]G[/tex] jedinica, a svakog dana izraste [tex]r[/tex] jedinica:
[tex]G+24r=70\cdot 24=1680; G+60r=30\cdot 60=1800[/tex]
[tex]36r=120 \Rightarrow r=\dfrac{10}{3}; G=1680-80=1600[/tex]
Za [tex]96[/tex] dana i [tex]x[/tex] krava:
[tex]96x=G+96r=1600+320=1920 \Rightarrow x=20[/tex]

Rešenje:
Neka u grupi ima [tex]n[/tex] dece prosečne starosti [tex]a[/tex], tj. zbir njihovih godina je [tex]na[/tex]:
[tex]\dfrac{na-45}{n-5}=a+1 \Rightarrow na-45=na-5a+n-5 \Rightarrow 5a-n=40[/tex]
[tex]\dfrac{na+85}{n+5}=a+1 \Rightarrow na+85=na+5a+n+5 \Rightarrow 5a+n=80[/tex]
[tex]10a=120 \Rightarrow a=12; n=20[/tex]
Provera: [tex]\dfrac{240-45}{15}=\dfrac{240+85}{25}=13[/tex]

Rešenje:
Neka je prvi prodao [tex]x[/tex] kg po ceni [tex]p[/tex], a drugi [tex]100-x[/tex] kg po ceni [tex]q[/tex]. Tada je [tex]p(100-x)=72[/tex], [tex]qx=32[/tex], a jednake sume daju [tex]px=q(100-x)[/tex]:
[tex]\dfrac{72x}{100-x}=\dfrac{32(100-x)}{x} \Rightarrow 9x^2=4(100-x)^2[/tex]
Obe strane su kvadrati pozitivnih brojeva, pa je:
[tex]3x=2(100-x) \Rightarrow 5x=200 \Rightarrow x=40[/tex]
Braća su prodala [tex]40[/tex] i [tex]60[/tex] kg. Provera: [tex]p=1{,}2[/tex], [tex]q=0{,}8[/tex] i [tex]40\cdot 1{,}2=60\cdot 0{,}8=48[/tex].

Rešenje:
Ukupna težina je [tex]46\cdot 106=4876[/tex] kg. Ako je [tex]k[/tex] sportista teže od [tex]125[/tex] kg, a ostali bar [tex]82[/tex] kg:
[tex]4876\gt 125k+82(46-k)=3772+43k \Rightarrow 43k\lt 1104 \Rightarrow k\le 25[/tex]
[tex]25[/tex] je moguće: na primer, [tex]25[/tex] sportista po [tex]126[/tex] kg, [tex]20[/tex] po [tex]82[/tex] kg i jedan od [tex]86[/tex] kg.

Rešenje:
Neka je na ulasku imao [tex]x[/tex] evra i [tex]y[/tex] centi ([tex]y\lt 100[/tex]), tj. [tex]100x+y[/tex] centi. Na izlasku je imao [tex]\frac{y}{2}[/tex] evra i [tex]x[/tex] centi, tj. [tex]50y+x[/tex] centi:
[tex]50y+x=\dfrac{100x+y}{2} \Rightarrow 100y+2x=100x+y \Rightarrow 99y=98x[/tex]
Pošto [tex]98[/tex] i [tex]99[/tex] nemaju zajednički delilac veći od [tex]1[/tex], [tex]y[/tex] je deljivo sa [tex]98[/tex]. Iz [tex]0\lt y\lt 100[/tex] dobijamo [tex]y=98[/tex] i [tex]x=99[/tex].
Provera: [tex]99{,}98:2=49{,}99[/tex]

Rešenje:
Neka ima [tex]A[/tex] gljiva prve vrste, [tex]B[/tex] druge vrste i [tex]n[/tex] berača. Svaki je dobio [tex]\frac{A}{7}+\frac{B}{9}[/tex] gljiva:
[tex]n\left(\dfrac{A}{7}+\dfrac{B}{9}\right)=A+B[/tex]
Ako je [tex]n\le 7[/tex], leva strana je najviše [tex]A+\frac{7B}{9}\lt A+B[/tex]. Ako je [tex]n\ge 9[/tex], ona je bar [tex]\frac{9A}{7}+B\gt A+B[/tex]. Dakle, [tex]n=8[/tex] (na primer, [tex]A=7[/tex], [tex]B=9[/tex] i svaki dobija po [tex]2[/tex] gljive).

Rešenje:
Neka je [tex]n[/tex] ribara ulovilo [tex]F[/tex] riba. Ostalih [tex]n-2[/tex] ribara ulovilo je [tex]F-\frac{F}{5}-\frac{F}{7}=\frac{23F}{35}[/tex] riba, pri čemu svaki više od [tex]\frac{F}{7}[/tex] i manje od [tex]\frac{F}{5}[/tex]:
[tex](n-2)\cdot \dfrac{F}{7}\lt \dfrac{23F}{35}\lt (n-2)\cdot \dfrac{F}{5}[/tex]
[tex]5(n-2)\lt 23\lt 7(n-2) \Rightarrow \dfrac{23}{7}\lt n-2\lt \dfrac{23}{5} \Rightarrow n-2=4[/tex]
Bilo je [tex]6[/tex] ribara (na primer, [tex]140[/tex] riba: [tex]28[/tex], [tex]20[/tex] i četiri ulova po [tex]23[/tex]).