Procenti - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Ako su stranice bile [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], nove stranice su [tex]1{,}2a[/tex] i [tex]0{,}9b[/tex]:
[tex]1{,}2a\cdot 0{,}9b=1{,}08ab[/tex]
Površina postaje [tex]108\%[/tex] početne, tj. povećava se za [tex]8\%[/tex] (a ne za [tex]20\%-10\%=10\%[/tex]).

Rešenje:
Posle svakog sniženja za [tex]p\%[/tex] cena se množi sa [tex]q=1-\frac{p}{100}[/tex]:
[tex]2000q^2=1280 \Rightarrow q^2=0{,}64 \Rightarrow q=0{,}8 \Rightarrow p=20[/tex]
Svako sniženje je bilo [tex]20\%[/tex]: [tex]2000\to 1600\to 1280[/tex]. ([tex]36\%[/tex] je ukupno sniženje.)

Rešenje:
Prihod = cena [tex]\cdot[/tex] broj gledalaca. Ako je cena bila [tex]p[/tex], a broj [tex]n[/tex], novi broj [tex]n_1[/tex] zadovoljava:
[tex]0{,}8p\cdot n_1=p\cdot n \Rightarrow n_1=\dfrac{n}{0{,}8}=1{,}25n[/tex]
Broj gledalaca se povećao za [tex]25\%[/tex].

Rešenje:
Suva materija se ne menja. Na početku ona čini [tex]100\%-97\%=3\%[/tex] od [tex]210[/tex]:
[tex]0{,}03\cdot 210=6{,}3[/tex]
Kasnije ona čini [tex]9\%[/tex] nove mase [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}09x=6{,}3 \Rightarrow x=70[/tex]
Iznenađujuće, masa se smanjila tri puta!

Rešenje:
Količina soli se ne menja:
[tex]0{,}05\cdot 10=0{,}5[/tex]
Posle dodavanja [tex]x[/tex] litara ona treba da čini [tex]2\%[/tex] od [tex]10+x[/tex]:
[tex]0{,}02(10+x)=0{,}5 \Rightarrow 10+x=25 \Rightarrow x=15[/tex]

Rešenje:
Neka [tex]A[/tex] košta [tex]x[/tex]; tada [tex]B[/tex] košta [tex]2x[/tex], a komplet [tex]3x[/tex]. Nova cena kompleta je
[tex]1{,}4x+1{,}25\cdot 2x=1{,}4x+2{,}5x=3{,}9x[/tex]
[tex]\dfrac{3{,}9x}{3x}=1{,}3[/tex]
Komplet poskupljuje za [tex]30\%[/tex]. (Ne za prosek [tex]32{,}5\%[/tex], jer je [tex]B[/tex] veći deo cene.)

Rešenje:
Neka je zadataka bilo [tex]x[/tex]. Posle svakog dana ostaje:
[tex]x\to 0{,}6x\to 0{,}4\cdot 0{,}6x=0{,}24x\to 0{,}7\cdot 0{,}24x=0{,}168x[/tex]
[tex]0{,}168x=21 \Rightarrow x=125[/tex]
Provera: [tex]125\to 75\to 30\to 21[/tex]

Rešenje:
Neka je Marina imala [tex]x[/tex]; tada je Lina imala [tex]200-x[/tex]. Lini je ostalo [tex]40\%[/tex], a Marini [tex]20\%[/tex] novca:
[tex]0{,}4(200-x)+0{,}2x=50 \Rightarrow 80-0{,}2x=50 \Rightarrow x=150[/tex]
Provera: [tex]0{,}4\cdot 50+0{,}2\cdot 150=20+30=50[/tex]

Rešenje:
Neka je na početku bilo [tex]n[/tex] učenika, tj. [tex]\frac{2n}{3}[/tex] devojčica. Posle odlaska [tex]4[/tex] devojčice:
[tex]\dfrac{2n}{3}-4=0{,}6(n-4)\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]10n-60=9n-36 \Rightarrow n=24[/tex]
Devojčica je bilo [tex]16[/tex]; sada ih je [tex]12[/tex] od [tex]20[/tex] učenika i [tex]\frac{12}{20}=60\%[/tex].

Rešenje:
Neka je stranica dvadesetougla [tex]a[/tex]; tada je stranica osmougla [tex]1{,}4a[/tex]. Obimi su:
[tex]8\cdot 1{,}4a=11{,}2a[/tex], [tex]20a[/tex]
[tex]\dfrac{11{,}2a}{20a}=0{,}56=56\%[/tex]
Obim osmougla je manji za [tex]100\%-56\%=44\%[/tex].

Rešenje:
Kamata za jednu godinu je [tex]3{,}5\%[/tex] od uloga [tex]x[/tex]:
[tex]0{,}035x=245 \Rightarrow x=245:0{,}035=7000[/tex]

Rešenje:
Svake godine iznos se množi sa [tex]1{,}04[/tex]:
[tex]2500\cdot 1{,}04=2600[/tex]
[tex]2600\cdot 1{,}04=2704[/tex]
(Uz prostu kamatu bilo bi samo [tex]2700[/tex]: u drugoj godini kamata se obračunava i na kamatu iz prve godine.)

Rešenje:
Zbir šest brojeva je [tex]6\cdot 32=192[/tex]. Ako je broj [tex]x[/tex], zbir ostalih pet je [tex]192-x[/tex]:
[tex]x=1{,}4\cdot \dfrac{192-x}{5} \Rightarrow 5x=268{,}8-1{,}4x \Rightarrow 6{,}4x=268{,}8 \Rightarrow x=42[/tex]
Provera: [tex]\dfrac{192-42}{5}=30[/tex], [tex]1{,}4\cdot 30=42[/tex]

Rešenje:
Povećati za [tex]150\%[/tex] znači pomnožiti sa [tex]2{,}5[/tex]. Neka su tri jednaka rezultata [tex]t[/tex]:
[tex]2{,}5a=t \Rightarrow a=0{,}4t[/tex], [tex]0{,}75b=t \Rightarrow b=\dfrac{4t}{3}[/tex], [tex]c-5=t \Rightarrow c=t+5[/tex]
[tex]0{,}4t+\dfrac{4t}{3}+t+5=87\ \Big|\cdot 15[/tex]
[tex]6t+20t+15t=1230 \Rightarrow 41t=1230 \Rightarrow t=30[/tex]
[tex]a=12[/tex], [tex]b=40[/tex], [tex]c=35[/tex]

Rešenje:
[tex]\dfrac{1{,}4a}{1{,}25b}=\dfrac{1{,}4}{1{,}25}\cdot \dfrac{a}{b}=1{,}12\cdot \dfrac{a}{b}[/tex]
Razlomak se povećava za [tex]12\%[/tex].

Rešenje:
Ukupna prodajna cena je [tex]105\%[/tex] ukupne nabavne cene:
[tex]210:1{,}05=200[/tex]
Neka je prva krava koštala [tex]x[/tex], a druga [tex]200-x[/tex]:
[tex]0{,}9x+1{,}1(200-x)=210 \Rightarrow 220-0{,}2x=210 \Rightarrow x=50[/tex]
Provera: [tex]0{,}9\cdot 50+1{,}1\cdot 150=45+165=210[/tex]