Zadaci u vezi sa deljivosti - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]28=4\cdot 7[/tex], pa broj mora biti deljiv sa [tex]4[/tex] i sa [tex]7[/tex].
Deljivost sa [tex]4[/tex]: [tex]\overline{4b}[/tex] je deljiv sa [tex]4[/tex], pa je [tex]b\in\{0; 4; 8\}[/tex].
[tex]\overline{ab}+1=10a+b+1=9a+(a+b+1)[/tex], pa je [tex]a+b+1[/tex] deljivo sa [tex]9[/tex]: [tex]a+b=8[/tex] ili [tex]a+b=17[/tex].
[tex]b=0 \Rightarrow a=8[/tex]: [tex]63840[/tex]
[tex]b=4 \Rightarrow a=4[/tex]: [tex]63444[/tex]
[tex]b=8 \Rightarrow a=0[/tex] ili [tex]a=9[/tex]: [tex]63048[/tex], [tex]63948[/tex]
Deljivost sa [tex]7[/tex]:
[tex]63840=7\cdot 9120[/tex]
[tex]63444=7\cdot 9063+3[/tex]
[tex]63048=7\cdot 9006+6[/tex]
[tex]63948=7\cdot 9135+3[/tex]
Odgovor: [tex]63840[/tex]

Rešenje:
Broj [tex]10^{2007}+5=100\ldots 005[/tex] ima zbir cifara [tex]1+5=6[/tex], pa je deljiv sa [tex]3[/tex].
Drugi činilac ima [tex]2008[/tex] sabiraka (paran broj), pa ih grupišemo u parove:
[tex](2+2^2)+(2^3+2^4)+\ldots+(2^{2007}+2^{2008})=2(1+2)+2^3(1+2)+\ldots+2^{2007}(1+2)=3(2+2^3+\ldots+2^{2007})[/tex]
Dakle, i drugi činilac je deljiv sa [tex]3[/tex]. Proizvod dva broja od kojih je svaki deljiv sa [tex]3[/tex] deljiv je sa [tex]3\cdot 3=9[/tex].

Rešenje:
Broj i zbir njegovih cifara daju isti ostatak pri deljenju sa [tex]9[/tex]. Pošto je [tex]N[/tex] deljiv sa [tex]9[/tex], sa [tex]9[/tex] su deljivi i [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] (i oni su pozitivni).
Svaka od [tex]1998[/tex] cifara je najviše [tex]9[/tex], pa je [tex]a\le 9\cdot 1998=17982[/tex].
Dakle, [tex]a[/tex] ima najviše pet cifara, a ako ih ima pet, prva je [tex]1[/tex]. Zato je [tex]b\le 1+9+9+9+9=37[/tex].
[tex]b[/tex] je sadržalac broja [tex]9[/tex] koji nije veći od [tex]37[/tex], tj. [tex]b\in\{9; 18; 27; 36\}[/tex], i u svakom slučaju [tex]c=9[/tex].

Rešenje:
Za svaki prirodan broj [tex]x[/tex] razlika [tex]x-S(x)[/tex] je deljiva sa [tex]9[/tex]. Zaista, ako je [tex]x=\overline{d_k\ldots d_1d_0}[/tex], onda je
[tex]x-S(x)=d_k(10^k-1)+\ldots+d_2(100-1)+d_1(10-1)[/tex]
a svaki broj [tex]10^m-1=99\ldots 9[/tex] je deljiv sa [tex]9[/tex].
Tada su [tex]a-S(a)[/tex] i [tex]2a-S(2a)[/tex] deljivi sa [tex]9[/tex], pa i njihova razlika:
[tex](2a-S(2a))-(a-S(a))=a-(S(2a)-S(a))=a-0=a[/tex]
Dakle, [tex]a[/tex] je deljiv sa [tex]9[/tex].