Тригонометрические уравнения - очень сложные задачи с решениями

Решение:
ОДЗ: [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Умножим на [tex]\sin ^2 x[/tex]:
[tex]3\cos^2 x+8\sin x\cos x+3\sin ^2 x=0\iff 3+4\sin 2x=0\iff\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex]
Пусть [tex]\beta=\arcsin \frac{3}{4}[/tex]. При [tex]x\in\left[0; 2\pi\right][/tex] имеем [tex]2x\in\left[0; 4\pi\right][/tex], и там [tex]\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex] имеет четыре решения:
[tex]2x=\pi+\beta; \ 2\pi-\beta; \ 3\pi+\beta; \ 4\pi-\beta[/tex]
Ни одно из них не даёт [tex]\sin x=0[/tex]. Их сумма равна [tex]10\pi[/tex], поэтому сумма корней [tex]x[/tex] равна [tex]5\pi[/tex].

Решение:
[tex]\cos A=\cos B[/tex] означает [tex]A=\pm B+2k\pi[/tex]. Со знаком плюс:
[tex]x^2-x+1=x-1+2k\iff x^2-2x+2-2k=0\iff x=1\pm\sqrt{2k-1}[/tex]
([tex]k\ge 1[/tex]). Отрицательный корень требует [tex]\sqrt{2k-1}\gt 1[/tex], т.е. [tex]k\ge 2[/tex]; наибольший такой корень равен [tex]1-\sqrt{3}\approx-0{,} 73[/tex] (при [tex]k=2[/tex]). Со знаком минус:
[tex]x^2-x+1=-x+1+2k\iff x^2=2k[/tex]
и наибольший отрицательный корень равен [tex]-\sqrt{2}\approx-1{,} 41[/tex]. Так как [tex]1-\sqrt{3}\gt-\sqrt{2}[/tex], ответ: [tex]x=1-\sqrt{3}[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]\tg \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 0[/tex], т.е. [tex]-\frac{\pi}{2}+k\pi\lt x-\frac{\pi}{4}\le k\pi[/tex], откуда [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right][/tex]. Первый множитель равен нулю при [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Для второго множителя:
[tex]\sin x+\sin 5x+2\sin 3x=2\sin 3x\cos 2x+2\sin 3x=2\sin 3x(1+\cos 2x)=4\sin 3x\cos^2 x[/tex]
[tex]\cos x=0[/tex] даёт [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], что не входит в ОДЗ. [tex]\sin 3x=0[/tex] даёт [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]; так как [tex]\frac{\pi}{3}\gt\frac{\pi}{4}[/tex], в ОДЗ лежат только [tex]x=k\pi[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]\sin x\ne 0[/tex], [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Умножим на [tex]\sin x\cos x[/tex]:
[tex]8\sin x\cos^2 x=\sqrt{3}\cos x+\sin x[/tex]
Левая часть равна [tex]4\sin 2x\cos x=2(\sin 3x+\sin x)[/tex]. Значит,
[tex]2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]
Из [tex]\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]: [tex]3x=\frac{\pi}{3}-x+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/tex]; или [tex]3x=\pi-\frac{\pi}{3}+x+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex]. Обе серии входят в ОДЗ.

Решение:
ОДЗ: [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Умножим на [tex]\cos^2 2x\cos 3x[/tex]:
[tex]\sin ^2 2x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x\sin 3x-\cos^2 2x\cos 3x=0\iff\sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x=0\iff\cos 7x=0[/tex]
Тогда [tex]x=\frac{(2k+1)\pi}{14}[/tex], и на [tex]\left[0; \pi\right][/tex] получаем [tex]k=0; 1; \dots; 6[/tex] (семь значений). При [tex]x=\frac{7\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex] имеем [tex]\cos 3x=0[/tex], поэтому оно отбрасывается; для всех значений [tex]\cos 2x\ne 0[/tex]. Значит, корней [tex]6[/tex].

Решение:
Пусть [tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Тогда [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex] и
[tex]\sin ^3 x+\cos^3 x=t(1-\sin x\cos x)=\frac{t\left(3-t^2\right)}{2}[/tex]
Уравнение принимает вид
[tex]2+3t-t^3=3t^2-3\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff(t+1)\left(t^2+2t-5\right)=0[/tex]
Корни [tex]t=-1\pm\sqrt{6}[/tex] отбрасываются, так как [tex]\sqrt{6}-1\approx 1{,} 45\gt\sqrt{2}[/tex] и [tex]-1-\sqrt{6}\lt-\sqrt{2}[/tex]. Значит, [tex]\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] или [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/tex], т.е. [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] или [tex]x=\pi+2k\pi[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]\sin x\cos x\ne 0[/tex]. Левая часть равна [tex]2\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)\in\left[-2; 2\right][/tex]. Правая часть равна [tex]t+\frac{1}{t}[/tex] при [tex]t=\tg x[/tex], поэтому [tex]|\tg x+\ctg x|\ge 2[/tex], причём равенство только при [tex]\tg x=\pm 1[/tex]. Случай [tex]\tg x=1[/tex]: [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], правая часть равна [tex]2[/tex], но [tex]7x+\frac{\pi}{4}=2\pi+7k\pi[/tex] и левая часть равна [tex]0[/tex]; корней нет. Случай [tex]\tg x=-1[/tex]: [tex]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], правая часть равна [tex]-2[/tex], и нужно
[tex]\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(-\frac{3\pi}{2}+7k\pi\right)=-1[/tex]
Это выполняется ровно при нечётных [tex]k=2m+1[/tex], поэтому [tex]x=-\frac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\frac{3\pi}{4}+2m\pi[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ge 0[/tex]. Левая часть не меньше [tex]1[/tex], а правая не больше [tex]1[/tex], поэтому обе равны [tex]1[/tex]: [tex]\cos x=1[/tex] и [tex]\sin \sqrt{2x}=0[/tex]. Тогда [tex]x=2k\pi[/tex] с целым [tex]k\ge 0[/tex] и [tex]\sqrt{2x}=n\pi[/tex], т.е. [tex]x=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex] с целым [tex]n\ge 0[/tex]. Значит, [tex]2k\pi=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex], т.е. [tex]4k=n^2\pi[/tex]. Если [tex]n\ne 0[/tex], то [tex]\pi=\frac{4k}{n^2}[/tex] было бы рациональным, что неверно. Поэтому [tex]n=k=0[/tex], и единственный корень [tex]x=0[/tex].

Решение:
Левая часть [tex]\ge 0[/tex], а правая [tex]\le 0[/tex], поэтому обе должны быть равны [tex]0[/tex]:
[tex]\cos 6x=1; \quad\sin (x-a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Первое условие даёт [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]. Второе даёт [tex]x-a=-\frac{\pi}{3}+2n\pi[/tex] или [tex]x-a=-\frac{2\pi}{3}+2n\pi[/tex]. Отсюда [tex]a=\frac{(k+1)\pi}{3}-2n\pi[/tex] или [tex]a=\frac{(k+2)\pi}{3}-2n\pi[/tex]: [tex]a[/tex] должно быть целым кратным [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], и любое такое кратное подходит. В [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] это [tex]-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{3}[/tex].

Решение:
Так как [tex]\sin 2x+\cos 2x-1=2\sin x\cos x-2\sin ^2 x[/tex], уравнение имеет вид
[tex]\sin x(2\cos x-2\sin x-a)=0[/tex]
[tex]\sin x=0[/tex] даёт корни [tex]0[/tex] и [tex]\pi[/tex]. Нужен ровно ещё один корень уравнения [tex]g(x)=\cos x-\sin x=\frac{a}{2}[/tex], отличный от [tex]0[/tex] и [tex]\pi[/tex]. Так как [tex]g(x)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], на [tex]\left[0; \frac{3\pi}{4}\right][/tex] она убывает от [tex]1[/tex] до [tex]-\sqrt{2}[/tex], а на [tex]\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right][/tex] возрастает от [tex]-\sqrt{2}[/tex] до [tex]-1[/tex].
При [tex]-1\lt\frac{a}{2}\lt 1[/tex] есть один новый корень. При [tex]\frac{a}{2}=-1[/tex] корни [tex]g[/tex] — это [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]\pi[/tex], т.е. снова один новый корень. При [tex]\frac{a}{2}=-\sqrt{2}[/tex] единственный новый корень — [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]. При [tex]-\sqrt{2}\lt\frac{a}{2}\lt-1[/tex] новых корней два, при [tex]\frac{a}{2}=1[/tex] — только [tex]x=0[/tex], в остальных случаях — ни одного. Значит, [tex]a\in\left\{-2\sqrt{2}\right\}\cup\left[-2; 2\right)[/tex].

Решение:
Пусть [tex]S[/tex] — левая часть ([tex]1010[/tex] слагаемых). Если [tex]\sin x=0[/tex], все слагаемые равны [tex]1[/tex] или все равны [tex]-1[/tex], поэтому [tex]S=\pm 1010\ne 0[/tex]. Если [tex]\sin x\ne 0[/tex], умножим на [tex]2\sin x[/tex] и используем
[tex]2\sin x\cos(2j-1)x=\sin 2jx-\sin (2j-2)x[/tex]
Сумма «телескопируется»:
[tex]2\sin x\cdot S=\sin 2020x[/tex]
Значит, [tex]S=0[/tex] тогда и только тогда, когда [tex]\sin 2020x=0[/tex] и [tex]\sin x\ne 0[/tex], т.е. [tex]x=\frac{k\pi}{2020}[/tex], где [tex]k[/tex] не делится на [tex]2020[/tex].

Решение:
На этом интервале [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Так как
[tex]\tg 3x-\tg x=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}=\frac{2\sin x}{\cos 3x}[/tex]
имеем [tex]\frac{\sin x}{\cos 3x}=\frac{1}{2}(\tg 3x-\tg x)[/tex]. Аналогично [tex]\frac{\sin 3x}{\cos 9x}=\frac{1}{2}(\tg 9x-\tg 3x)[/tex] и [tex]\frac{\sin 9x}{\cos 27x}=\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg 9x)[/tex]. Сумма равна
[tex]\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg x)=\frac{\sin 26x}{2\cos x\cos 27x}[/tex]
Значит, [tex]\sin 26x=0[/tex], [tex]x=\frac{k\pi}{26}[/tex], и интервал даёт [tex]k=-12; \dots; 12[/tex]. Для этих [tex]k[/tex] знаменатели [tex]\cos 3x[/tex], [tex]\cos 9x[/tex], [tex]\cos 27x[/tex] не равны нулю: [tex]\cos 3^m x=0[/tex] требовало бы [tex]3^m k=13(2j+1)[/tex], что невозможно при [tex]|k|\lt 13[/tex]. Итак, все [tex]25[/tex] значений — корни.