Kosinusna teorema - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]AD=BD=x[/tex], [tex]AB=c[/tex], [tex]AC=b[/tex]. Iz [tex]\triangle ABD[/tex]: [tex]x^2=c^2+x^2-2 \cdot c \cdot x \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow c=\frac{4x}{3}[/tex].
[tex]BD[/tex] je tangentna duž: [tex]BD=\frac{a+c-b}{2}[/tex], odakle je [tex]b=9+\frac{4x}{3}-2x=9-\frac{2x}{3}[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]\left(9-\frac{2x}{3}\right)^2=81+\frac{16x^2}{9}-2 \cdot 9 \cdot \frac{4x}{3} \cdot \frac{2}{3}[/tex].
[tex]81-12x+\frac{4x^2}{9}=81+\frac{16x^2}{9}-16x \Rightarrow 4x=\frac{12x^2}{9} \Rightarrow x=3[/tex].
[tex]AB=\frac{4 \cdot 3}{3}=4[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AB=9k[/tex], [tex]CD=6k[/tex], [tex]AC=7k[/tex] [tex](AB \parallel CD)[/tex] i [tex]\angle BAC=\angle ACD=\varphi[/tex].
[tex]\triangle ACD[/tex]: [tex]AD^2=49k^2+36k^2-84k^2\cos\varphi[/tex]; [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]BC^2=81k^2+49k^2-126k^2\cos\varphi[/tex].
Eliminacijom [tex]\cos\varphi[/tex]: [tex]2BC^2-3AD^2=5k^2[/tex].
Ako je [tex]AD=12[/tex], [tex]BC=9[/tex]: [tex]162-432<0[/tex] – nemoguće. Zato je [tex]AD=9[/tex], [tex]BC=12[/tex]: [tex]288-243=45=5k^2[/tex], [tex]k=3[/tex].
Osnovice su [tex]27[/tex] i [tex]18[/tex], a srednja linija je [tex]\frac{27+18}{2}=22{,}5[/tex].

Rešenje:
Prema sinusnoj teoremi [tex]AB=2R\sin\angle ACB \Rightarrow \sin\angle ACB=\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\angle AMC=\angle BMD=120^\circ[/tex] (unakrsni uglovi), pa je [tex]\angle ACB<60^\circ[/tex] i [tex]\angle ACB=30^\circ[/tex].
Tada je [tex]\angle MAC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ[/tex] i [tex]AM=MC[/tex].
Neka je [tex]BM=2x[/tex], [tex]MC=AM=3x[/tex]. [tex]\angle AMB=60^\circ[/tex]. Iz [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]R^2=9x^2+4x^2-2 \cdot 3x \cdot 2x \cdot \frac{1}{2}=7x^2 \Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{7}}[/tex].
[tex]BC=5x=\frac{5R\sqrt{7}}{7}[/tex].

Rešenje:
Rotiramo [tex]\triangle AOB[/tex] oko [tex]A[/tex] za [tex]60^\circ[/tex] tako da [tex]B[/tex] pređe u [tex]C[/tex], a [tex]O[/tex] u [tex]O'[/tex]. Tada je [tex]AO'=3[/tex], [tex]CO'=BO=4[/tex], [tex]\angle OAO'=60^\circ[/tex].
[tex]\triangle AOO'[/tex] je jednakostraničan: [tex]OO'=3[/tex], [tex]\angle AO'O=60^\circ[/tex].
U [tex]\triangle OO'C[/tex]: [tex]3^2+4^2=5^2[/tex], pa je [tex]\angle OO'C=90^\circ[/tex] i [tex]\angle AO'C=150^\circ[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle AO'C[/tex]: [tex]AC^2=9+16-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=25+12\sqrt{3}[/tex].
[tex]AC=\sqrt{25+12\sqrt{3}}[/tex].

Rešenje:
Rotiramo [tex]\triangle CBM[/tex] oko [tex]B[/tex] za [tex]90^\circ[/tex] tako da [tex]C[/tex] pređe u [tex]A[/tex], a [tex]M[/tex] u [tex]M'[/tex]. Tada je [tex]BM'=2[/tex], [tex]AM'=CM=3[/tex], [tex]\angle MBM'=90^\circ[/tex].
[tex]\triangle MBM'[/tex] je jednakokraki pravougli: [tex]MM'^2=8[/tex], [tex]\angle BMM'=45^\circ[/tex].
U [tex]\triangle AMM'[/tex]: [tex]AM^2+MM'^2=1+8=9=AM'^2[/tex], pa je [tex]\angle AMM'=90^\circ[/tex].
[tex]\angle AMB=\angle AMM'+\angle M'MB=90^\circ+45^\circ=135^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AB=t[/tex], [tex]AD=t+24[/tex]. Iz [tex]\triangle ABD[/tex]: [tex]56^2=t^2+(t+24)^2-t(t+24)=t^2+24t+576[/tex].
[tex]t^2+24t-2560=0 \Rightarrow t=40[/tex], [tex]AD=64[/tex].
Iz [tex]AB^2=AC \cdot AD[/tex]: [tex]AC=\frac{1600}{64}=25[/tex].
Iz [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]BC^2=1600+625-2 \cdot 40 \cdot 25 \cdot \frac{1}{2}=1225[/tex], [tex]BC=35[/tex].

Rešenje:
Četvorougao je tetivni: [tex]\angle ADC=120^\circ[/tex]. U njega se može upisati kružnica: [tex]AB+CD=BC+DA[/tex], tj. [tex]CD=DA+10[/tex]. Neka je [tex]DA=y[/tex].
[tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AC^2=400+900-2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2}=700[/tex].
[tex]\triangle ACD[/tex]: [tex]700=(y+10)^2+y^2+y(y+10)=3y^2+30y+100[/tex].
[tex]y^2+10y-200=0 \Rightarrow y=10[/tex].
[tex]DA=10[/tex], [tex]CD=20[/tex].

Rešenje:
[tex]AD=17[/tex]. Prema svojstvu simetrale ugla: [tex]\frac{AB}{BD}=\frac{6{,}8}{10{,}2}=\frac{2}{3}[/tex]. Neka je [tex]BD=x[/tex], [tex]AB=\frac{2x}{3}[/tex], [tex]AC=x+2[/tex].
Za paralelogram (sledi iz kosinusne teoreme): [tex]AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)[/tex].
[tex](x+2)^2+x^2=2\left(\frac{4x^2}{9}+289\right) \Rightarrow 5x^2+18x-2583=0[/tex].
[tex]x=\frac{-18+228}{10}=21[/tex].
[tex]BD=21[/tex], [tex]AC=23[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]BC=a[/tex], [tex]AC=b[/tex]. Iz površina: [tex]\frac{1}{2}ab\sin 120^\circ=\frac{1}{2}(a+b)l_c\sin 60^\circ \Rightarrow l_c=\frac{ab}{a+b}[/tex].
[tex]c^2=a^2+b^2+ab[/tex] i [tex]t_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{a^2+b^2-ab}{4} \Rightarrow a^2+b^2-ab=19[/tex].
Za [tex]s=a+b[/tex], [tex]q=ab[/tex]: [tex]q=\frac{15s}{8}[/tex] i [tex]s^2-3q=19 \Rightarrow 8s^2-45s-152=0 \Rightarrow s=8[/tex], [tex]q=15[/tex].
[tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] su [tex]3[/tex] i [tex]5[/tex], [tex]c^2=9+25+15=49[/tex], [tex]c=7[/tex].

Rešenje:
Težišna duž: [tex]4t_c^2=2a^2+2b^2-c^2 \Rightarrow 1476=2(a^2+b^2)-1764 \Rightarrow a^2+b^2=1620[/tex].
Simetrala ugla: [tex]l_c=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}[/tex], a iz kosinusne teoreme [tex]\cos^2\frac{\gamma}{2}=\frac{1+\cos\gamma}{2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{4ab}[/tex], tj. [tex]l_c^2=\frac{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}{(a+b)^2}[/tex].
Za [tex]s=a+b[/tex], [tex]q=ab=\frac{s^2-1620}{2}[/tex]: [tex](s^2-1620)(s^2-1764)=512s^2[/tex], tj. [tex]s^4-3896s^2+2857680=0[/tex].
[tex]s^2=2916[/tex] ili [tex]s^2=980[/tex]. Ali [tex]s>c=42[/tex], pa je [tex]s=54[/tex], [tex]q=648[/tex].
[tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] su rešenja jednačine [tex]t^2-54t+648=0[/tex]: [tex]18[/tex] i [tex]36[/tex].

Rešenje:
[tex]\angle APB=\angle AMB[/tex], a [tex]P[/tex] i [tex]M[/tex] su sa iste strane prave [tex]AB[/tex], pa [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]M[/tex], [tex]P[/tex] leže na jednoj kružnici.
Tada je [tex]CP \cdot CA=CM \cdot CB[/tex], tj. [tex]\frac{b}{2} \cdot b=\frac{a}{2} \cdot a[/tex] i [tex]a=b[/tex].
[tex]c^2=2a^2-2a^2 \cdot 0{,}8=0{,}4a^2[/tex].
[tex]BP^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}=\frac{a^2+0{,}8a^2}{4}=0{,}45a^2=1 \Rightarrow a^2=\frac{20}{9}[/tex].
[tex]P_{ABC}=\frac{1}{2}a^2\sin\gamma=\frac{1}{2} \cdot \frac{20}{9} \cdot 0{,}6=\frac{2}{3}[/tex].

Rešenje:
Prave [tex]AC[/tex] i [tex]AA_1[/tex] su sečice iz [tex]A[/tex] prema kružnici: [tex]AB_1 \cdot AC=AM \cdot AA_1[/tex].
[tex]\frac{b}{2} \cdot b=\frac{2}{3}t_a \cdot t_a \Rightarrow t_a^2=\frac{3b^2}{4}[/tex].
Prema formuli za težišnu duž (sledi iz kosinusne teoreme): [tex]\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{3b^2}{4} \Rightarrow 2c^2=a^2+b^2[/tex].
[tex]2c^2=16+36=52[/tex], [tex]c^2=26[/tex].
[tex]AB=\sqrt{26}[/tex].

Rešenje:
[tex]FC=4[/tex]. Prema svojstvu simetrale [tex]BF[/tex]: [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}[/tex]. Neka je [tex]AB=3k[/tex], [tex]BC=4k[/tex].
Za simetralu [tex]AD[/tex]: [tex]\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{5}{4k-5}=\frac{7}{3k} \Rightarrow k=\frac{35}{13}[/tex], tj. [tex]AB=\frac{105}{13}[/tex], [tex]BC=\frac{140}{13}[/tex].
[tex]\cos\angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}=\frac{49+\frac{8575}{169}}{\frac{1960}{13}}=\frac{43}{65}[/tex].
Iz [tex]\triangle CDF[/tex]: [tex]DF^2=25+16-2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{43}{65}=41-\frac{344}{13}=\frac{189}{13}[/tex].
[tex]DF=\sqrt{\frac{189}{13}}=\frac{3\sqrt{273}}{13}[/tex].

Rešenje:
Iz [tex]\triangle DEK[/tex]: [tex]\cos\angle DEK=\frac{1600+7056-4624}{2 \cdot 40 \cdot 84}=\frac{4032}{6720}=\frac{3}{5}[/tex].
[tex]\angle DEK=90^\circ-\angle KEB=\angle ABC[/tex] (iz pravouglog [tex]\triangle EKB)[/tex]. Dakle, [tex]\cos\angle B=\cos\angle A=\frac{3}{5}[/tex], [tex]\sin\angle B=\frac{4}{5}[/tex], [tex]\operatorname{tg}\angle A=\frac{4}{3}[/tex].
[tex]AE=\frac{DE}{\operatorname{tg}\angle A}=30[/tex], [tex]EB=\frac{EK}{\sin\angle B}=105[/tex], [tex]AB=135[/tex].
[tex]AC=BC=\frac{AB}{2\cos\angle A}=\frac{135}{2} \cdot \frac{5}{3}=112{,}5[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]BC=x[/tex]: [tex]37=9+x^2-3x \Rightarrow x^2-3x-28=0 \Rightarrow x=7[/tex].
[tex]D[/tex] je središte luka [tex]AC[/tex], pa je [tex]AD=CD[/tex], a [tex]\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex]. Iz [tex]\triangle ADC[/tex]: [tex]AC^2=3AD^2 \Rightarrow AD^2=\frac{37}{3}[/tex].
Iz [tex]\triangle ABD[/tex] sa [tex]\angle ABD=30^\circ[/tex]: [tex]\frac{37}{3}=9+BD^2-2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], tj. [tex]BD^2-3\sqrt{3}BD-\frac{10}{3}=0[/tex].
[tex]BD=\frac{3\sqrt{3}+\frac{11}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}[/tex] (drugo rešenje je negativno).

Rešenje:
[tex]AM=\frac{10}{3}[/tex], [tex]BM=\frac{8}{3}[/tex], [tex]P_{AMB}=\frac{P}{3}=\frac{8}{3}[/tex].
[tex]\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \sin\angle AMB=\frac{8}{3} \Rightarrow \sin\angle AMB=\frac{3}{5}[/tex]; ugao je tup, pa je [tex]\cos\angle AMB=-\frac{4}{5}[/tex].
[tex]AB^2=\frac{100}{9}+\frac{64}{9}+2 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{292}{9}[/tex].
[tex]ML[/tex] je težišna duž [tex]\triangle AMB[/tex]: [tex]ML^2=\frac{2AM^2+2BM^2-AB^2}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{200}{9}+\frac{128}{9}-\frac{292}{9}\right)=1[/tex].
[tex]CL=3 \cdot ML=3[/tex].

Rešenje:
Produžimo [tex]CM[/tex] do tačke [tex]D[/tex] tako da je [tex]MD=CM[/tex]. [tex]ACBD[/tex] je paralelogram: [tex]AD=BC=4[/tex], [tex]AD \parallel BC[/tex].
Neka je [tex]\angle BCM=\varphi[/tex], tada je [tex]\angle ACM=180^\circ-2\varphi[/tex] i [tex]\angle ADC=\angle BCD=\varphi[/tex].
U [tex]\triangle ACD[/tex]: [tex]\angle CAD=180^\circ-(180^\circ-2\varphi)-\varphi=\varphi=\angle ADC[/tex], pa je [tex]CD=AC=7[/tex] i [tex]CM=\frac{7}{2}[/tex].
Prema formuli za težišnu duž: [tex]4 \cdot \frac{49}{4}=2 \cdot 49+2 \cdot 16-AB^2 \Rightarrow AB^2=81[/tex].
[tex]AB=9[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]\beta=2\alpha[/tex], iz sinusne teoreme [tex]\frac{b}{a}=\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha[/tex], a iz kosinusne [tex]\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]. Odatle [tex]b^2c=a(b^2+c^2-a^2)[/tex], tj. [tex]b^2(c-a)=a(c-a)(c+a)[/tex] i [tex]b^2=a(a+c)[/tex].
Neka su stranice [tex]n-1[/tex], [tex]n[/tex], [tex]n+1[/tex] (veći ugao leži naspram veće stranice).
Najveći ugao je dva puta veći od najmanjeg: [tex](n+1)^2=(n-1)(2n-1) \Rightarrow n^2-5n=0 \Rightarrow n=5[/tex].
Srednji je dva puta veći od najmanjeg: [tex]n^2=(n-1)2n \Rightarrow n=2[/tex] – stranice [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], nema trougla.
Najveći je dva puta veći od srednjeg: [tex](n+1)^2=n(2n+1) \Rightarrow n^2-n-1=0[/tex] – nema prirodnog rešenja.
Odgovor: stranice su [tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex]. (Provera: [tex]\cos\alpha=\frac{3}{4}[/tex], [tex]\cos\gamma=\frac{1}{8}=2 \cdot \frac{9}{16}-1=\cos 2\alpha[/tex].)

Rešenje:
Neka je [tex]AL[/tex] simetrala, a [tex]I[/tex] centar upisane kružnice. [tex]BI[/tex] je simetrala ugla u [tex]\triangle ABL[/tex], a [tex]BL=\frac{ac}{b+c}[/tex]:
[tex]\frac{AI}{IL}=\frac{AB}{BL}=\frac{b+c}{a}=\frac{8}{7}[/tex]. Neka je [tex]b+c=8k[/tex], [tex]a=7k[/tex].
[tex]a^2=b^2+c^2+bc=(b+c)^2-bc \Rightarrow 49k^2=64k^2-bc \Rightarrow bc=15k^2[/tex], tj. stranice [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] su [tex]3k[/tex] i [tex]5k[/tex].
Kosinus ugla naspram [tex]3k[/tex]: [tex]\frac{49+25-9}{2 \cdot 7 \cdot 5}=\frac{13}{14}[/tex]; kosinus ugla naspram [tex]5k[/tex]: [tex]\frac{49+9-25}{2 \cdot 7 \cdot 3}=\frac{11}{14}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]ABCD[/tex] [tex](AB \parallel CD)[/tex], [tex]AD=8[/tex], [tex]BC=3[/tex], produžeci krakova seku se u [tex]P[/tex], [tex]PD=x[/tex], [tex]PC=y[/tex].
[tex]\triangle DPC \sim \triangle APB[/tex]: [tex]\frac{x+8}{x}=\frac{y+3}{y} \Rightarrow y=\frac{3x}{8}[/tex].
[tex]CD^2=x^2+y^2-xy=\frac{49x^2}{64} \Rightarrow CD=\frac{7x}{8}[/tex], [tex]AB=CD \cdot \frac{x+8}{x}=\frac{7(x+8)}{8}[/tex].
Upisana kružnica: [tex]AB+CD=8+3=11 \Rightarrow \frac{7(2x+8)}{8}=11 \Rightarrow x=\frac{16}{7}[/tex].
[tex]CD=2[/tex], [tex]AB=9[/tex].

Rešenje:
[tex]\cos\alpha=\frac{9+4-7}{2 \cdot 3 \cdot 2}=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\alpha=60^\circ[/tex].
Neka je [tex]BD=DE=EC=x[/tex]; tada je [tex]AD=2-x[/tex], [tex]AE=3-x[/tex].
Iz [tex]\triangle ADE[/tex]: [tex]x^2=(2-x)^2+(3-x)^2-(2-x)(3-x)=x^2-5x+7 \Rightarrow x=\frac{7}{5}[/tex].
[tex]AD=\frac{3}{5}[/tex], [tex]AE=\frac{8}{5}[/tex], [tex]P=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{25}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\angle BAD=\angle DAC=\varphi[/tex]. Pošto je [tex]AD=BD[/tex], [tex]\angle ABD=\varphi[/tex] i [tex]\angle ADC=2\varphi[/tex] (spoljašnji ugao).
Neka je [tex]BD=AD=x[/tex]; prema svojstvu simetrale [tex]DC=\frac{9x}{7}[/tex].
[tex]\triangle ABD[/tex] ([tex]\angle ADB=180^\circ-2\varphi[/tex]): [tex]49=2x^2(1+\cos 2\varphi)[/tex].
[tex]\triangle ADC[/tex]: [tex]81=x^2+\frac{81x^2}{49}-2 \cdot x \cdot \frac{9x}{7} \cdot \cos 2\varphi[/tex].
Zamenom [tex]\cos 2\varphi=\frac{49}{2x^2}-1[/tex]: [tex]81=\frac{256x^2}{49}-63 \Rightarrow x=\frac{21}{4}[/tex].
[tex]BC=x+\frac{9x}{7}=\frac{16x}{7}=12[/tex].

Rešenje:
[tex]BM=4[/tex], [tex]MP=2[/tex], [tex]CM=6[/tex], [tex]MQ=3[/tex].
[tex]\triangle BMC[/tex]: [tex]BC^2=16+36+2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}=76[/tex], [tex]BC=2\sqrt{19}[/tex].
[tex]\angle BMQ=60^\circ[/tex]: [tex]BQ^2=16+9-12=13[/tex], [tex]AB=2BQ=2\sqrt{13}[/tex].
[tex]\angle CMP=60^\circ[/tex]: [tex]CP^2=36+4-12=28[/tex], [tex]AC=2CP=4\sqrt{7}[/tex].

Rešenje:
Visine iz [tex]O[/tex] u tri trougla jednake su [tex]r[/tex], pa je [tex]AB:BC:CA=30:28:26=15:14:13[/tex]. Neka je [tex]AB=15k[/tex], [tex]BC=14k[/tex], [tex]CA=13k[/tex].
[tex]\cos A=\frac{225+169-196}{2 \cdot 15 \cdot 13}=\frac{33}{65}[/tex].
[tex]\cos B=\frac{225+196-169}{2 \cdot 15 \cdot 14}=\frac{3}{5}[/tex].
[tex]\cos C=\frac{196+169-225}{2 \cdot 14 \cdot 13}=\frac{5}{13}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]O[/tex] teme, [tex]M[/tex] tačka, a [tex]P[/tex] i [tex]Q[/tex] podnožja normala na krake: [tex]MP=\sqrt{7}[/tex], [tex]MQ=2\sqrt{7}[/tex].
U četvorouglu [tex]OPMQ[/tex] je [tex]\angle P=\angle Q=90^\circ[/tex], pa je [tex]\angle PMQ=120^\circ[/tex].
[tex]PQ^2=7+28+2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]PQ=7[/tex].
[tex]O[/tex], [tex]P[/tex], [tex]M[/tex], [tex]Q[/tex] leže na kružnici prečnika [tex]OM[/tex]. Prema sinusnoj teoremi za [tex]\triangle OPQ[/tex]: [tex]PQ=OM\sin 60^\circ[/tex].
[tex]OM=\frac{7}{\sin 60^\circ}=\frac{14\sqrt{3}}{3}[/tex].