Sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Moramo da zamenimo x sa 0 i y sa $\frac{5}{2}$.
Ukoliko dobijemo tačne jednačine, tada tačka jeste rešenje.

$5(0) +2(\frac{5}{2}) = 0 + 5 = 5 \neq 1$

Tačka ne zadovoljava prvu jednačinu, stoga nije rešenje.

Rešenje:
Zamenjujemo x sa 1 i y sa 3 u svakoj jednačini.
$2(1) -3 =2 -3 = -1$
$3(1) +3 =3 +3 =6$
Tačka $(1; 3)$ zadovoljava obe jednačine, stoga ona jeste rešenje.

Rešenje:
Svaki sistem jednačina ima 3 moguća tipa rešenja:
I) jedinstveno rešenje (Prave se seku u jednoj tački.)
II) beskonačno mnogo rešenja (Prave su podudarne)
III) nema rešenja (Prave su paralelne i nemaju nijednu zajedničku tačku.)
Pogledaj sliku.

Sistem dve linearne jednačine nikada ne može imati tačno dva rešenja. Ako ima dva rešenja pripada tipu II.

Ako prvu jednačinu pomnožimo sa (-3) dobijamo drugu jednačinu. Ovo znači da su jednačine ekvivalentne i da sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Tačke sa koordinatama (1, 3) i (-1, -1), zadovoljavaju obe jednačine, stoga je to tačna opcija.
C) (1, 3) i (-1, -1)

Rešenje:
Kada sistem jednačina ima beskonačno mnogo rešenja to ne znači da je svaka tačka ravni rešenje, to možemo proveriti ukoliko uzmemo bilo koju nasumičnu tačku $(2 ,1)$ koje ne zadovoljava nijednu jednačinu. Stoga ona ne može biti rešenje sistema.
Hajde da sada proverimo da li prethodni sistem jednačina ima bskonačno mnogo rešenja, primećujemo da ako pomnožimo prvu jednačinu sa 3, dobijemo drugu jednačinu.

$(3) \ast (x +2y =1)$ $ \Longrightarrow 3x +6y =3$
To znači da su jednačine ekvivalentne. Rešavamo jednu od njih.
$x +2y =1 \Longrightarrow x =1 -2y$
Možemo potvrditi da tačke ravni koje zadovoljavaju ovaj odnos su rešenja sistema (ako radimo sa drugom jednačinom dobijamo isti rezultat). Sve tačke $(\mathbf{x} ,\mathbf{y}) =(1 -2\mathbf{y} ,\mathbf{y})$ su rešenja
Ako zamenimo $y$ bilo kojim realnim brojem, dobijamo odgovarajuću vrednost $x$. Možemo zameniti $y$ sa beskonačno brojeva i dobijamo vrednost $x$.
Primer
$y =1 \Longrightarrow x = -1$ Pa je tačka $( -1 ,1)$ rešenje sistema jednačina.
$y =2 \Longrightarrow x = -3$ Pa je tačka $( -3 ,2)$ rešenje sistema jednačina.
Očigledno sistem ima beskonačno mnogo rešenja, ali bilo koja proizvoljna tačka poput $(2 ,1)$, nije rešenje sistema.

Rešenje:
Dve prave predstavljaju dati sistem jednačina.
Takođe primećujemo da postoji tačka preseka obe prave. Ta tačka je
(2, 3) gde je x = 2, y = 3. Ona pripada obema pravama i zadovoljava obe jednačine.
Stoga je tačka (2, 3) jedino rešenje.

Odgovor: Sistem ima jedinstveno rešenje.

Rešenje:
Ove prave su podudarne. Imaju beskonačan broj zajedničkih tačaka koje su rešenja obe jednačine.

Odgovor: Sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Rešenje:
Prave su paralelne. Nemaju nijednu zajedničku tačku.
Stoga ne postoje tačke (x, y) koje zadovoljavaju obe jednačine istovremeno.

Odgovor: Sistem nema rešenja.

Rešenje:
Crvena i plava linija proaze kroz dve tačke koje su označene na slici.
Ove tačke moraju da zadovolje obe jednačine sistema. Razmotrimo opciju B)
Prva jednačina je validna kada zamenimo x i y sa tačkama $(-2, 0)$ i $(10 ,8)$, ša jednačina $6\mathbf{y} -4\mathbf{x} =8$ predstavlja crvenu liniju na slici.
Slično, druga jednačina je potvrđena ukoliko vrednosti zamenimo tačkama $(6 ,0)$ i $(10 ,8)$, pa jednačina predstavlja plavu liniju na slici.
Preostavle opcije A, C, D ne zadovoljavaju tačke na grafikonu.

Rešenje:
Rešimo obe jednačina za "y = " (ili x = )
$y =4 -4x$
$3x -2 = -\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow y =4 -6x$
Nacrtajmo liniju $\mathbf{y} =4 -4x$ birajući proizvoljne vrednosti za x:
$x = -1 \Longrightarrow y = 8$
$x = 1 \Longrightarrow y = 0$
Pomoću te dve tačke crtamo plavu liniju.

Moramo da nacrtamo drugu jednačinu $y =4 -6x$:
$x = -1 \Longrightarrow y =10$
$x =1 \Longrightarrow y = -2$

Ova linija je crvena na slici.
Primećujemo da je tačka preseka ove dve linije $(0, 4)$. Ova tačka je rešenje sistema linearnih jednačina.

Rešenje:
Uzmimo prvu jednačinu i izrazimo vrednost x kroz y.
$x +y =3$ $ \Longrightarrow x =3 -y$
Dobijena vrednost je zamenjena u drugoj jednačini.
$2x -y =0$ $ \Longrightarrow 2(3 -y) -y =0$ $ \Longrightarrow 6 -2y -y =0$

$6 -3y =0$ $ \Longrightarrow 6 =3y$ $ \Longrightarrow y =2$
Vratimo se na prvu jednačinu da nađemo x.
$x =3 -y$ $ \Longrightarrow x =3 -2 =1$
Odgovor je: x=1y=2

Rešenje:
Dobijamo varijable $\mathbf{y}$ u prvoj jednačini.
$ -5y =10x$ $ \Longrightarrow y = -2x$ sada zamenjujemo u drugoj jednačini.
$21x -7( -2x) =28$
Dobijamo vrednost $x$
$21x +14x =28$ $ \Longrightarrow 35x =28$ $ \Longrightarrow x =\frac{28}{35} =\frac{4}{5}$
Da nađemo vrednost y koristimo bilo koju od prethodnih jednačina.
$y = -2x$
$ \Longrightarrow y = -2(\frac{4}{5}) = -\frac{8}{5}$
Odgovor je $(\frac{4}{5} , -\frac{8}{5})$

Rešenje:
Prvo ćemo rešiti obe jednačine za "x ="
$5x -\frac{1}{2}y = -1$
$ \Longrightarrow 5x = -1 +\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$

$3x -2y =1$ $ \Longrightarrow 3x =1 +2y$ $ \Longrightarrow x =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Dobijamo

$ -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Možemo naći vrednost y
$\frac{1}{10}y -\frac{2}{3}y =\frac{1}{3} +\frac{1}{5}$ $ \Longrightarrow -\frac{17}{30}y =\frac{8}{15}$

$y = -\frac{16}{17}$
Možemo naći x.
$x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}( -\frac{16}{17})$

$x = -\frac{1}{5} -\frac{16}{170} = -\frac{1}{5} -\frac{8}{85} = -\frac{25}{85} = -\frac{5}{17}$
Stoga, rešenje sistema jednačina je
$x = -\frac{5}{17}\qquad y = -\frac{16}{17}$

Rešenje:
Rešavamo obe jednačine za "y = ".

$5x +1 =\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow y =10x +2$
$3x -1 =2y$ $ \Longrightarrow y =\frac{3x -1}{2}$
Izjednačavamo oba uzraza
$10x +2 =\frac{3x -1}{2}$ i nalazimo x
$20x +4 =3x -1$ $ \Longrightarrow 17x = -5$ $ \Longrightarrow x =\frac{ -5}{17}$ i nalazimo y. $y =10(\frac{ -5}{17}) +2 =\frac{-50}{17} +2 =\frac{ -16}{17}$
Odgovor:
$x =\frac{ -5}{17}$ $y =\frac{-16}{17}$

Rešenje:
Pomnoži prvu jednačinu sa -3 a drugu sa 2.
$\begin{array}{c} -6x -9y =3 \\ 6x +8y =0\end{array}$
Saberi ove jednačine.

$ -6x -9y +6x +8y =3 +0$ $ \Longrightarrow -y =3$ $ \Longrightarrow y = -3$
Zameni ovu vrednost u prvoj jednačini.
$2x +3( -3) = -1$ $ \Longrightarrow 2x =9 -1$ $ \Longrightarrow x =4$
Rešenje sistema je x = 4, y = -3

Rešenje:
Da bismo sabrali jednačine tako da jedna nepoznata nestane, koeficijenti uz nepoznatu moraju biti jednaki ali sa različitim znakom.
Zbog toga množimo prvu jednačinu sa $-\frac{1}{2}$ a drugu sa $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{c} -\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x +\frac{1}{5}y =\frac{2}{7}) \\ \frac{1}{3}(\frac{1}{2}x +\frac{1}{10}y =\frac{3}{7})\end{array}$

$ \Longrightarrow \begin{array}{c} -\frac{1}{6}x -\frac{1}{10}y = -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{6}x +\frac{1}{30}y =\frac{1}{7}\end{array}$
Ovo nam dopušta da saberemo dve jednačine i eiminišemo nepoznatu x.
$ -\frac{1}{10}y +\frac{1}{30}y =0$
$ \Longrightarrow \frac{ -2}{30}y =0$
$ \Longrightarrow y =0$
i ako zamenimo ovu vrednost u prvu jednačinu dobijamo
$\frac{1}{3}x =\frac{2}{7}$
$ \Longrightarrow x =\frac{6}{7}$

Rešenje je
$x =\frac{6}{7}\qquad y =0 $

Rešenje:
U presečnoj tački funkcije imaju jednake vrednosti:
[tex]\frac{1}{2}x-5=6-\frac{7}{8}x[/tex]
[tex]\frac{1}{2}x+\frac{7}{8}x=11 \Rightarrow \frac{11}{8}x=11 \Rightarrow x=8[/tex]
[tex]y=\frac{1}{2}\cdot 8-5=-1[/tex]
Presečna tačka je [tex](8; -1)[/tex].

Rešenje:
Simetrala drugog i četvrtog kvadranta je prava [tex]y=-x[/tex].
[tex]\begin{cases} y=-x \\ 3x-2y=10 \end{cases} \Rightarrow 3x+2x=10 \Rightarrow x=2,\ y=-2[/tex]
Presečna tačka je [tex](2; -2)[/tex].

Rešenje:
Nije potrebno posebno nalaziti [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex]. Saberimo jednačine:
[tex](x+4y)+(y+4x)=17+18 \Rightarrow 5x+5y=35 \Rightarrow x+y=7[/tex]

Rešenje:
Saberimo sve tri jednačine — svako slovo se javlja dva puta:
[tex]2(a+b+c)=9+6+7=22 \Rightarrow a+b+c=11[/tex]
[tex]\frac{a+b+c}{3}=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}[/tex]

Rešenje:
Sistem ima beskonačno mnogo rešenja kada se druga jednačina dobija iz prve množenjem brojem, tj. kada su koeficijenti proporcionalni:
[tex]\frac{6}{3}=\frac{3a}{-2}=\frac{14}{7}=2[/tex]
[tex]3a=-4 \Rightarrow a=-\frac{4}{3}[/tex]
Tada je druga jednačina [tex]6x-4y=14[/tex], tj. prva jednačina pomnožena sa [tex]2[/tex].

Rešenje:
Najpre nalazimo presečnu tačku dve prave bez parametra:
[tex]2x-1=5-x \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2,\ y=3[/tex]
Treća prava mora prolaziti kroz tačku [tex](2; 3)[/tex]: [tex]3=2a-9 \Rightarrow a=6[/tex].

Rešenje:
Zamenimo koordinate obe tačke u jednačinu:
[tex]\begin{cases} 5a-3b=1 \\ -a+b=1 \end{cases}[/tex]
Iz druge jednačine [tex]b=a+1[/tex]: [tex]5a-3a-3=1 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2[/tex], [tex]b=3[/tex].
[tex]a-b=2-3=-1[/tex]

Rešenje:
Oslobađamo se imenilaca u svakoj jednačini:
[tex]x+y=10x-5y-15 \Rightarrow 9x-6y=15 \Rightarrow 3x-2y=5[/tex]
[tex]7(2x-y)=4(x+2y) \Rightarrow 14x-7y=4x+8y \Rightarrow 10x=15y \Rightarrow x=\frac{3}{2}y[/tex]
Zamenimo u prvu jednačinu: [tex]\frac{9}{2}y-2y=5 \Rightarrow \frac{5}{2}y=5 \Rightarrow y=2[/tex], [tex]x=3[/tex].
Rešenje sistema je [tex](3; 2)[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi koje tražimo x i y.

$\begin{array}{c}2(x +y) =32 \\ x -y =0\end{array}$

Rešićemo sistem zamenom.
Iz druge jednačine dobijamo $\mathbf{x} =\mathbf{y}$
Sada menjamo vrednost u prvoj jednačini.
$2(x +x) =32$$ \Longrightarrow 4x =32$ $ \Longrightarrow x =8$
Kada se vratimo na drugu jednačinu dobijamo $\mathbf{x} =\mathbf{y} =8$

Rešenje:
Označimo brojeve sa x, y.
$\begin{array}{c}x +y =0 \\ x +123 =2y\end{array}$
Iz prve jednačine dobijamo
$x = -y$
Zamenimo u drugoj jednačini $ -y +123 =2y$ $ \Longrightarrow 123 =3y$ $\Longrightarrow y =\frac{123}{3} =41$
vodeći računa da je $x = -y$ dobijamo da je $x = -41$
Dva broja koja smo tražili su
$\begin{array}{c}x = -41 \\ y =41\end{array}$

Rešenje:
Neka je [tex]x[/tex] veći, a [tex]y[/tex] manji broj:
[tex]\begin{cases} x-y=12 \\ x-6=3y \end{cases}[/tex]
Iz prve jednačine [tex]x=y+12[/tex]: [tex]y+12-6=3y \Rightarrow 2y=6 \Rightarrow y=3[/tex], [tex]x=15[/tex].
Traženi brojevi su [tex]15[/tex] i [tex]3[/tex]. Provera: [tex]15-6=9=3\cdot 3[/tex].

Rešenje:
Neka je S broj svinja, a C broj ćuraka.
$\begin{array}{c}S + C =58 \\ 4S +2C =168\end{array}$
Koristićemo metod eliminacije da dođemo do rešenja, množeći prvu jednačinu sa (-2).
$−2S−2C=−116$
$4S+2C=168$
Sabraćemo ove jednačine i dobiti
$2S=52 \Longrightarrow S=26$
zatim
$S+C=58 \Longrightarrow 26+C=58 \Longrightarrow C=32$

Ima 26 svinja i 32 ćuraka.

Rešenje:
Označimo sa:
I: novac koji Ivan ima.
P: novac koji Petar ima.

Prateći podatke iz zadatka, dobijamo sledeće jednačine:

$\begin{array}{c}I =2P \\ I - 6 = P + 6\end{array}$
je sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate.
Zamenimo I u drugoj jednačini.
$I -6 =P +6$ $ \Longrightarrow 2P -6 =P +6$ $ \Longrightarrow 2P -P =6 +6$ $ \Longrightarrow P =12$ i sada zamenjujemo u prvoj jednačini
$I =2P =24$
Na ovaj način zaključujemo da Ivan ima 24, a Petar 12.

Rešenje:
Neka je [tex]t[/tex] cena karte, a [tex]s[/tex] cena rezervacije:
[tex]\begin{cases} t+s=108 \\ t=s+102 \end{cases}[/tex]
Zamenimo [tex]t[/tex] u prvu jednačinu: [tex]s+102+s=108 \Rightarrow 2s=6 \Rightarrow s=3[/tex]
Rezervacija košta [tex]3[/tex] evra, a karta [tex]105[/tex] evra. Brzi odgovor [tex]6[/tex] je pogrešan: tada bi karta koštala [tex]108[/tex] evra, a ukupno [tex]114[/tex] evra.