Sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Oduzmimo drugu jednačinu od prve: [tex]|y-4|-2y=1[/tex].
Ako je [tex]y\geq 4[/tex]: [tex]y-4-2y=1 \Rightarrow y=-5[/tex], što ne zadovoljava uslov [tex]y\geq 4[/tex].
Ako je [tex]y\lt 4[/tex]: [tex]4-y-2y=1 \Rightarrow y=1[/tex], što zadovoljava uslov.
[tex]|x+3|=8-2y=6 \Rightarrow x=3[/tex] ili [tex]x=-9[/tex]
Rešenja su [tex](3; 1)[/tex] i [tex](-9; 1)[/tex].

Rešenje:
Saberimo prve dve jednačine: [tex](x-y+2z)+(2x+3y-z)=3x+2y+z=2+4=6[/tex].
To je upravo treća jednačina, pa ona ne daje novu informaciju. Zapravo imamo dve jednačine sa tri nepoznate.
Neka je [tex]z=t[/tex]:
[tex]\begin{cases} x-y=2-2t \\ 2x+3y=4+t \end{cases} \Rightarrow y=t,\ x=2-t[/tex]
Sistem ima beskonačno mnogo rešenja: [tex](2-t; t; t)[/tex], gde je [tex]t[/tex] proizvoljan broj.

Rešenje:
Saberimo i oduzmimo jednačine:
[tex](3x-2y)+(2x-3y)=5x-5y=(a+c)^2-(a-c)^2+6ac=4ac+6ac=10ac \Rightarrow x-y=2ac[/tex]
[tex](3x-2y)-(2x-3y)=x+y=(a+c)^2+(a-c)^2=2a^2+2c^2[/tex]
[tex]x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2}=a^2+ac+c^2[/tex], [tex]y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2}=a^2-ac+c^2[/tex]

Rešenje:
Drugu jednačinu zapišimo u istom obliku: [tex]\begin{cases} \left(a^2+1\right)x-2y=-5 \\ -4ax+4y=3 \end{cases}[/tex]
Sistem ima tačno jedno rešenje kada koeficijenti uz [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] NISU proporcionalni, tj.
[tex]\left(a^2+1\right)\cdot 4-(-2)(-4a)\neq 0 \Leftrightarrow 4a^2-8a+4\neq 0 \Leftrightarrow 4(a-1)^2\neq 0 \Leftrightarrow a\neq 1[/tex]
Za [tex]a=1[/tex] sistem postaje [tex]2x-2y=-5[/tex], [tex]-4x+4y=3[/tex], tj. [tex]x-y=-\frac{5}{2}[/tex] i [tex]x-y=-\frac{3}{4}[/tex] — nema rešenja. Primetimo da uslov [tex]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}[/tex] opisuje upravo suprotan slučaj (nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja).

Rešenje:
Sistem dve linearne jednačine ima više od jednog rešenja samo kada ima beskonačno mnogo rešenja. Za to je potrebno da koeficijenti uz [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] budu proporcionalni:
[tex]\frac{2}{a}=\frac{a}{8} \Rightarrow a^2=16 \Rightarrow a=4[/tex] ili [tex]a=-4[/tex]
Proverimo svaku vrednost:
[tex]a=4:\ \begin{cases} 2x+4y=8 \\ 4x+8y=16 \end{cases}[/tex] — druga jednačina je prva pomnožena sa [tex]2[/tex]; beskonačno mnogo rešenja.
[tex]a=-4:\ \begin{cases} 2x-4y=8 \\ -4x+8y=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-2y=4 \\ x-2y=-4 \end{cases}[/tex] — kontradikcija; nema rešenja.
Odgovor: [tex]a=4[/tex].