Sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\begin{cases} x-y=3 \\ x^2-y^2=33 \end{cases}[/tex]
Koristimo formulu za razliku kvadrata: [tex]x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3(x+y)=33 \Rightarrow x+y=11[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=3 \\ x+y=11 \end{cases} \Rightarrow x=7,\ y=4[/tex]
Traženi brojevi su [tex]7[/tex] i [tex]4[/tex].

Rešenje:
Oslobodimo se zagrada; članovi sa [tex]xy[/tex] se poništavaju:
[tex](xy+2x-y-2)-(xy+5x-2y-10)=-3x+y+8=0[/tex], pa je [tex]y=3x-8[/tex].
[tex](xy-3x+4y-12)-(xy-4x+7y-28)=x-3y+16=0[/tex]
Zamenimo u drugu jednačinu: [tex]x-3(3x-8)+16=0 \Rightarrow -8x+40=0 \Rightarrow x=5[/tex], [tex]y=3\cdot 5-8=7[/tex].
Rešenje sistema je [tex](5; 7)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo nove nepoznate [tex]u=x+y[/tex], [tex]v=x-y[/tex]:
[tex]\begin{cases} 5u-7v=2 \\ 2u-3v=4 \end{cases}[/tex]
Prvu jednačinu pomnožimo sa [tex]2[/tex], a drugu sa [tex]5[/tex]: [tex]10u-14v=4[/tex], [tex]10u-15v=20[/tex].
Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo [tex]v=-16[/tex]. [tex]5u=2+7(-16)=-110 \Rightarrow u=-22[/tex]
[tex]x=\frac{u+v}{2}=\frac{-22-16}{2}=-19[/tex], [tex]y=\frac{u-v}{2}=\frac{-22+16}{2}=-3[/tex]
Rešenje sistema je [tex](-19; -3)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo nove nepoznate [tex]u=\frac{1}{x}[/tex], [tex]v=\frac{1}{y}[/tex] ([tex]x\neq 0[/tex], [tex]y\neq 0[/tex]):
[tex]\begin{cases} 2u+v=\frac{1}{6} \\ u-3v=\frac{11}{6} \end{cases}[/tex]
Iz druge jednačine [tex]u=\frac{11}{6}+3v[/tex]: [tex]\frac{11}{3}+6v+v=\frac{1}{6} \Rightarrow 7v=-\frac{7}{2} \Rightarrow v=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]u=\frac{11}{6}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]x=\frac{1}{u}=3[/tex], [tex]y=\frac{1}{v}=-2[/tex]
Rešenje sistema je [tex](3; -2)[/tex].

Rešenje:
Prvu jednačinu pomnožimo sa [tex]\sqrt{2}[/tex], a drugu sa [tex]\sqrt{3}[/tex]:
[tex]\begin{cases} -\sqrt{6}\,x+4y=2\sqrt{3} \\ \sqrt{6}\,x-3y=-\sqrt{3} \end{cases}[/tex]
Sabiranjem jednačina dobijamo [tex]y=\sqrt{3}[/tex].
[tex]\sqrt{2}\,x-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=-1 \Rightarrow \sqrt{2}\,x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}[/tex]
Rešenje sistema je [tex]\left(\sqrt{2}; \sqrt{3}\right)[/tex].

Rešenje:
Sistem [tex]\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}[/tex] nema rešenja kada je [tex]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}[/tex] (prave su paralelne).
[tex]\frac{3}{b}=\frac{a}{6}\neq\frac{1}{1}[/tex]
[tex]\frac{3}{b}=\frac{a}{6} \Rightarrow ab=18[/tex]; [tex]\frac{a}{6}\neq 1 \Rightarrow a\neq 6[/tex]
Ako je [tex]a=6[/tex] (i [tex]b=3[/tex]), jednačine se poklapaju i sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Rešenje:
Neka otac sada ima [tex]x[/tex] godina, a sin [tex]y[/tex] godina:
[tex]\begin{cases} x-3=7(y-3) \\ x+5=3(y+5) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=7y-18 \\ x=3y+10 \end{cases}[/tex]
[tex]7y-18=3y+10 \Rightarrow 4y=28 \Rightarrow y=7[/tex], [tex]x=31[/tex]
Otac ima [tex]31[/tex] godinu, a sin [tex]7[/tex] godina. Provera: [tex]28=7\cdot 4[/tex] i [tex]36=3\cdot 12[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AB=a[/tex] i [tex]BC=b[/tex]:
[tex]\begin{cases} (a-2)(b+1)=ab \\ (a+3)(b-1)=ab \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-2b-2=0 \\ -a+3b-3=0 \end{cases}[/tex]
Sabiranjem jednačina dobijamo [tex]b-5=0 \Rightarrow b=5[/tex], [tex]a=2b+2=12[/tex].
[tex]AB=12[/tex] cm, [tex]BC=5[/tex] cm

Rešenje:
Neka je broj [tex]10a+b[/tex], gde je [tex]a[/tex] cifra desetica, a [tex]b[/tex] cifra jedinica:
[tex]\begin{cases} 10a+b=9b+4 \\ 10a+b=11a+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10a-8b=4 \\ b=a+1 \end{cases}[/tex]
[tex]10a-8(a+1)=4 \Rightarrow 2a=12 \Rightarrow a=6[/tex], [tex]b=7[/tex]
Traženi broj je [tex]67[/tex]. Provera: [tex]67=9\cdot 7+4[/tex], [tex]67=11\cdot 6+1[/tex].

Rešenje:
[tex]\begin{cases} a+b+c=1 \\ 4a+2b+c=0 \\ 9a+3b+c=3 \end{cases}[/tex]
Oduzmimo prvu jednačinu od druge i drugu od treće:
[tex]3a+b=-1[/tex], [tex]5a+b=3 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2,\ b=-7[/tex]
[tex]c=1-a-b=1-2+7=6[/tex]
[tex]f(0)=c=6[/tex]

Rešenje:
Saberimo sve četiri jednačine — svaka nepoznata se javlja tri puta:
[tex]3(x+m+t+p)=510+680+770+620=2580 \Rightarrow x+m+t+p=860[/tex]
Od ovog zbira oduzmimo svaku jednačinu:
[tex]p=860-510=350[/tex], [tex]x=860-680=180[/tex], [tex]m=860-770=90[/tex], [tex]t=860-620=240[/tex]

Rešenje:
Eliminišimo [tex]z[/tex]: od prve jednačine oduzmimo drugu, a trećoj dodajmo drugu pomnoženu sa [tex]2[/tex]:
[tex]\begin{cases} x-4y=-7 \\ 5x+3y=11 \end{cases}[/tex]
[tex]x=4y-7 \Rightarrow 5(4y-7)+3y=11 \Rightarrow 23y=46 \Rightarrow y=2[/tex], [tex]x=1[/tex]
[tex]z=6-x-y=3[/tex]
Rešenje sistema je [tex](1; 2; 3)[/tex].

Rešenje:
Uvedimo nove nepoznate [tex]u=|x+1|\geq 0[/tex], [tex]v=|y-1|\geq 0[/tex]:
[tex]\begin{cases} u+v=7 \\ u-v=1 \end{cases} \Rightarrow u=4,\ v=3[/tex]
[tex]|x+1|=4 \Rightarrow x=3[/tex] ili [tex]x=-5[/tex]
[tex]|y-1|=3 \Rightarrow y=4[/tex] ili [tex]y=-2[/tex]
Svaka vrednost [tex]x[/tex] može se kombinovati sa svakom vrednošću [tex]y[/tex], pa sistem ima [tex]4[/tex] rešenja:
[tex](3; 4)[/tex], [tex](3; -2)[/tex], [tex](-5; 4)[/tex], [tex](-5; -2)[/tex]
Česta greška je da se u drugu jednačinu zameni [tex]x=-5[/tex] umesto [tex]|x+1|=4[/tex]: u jednačini se javlja [tex]|x+1|[/tex], a ne [tex]x[/tex].