Задачи на совместную работу - сложные задачи с решениями

Решение:
Пусть они работали вместе [tex]x[/tex] дней:
[tex]x\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}\right)+\dfrac{3}{8}=1 \Rightarrow \dfrac{5x}{24}=\dfrac{5}{8} \Rightarrow x=3[/tex]
[tex]3+3=6[/tex]

Решение:
Каждый в одиночку работал бы [tex]10[/tex] часов, т.е. выполнял бы [tex]\frac{1}{10}[/tex] заказа в час. Новые производительности: [tex]\frac{1}{10}[/tex] и [tex]1{,}4\cdot \frac{1}{10}=\frac{7}{50}[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{50}=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}[/tex]
[tex]\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}[/tex] ч = [tex]4[/tex] ч [tex]10[/tex] мин

Решение:
Пусть он работал [tex]t[/tex] часов с обычной скоростью ([tex]\frac{1}{8}[/tex] нормы в час) и [tex]t[/tex] часов с удвоенной:
[tex]\dfrac{t}{8}+\dfrac{2t}{8}=1 \Rightarrow t=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}[/tex]
Он работал [tex]2t=5\frac{1}{3}[/tex] ч = [tex]5[/tex] ч [tex]20[/tex] мин, поэтому ушёл на [tex]2[/tex] ч [tex]40[/tex] мин раньше.

Решение:
Работа составляет [tex]6\cdot 45=270[/tex] человеко-часов. Если она заняла [tex]T[/tex] часов:
[tex]6T+3\cdot \dfrac{T}{2}=270 \Rightarrow 7{,}5T=270 \Rightarrow T=36[/tex]

Решение:
Работа составляет [tex]30\cdot 10=300[/tex] человеко-дней. За первые [tex]3[/tex] дня выполнено [tex]90[/tex], осталось [tex]210[/tex]. Оставшиеся [tex]25[/tex] рабочих делают по [tex]1{,}4[/tex] единицы в день, всего [tex]35[/tex]:
[tex]210:35=6; 3+6=9[/tex]
Работа закончена на [tex]9[/tex]-й день, на день раньше срока.

Решение:
Том красит [tex]\frac{0{,}75}{2}=\frac{3}{8}[/tex] забора в час, а Гек — [tex]\frac{0{,}6}{2}=\frac{3}{10}[/tex]. На свои [tex]10\%[/tex] Том потратил:
[tex]0{,}1:\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{15}[/tex]
т.е. [tex]16[/tex] мин. Вместе они красят [tex]\frac{3}{8}+\frac{3}{10}=\frac{27}{40}[/tex] в час, поэтому оставшиеся [tex]90\%[/tex] заняли [tex]0{,}9:\frac{27}{40}=\frac{4}{3}[/tex] ч = [tex]1[/tex] ч [tex]20[/tex] мин. Всего: [tex]1[/tex] ч [tex]36[/tex] мин.

Решение:
Пусть трубы наполняют [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] бассейна в час. Сложим три условия:
[tex]2(a+b+c)=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{7+5+4}{140}=\dfrac{16}{140}[/tex]
[tex]a+b+c=\dfrac{8}{140}=\dfrac{2}{35}[/tex]
[tex]\frac{35}{2}=17\frac{1}{2}[/tex] ч = [tex]17[/tex] ч [tex]30[/tex] мин

Решение:
Пусть после [tex]6{:}00[/tex] прошло [tex]t[/tex] часов. Невспаханные части равны [tex]1-\frac{t}{8}[/tex] и [tex]1-\frac{t-1}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{11-t}{10}=2\cdot \dfrac{8-t}{8} \Rightarrow 4(11-t)=10(8-t) \Rightarrow 6t=36 \Rightarrow t=6[/tex]
В [tex]12{:}00[/tex] невспаханные части равны [tex]\frac{1}{4}[/tex] и [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Пусть объём траншеи [tex]V[/tex] кубометров. [tex]3[/tex] ч [tex]20[/tex] мин [tex]=\frac{10}{3}[/tex] ч, поэтому за час экскаваторы вынимают [tex]\frac{V}{2}[/tex] и [tex]V:\frac{10}{3}=\frac{3V}{10}[/tex]:
[tex]\dfrac{V}{2}-\dfrac{3V}{10}=24 \Rightarrow \dfrac{V}{5}=24 \Rightarrow V=120[/tex]

Решение:
Пусть первая труба была открыта [tex]t[/tex] часов; вторая — [tex]t-1[/tex] часов:
[tex]\dfrac{t}{9}-\dfrac{t-1}{15}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 10t-6(t-1)=45 \Rightarrow 4t=39 \Rightarrow t=9\dfrac{3}{4}[/tex]
Первая труба была открыта [tex]9[/tex] ч [tex]45[/tex] мин (а вторая — [tex]8[/tex] ч [tex]45[/tex] мин).

Решение:
За [tex]2[/tex] часа вдвоём они набирают [tex]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex] текста, значит, за [tex]10[/tex] часов первая набрала [tex]\frac{2}{3}[/tex]; одна она справится за [tex]10:\frac{2}{3}=15[/tex] ч. Вторая набирает в час:
[tex]\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5-2}{30}=\dfrac{1}{10}[/tex]
Первая: [tex]15[/tex] ч; вторая: [tex]10[/tex] ч.

Решение:
Пусть рабочих [tex]x[/tex], а дней [tex]y[/tex]. Работа составляет [tex]xy[/tex] человеко-дней:
[tex]xy=(x+3)(y-2)=(x+12)(y-5)[/tex]
[tex]3y-2x-6=0; 12y-5x-60=0[/tex]
[tex]4(2x+6)=5x+60 \Rightarrow x=12; y=10[/tex]
Проверка: [tex]12\cdot 10=15\cdot 8=24\cdot 5=120[/tex]

Решение:
Пусть краны в одиночку наполняют бассейн за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] часов:
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}; \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=25 \Rightarrow a+b=50[/tex]
[tex]\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{12} \Rightarrow ab=600[/tex]
Значит, [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] — корни уравнения [tex]z^2-50z+600=0[/tex], т.е. [tex]20[/tex] и [tex]30[/tex] часов.

Решение:
Пусть первой бригаде нужно [tex]x[/tex] дней, а второй — [tex]x+3[/tex]. Первая работала [tex]10[/tex] дней, вторая — [tex]6[/tex]:
[tex]\dfrac{10}{x}+\dfrac{6}{x+3}=1 \Rightarrow x^2-13x-30=0 \Rightarrow (x-15)(x+2)=0 \Rightarrow x=15[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{10}{15}+\dfrac{6}{18}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1[/tex]

Решение:
[tex]3[/tex] ч [tex]44[/tex] мин [tex]=3\frac{44}{60}=\frac{56}{15}[/tex] ч. Пусть времена равны [tex]x[/tex] и [tex]x+1[/tex] часов:
[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{15}{56} \Rightarrow 15x^2-97x-56=0 \Rightarrow (x-7)(15x+8)=0 \Rightarrow x=7[/tex]
Проверка: [tex]\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{15}{56}[/tex]