Решение тригонометрических неравенств - сложные задачи с решениями

Решение:
На единичной окружности неравенство даёт
[tex]x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+2k\pi\right)[/tex]
При [tex]\pi\approx 3{,} 1416[/tex] части, лежащие в [tex]\left[0; 10\right][/tex], приблизительно равны [tex]\left[0; 1{,} 05\right][/tex], [tex]\left[2{,} 09; 3{,} 67\right)[/tex], [tex]\left(5{,} 76; 7{,} 33\right][/tex] и [tex]\left[8{,} 38; 9{,} 95\right)[/tex]. Они содержат целые числа [tex]0; 1; 3; 6; 7; 9[/tex], т.е. целых решений [tex]6[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]\cos x\ne-1[/tex] и [tex]\sin x\ne-1[/tex]; тогда оба знаменателя положительны. Умножим на [tex](1+\cos x)(1+\sin x)\gt 0[/tex] и используем [tex]\sin ^2 x+\cos^2 x=1[/tex]:
[tex]\sin x+\sin ^2 x+\cos x+\cos^2 x\ge 1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x\iff\sin x\cos x\le 0[/tex]
Значит, [tex]x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi; 2k\pi\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi; \pi+2k\pi\right][/tex]; точки [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] и [tex]x=\pi+2k\pi[/tex] не входят в ОДЗ и исключаются.

Решение:
Если [tex]x\le 0[/tex], то [tex]\sin |x|=\sin (-x)=-\sin x[/tex] и левая часть равна [tex]0[/tex], поэтому любое [tex]x\le 0[/tex] — решение. Если [tex]x\gt 0[/tex], неравенство имеет вид [tex]2\sin x\le 1[/tex], т.е. [tex]\sin x\le\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]x\in\left[\frac{5\pi}{6}+2k\pi; \frac{13\pi}{6}+2k\pi\right][/tex]
При [tex]x\gt 0[/tex] это даёт [tex]\left(0; \frac{\pi}{6}\right][/tex] и промежутки при [tex]k=0; 1; 2; \ldots[/tex] Вместе с [tex]x\le 0[/tex] получаем ответ.

Решение:
Перенесём всё влево и сгруппируем:
[tex]2\sin x(2\cos x+1)-\sqrt{2}(2\cos x+1)\lt 0\iff(2\cos x+1)\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)\lt 0[/tex]
Случай 1: [tex]\cos x\gt-\frac{1}{2}[/tex] и [tex]\sin x\lt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], откуда [tex]x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{\pi}{4}+2k\pi\right)[/tex]. Случай 2: [tex]\cos x\lt-\frac{1}{2}[/tex] и [tex]\sin x\gt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], откуда [tex]x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)[/tex]. Ответ — объединение двух случаев.

Решение:
Так как [tex]\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}[/tex], можно записать
[tex]4\sin x+6\cos x=2\sqrt{13}\sin (x+\varphi); \quad\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{13}}; \ \sin \varphi=\frac{3}{\sqrt{13}}; \ \varphi=\operatorname{arctg} \frac{3}{2}[/tex]
Неравенство принимает вид [tex]\left|\sin (x+\varphi)\right|\lt 1[/tex]. Оно не выполняется только при [tex]\sin (x+\varphi)=\pm 1[/tex], т.е. [tex]x+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]. Значит, [tex]x\ne\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} \frac{3}{2}+k\pi=\operatorname{arctg} \frac{2}{3}+k\pi[/tex].

Решение:
Используя [tex]\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x[/tex], получаем:
[tex]2\sin ^2 x-\sin x+\sin 3x=2\sin x+2\sin ^2 x-4\sin ^3 x=2\sin x(1-\sin x)(1+2\sin x)[/tex]
Множитель [tex]1-\sin x[/tex] неотрицателен и равен [tex]0[/tex] только при [tex]\sin x=1[/tex]. Поэтому нужно [tex]\sin x(1+2\sin x)\gt 0[/tex] и [tex]\sin x\ne 1[/tex], т.е. [tex]0\lt\sin x\lt 1[/tex] или [tex]\sin x\lt-\frac{1}{2}[/tex]. Первое даёт [tex]x\in\left(2k\pi; \pi+2k\pi\right)[/tex] без [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]; второе даёт [tex]x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right)[/tex].

Решение:
Пусть [tex]t=\cos x[/tex]. Корень существует при [tex]4t+2\ge 0[/tex], т.е. [tex]t\ge-\frac{1}{2}[/tex]. Если [tex]3t+\frac{1}{2}\lt 0[/tex], т.е. [tex]-\frac{1}{2}\le t\lt-\frac{1}{6}[/tex], неравенство верно. Если [tex]t\ge-\frac{1}{6}[/tex], возведём в квадрат:
[tex]4t+2\ge 9t^2+3t+\frac{1}{4}\iff 36t^2-4t-7\le 0\iff-\frac{7}{18}\le t\le\frac{1}{2}[/tex]
Вместе с [tex]t\ge-\frac{1}{6}[/tex] это даёт [tex]-\frac{1}{6}\le t\le\frac{1}{2}[/tex]. Объединяя случаи: [tex]-\frac{1}{2}\le\cos x\le\frac{1}{2}[/tex], откуда [tex]x\in\left[\frac{\pi}{3}+k\pi; \frac{2\pi}{3}+k\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex].