Обратные тригонометрические функции - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]\alpha=\operatorname{arctg} 2019[/tex]. Так как [tex]2019\gt 1[/tex], [tex]\alpha\in\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. При [tex]x=2019=\tg \alpha[/tex]:
[tex]\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2\tg \alpha}{1+\tg ^2\alpha}=\sin 2\alpha[/tex]
Здесь [tex]2\alpha\in\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)[/tex], поэтому [tex]\arcsin (\sin 2\alpha)=\pi-2\alpha[/tex], так как [tex]\pi-2\alpha\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] имеет тот же синус. Значит, [tex]f(2019)=2\alpha+\pi-2\alpha=\pi[/tex].

Решение:
Значения [tex]\arcsin [/tex] лежат в [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex], поэтому
[tex]-\frac{\pi}{2}\le 2\pi+\frac{\pi x}{2}\le\frac{\pi}{2}\iff -5\le x\le -3[/tex]
Нужно также [tex]\frac{3x+7}{x+1}\le 1[/tex]. При [tex]x\le -3[/tex] имеем [tex]x+1\lt 0[/tex], поэтому это означает [tex]3x+7\ge x+1[/tex], т.е. [tex]x\ge -3[/tex]. Единственное возможное значение — [tex]x=-3[/tex]. Проверка: [tex]\arcsin \frac{-2}{-2}=\arcsin 1=\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]2\pi-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex]. Корень: [tex]x=-3[/tex].

Решение:
Пусть [tex]\alpha=\arccos x[/tex], т.е. [tex]\cos\alpha=x[/tex]. При [tex]x\in\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right][/tex] имеем [tex]\alpha\in\left[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right][/tex], поэтому [tex]3\alpha-\pi\in\left[0; \pi\right][/tex]. По формуле косинуса тройного угла
[tex]\cos(3\alpha-\pi)=-\cos 3\alpha=-\left(4x^3-3x\right)=3x-4x^3[/tex]
Угол из [tex]\left[0; \pi\right][/tex] с косинусом [tex]3x-4x^3[/tex] равен [tex]\arccos\left(3x-4x^3\right)[/tex]. Значит, [tex]3\arccos x-\pi=\arccos\left(3x-4x^3\right)[/tex], что и требовалось доказать.

Решение:
Заметим, что
[tex]\frac{1}{2k^2}=\frac{(2k+1)-(2k-1)}{1+(2k+1)(2k-1)}[/tex]
По формуле [tex]\operatorname{arctg} a-\operatorname{arctg} b=\operatorname{arctg} \frac{a-b}{1+ab}[/tex] (верной при [tex]a\gt 0[/tex], [tex]b\gt 0[/tex]) получаем
[tex]\operatorname{arctg} \frac{1}{2k^2}=\operatorname{arctg} (2k+1)-\operatorname{arctg} (2k-1)[/tex]
Сложив эти равенства для [tex]k=1; 2; \dots; n[/tex], все промежуточные члены сократятся, и сумма равна [tex]\operatorname{arctg} (2n+1)-\operatorname{arctg} 1[/tex]. Тогда
[tex]\tg \left(\operatorname{arctg} (2n+1)-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{(2n+1)-1}{1+(2n+1)}=\frac{2n}{2n+2}=\frac{n}{n+1}[/tex]

Решение:
Пусть [tex]y[/tex] — общее значение. Тогда [tex]y\in\left[0; \pi\right][/tex] и [tex]y\in\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex], поэтому [tex]y\in\left[0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] и [tex]\tg y=5x\ge 0[/tex], т.е. [tex]x\ge 0[/tex]. Из [tex]\cos y=2x[/tex] и [tex]\tg y=5x[/tex] получаем [tex]\sin y=\tg y\cos y=10x^2[/tex]. Тогда [tex]\sin ^2 y+\cos^2 y=1[/tex] даёт
[tex]100x^4+4x^2-1=0\;\Rightarrow\;x^2=\frac{\sqrt{26}-1}{50}[/tex]
(другой корень отрицателен). Для этого [tex]x\gt 0[/tex] угол [tex]y=\arccos 2x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] имеет [tex]\tg y=5x[/tex], поэтому [tex]x=\sqrt{\frac{\sqrt{26}-1}{50}}[/tex] — единственный корень.

Решение:
Область определения: [tex]-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}[/tex]. При [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] получаем [tex]\operatorname{arctg} \frac{5}{2}\lt\frac{\pi}{2}[/tex] — верно; при [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex] получаем [tex]\operatorname{arctg} \left(-\frac{5}{2}\right)\lt-\frac{\pi}{2}[/tex] — неверно. При [tex]|x|\lt\frac{1}{2}[/tex] обе части лежат в [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex], где [tex]\tg [/tex] возрастает, поэтому неравенство равносильно
[tex]5x\lt\tg (\arcsin 2x)=\frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}[/tex]
При [tex]x=0[/tex] обе части равны. При [tex]x\gt 0[/tex]: [tex]\sqrt{1-4x^2}\lt\frac{2}{5}[/tex], откуда [tex]x^2\gt\frac{21}{100}[/tex] и [tex]x\gt\frac{\sqrt{21}}{10}[/tex]. При [tex]x\lt 0[/tex] знак меняется: [tex]\sqrt{1-4x^2}\gt\frac{2}{5}[/tex], откуда [tex]-\frac{\sqrt{21}}{10}\lt x\lt 0[/tex].