Logaritamske jednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Izraz u okviru zagrade je [tex](3^x)^2-3^x+1=(3^x-1)^2+3^x>0[/tex], pa je jednačina definisana za bilo koje [tex]x[/tex].
Uzmemo 3 kao osnovu stepena sa obe strane: [tex]3^{2x}-3^x+1=3^x[/tex]
[tex]3^{2x}-2⋅3^x+1=0[/tex]
[tex](3^x-1)^2=0[/tex]

Rešenje:
Uzmemo osnovu stepena sa obe strane:
[tex]3x+1=16^2[/tex]
[tex]3x+1=256[/tex]
[tex]3x=255[/tex]
[tex]x=85[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za svako [tex]x[/tex], pošto je [tex]2^x>0[/tex]. [tex]log_4(2^x)=x\cdot log_42=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\frac{x}{2}=5x+3[/tex]
[tex]x=10x+6[/tex]
[tex]x=-\frac{2}{3}[/tex]

Rešenje:
[tex]log_7(x-1)^3=6[/tex]. Da bi jednačina bila definisana, [tex]x-1>0[/tex].
[tex]3log_7(x-1)=6[/tex]
[tex]log_7(x-1)=2[/tex]
[tex]x-1=7^2=49[/tex]
[tex]x=50[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za [tex]x>0[/tex]. Pretpostavimo da je [tex]x = 1[/tex]. Onda je [tex]log_5x+log_3x=log_51+log_31=0+0=0[/tex], što zadovoljava jednačinu i [tex]x=1[/tex] je rešenje.
Sada, uzmimo da je [tex]x \ne 1[/tex]. Znamo da je
[tex]log_5x+log_3x=\frac{1}{log_x5}+\frac{1}{log_x3}=0[/tex]
[tex]log_x3+log_x5=0[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za vrednosti [tex]x[/tex], što zadovoljava:
[tex]\begin{array}{|l}8x>0\\7x+3 \ne 0\\log|7x+3| \ne 0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x>0\\7x+3 \ne \pm 1\end{array}[/tex]
ali [tex]7x+3 > 3[/tex] sledi od [tex]x>0[/tex], pa je jedino što je preostalo ovde [tex]x>0[/tex].
Pošto je [tex]x>0[/tex], takođe sledi da je [tex]7x+3>0[/tex] i [tex]|7x+3|=7x+3[/tex]
Jednačina postaje
[tex]\log 8x=\log (7x+3)[/tex]
[tex]8x=7x+3[/tex]
[tex]x=3[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za [tex]x>0[/tex].
[tex]log_5x-log_{25}x+log_{\sqrt{5}}x=log_5x-log_{5^2}x+log_{5^{\frac{1}{2}}}x=log_5x-\frac{1}{2}log_5x+2log_5x=\frac{5}{2}log_5x[/tex]
[tex]\frac{5}{2}log_5x=-5[/tex]
[tex]log_5x=-5 \cdot \frac{2}{5}=-2[/tex]
[tex]x=5^{-2}=\frac{1}{25}[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za [tex]3-x>0[/tex] i [tex]28-3^x>0[/tex]. Prvi uslov daje [tex]x<3[/tex], a tada je [tex]28-3^{x}>28-3^{3}=1>0[/tex], pa je i drugi ispunjen.
Pošto je [tex]2^{\log_2(3-x)}=3-x[/tex], jednačina postaje
[tex]\log_3(28-3^x)=3-x[/tex]
[tex]28-3^x=3^{3-x}=\frac{27}{3^x}[/tex]
[tex]28 \cdot 3^x-3^{2x}=27[/tex]
[tex]3^{2x}-28 \cdot 3^x+27=0[/tex]
[tex](3^x-1)(3^x-27)=0[/tex]
Koren [tex]3^x=27[/tex], tj. [tex]x=3[/tex], ne zadovoljava [tex]x<3[/tex]. Dakle, [tex]3^x=1[/tex], odakle je [tex]x=0[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0[/tex]. Logaritmujemo za osnovu [tex]10[/tex]:
[tex]\log ^2 x=2+\log x[/tex]; Uvodimo smenu [tex]t=\log x[/tex]: [tex]t^2-t-2=0 \Rightarrow t=2; t=-1[/tex]
[tex]x_1=100; x_2=\dfrac{1}{10}[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0[/tex]. Uvodimo smenu [tex]t=\log x[/tex]:
[tex](1+t)(t-1)=3t-3 \iff t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1; t=2[/tex]
[tex]x_1=10; x_2=100[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]3^x+x-17\gt 0[/tex].
[tex]x\log 30-x=x\left(\log 30-\log 10\right)=x\log 3=\log 3^x[/tex]
[tex]3^x+x-17=3^x \Rightarrow x=17[/tex]; [tex]3^{17}\gt 0\ \checkmark[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0[/tex]. Uvodimo smenu [tex]t=\log_2 x[/tex]: [tex]\log_{\sqrt{2}}x=2t; \log_{2\sqrt{2}}x=\dfrac{2t}{3}; \log_4 x=\dfrac{t}{2}[/tex]
[tex]2t\cdot t\cdot \dfrac{2t}{3}\cdot \dfrac{t}{2}=\dfrac{2}{3}t^4=54 \Rightarrow t^4=81 \Rightarrow t=\pm 3[/tex]
[tex]x_1=8; x_2=\dfrac{1}{8}[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0; x\ne 1[/tex].
[tex]\dfrac{1}{\log_x 5}=\log_5 x; x^{\log_5 2}=5^{\log_5 x\cdot \log_5 2}=2^{\log_5 x}[/tex]
[tex]3\cdot 2^{\log_5 x}+2^{\log_5 x}=4\cdot 2^{\log_5 x}=64 \Rightarrow 2^{\log_5 x}=16 \Rightarrow \log_5 x=4 \Rightarrow x=625[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x+2\gt 0[/tex] ([tex]x^2+2x+4=(x+1)^2+3\gt 0[/tex]).
[tex]\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_9\left(x^2+2x+4\right)}=3^{-\frac{1}{2}\log_3\left(x^2+2x+4\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+2x+4}}[/tex]
[tex]6^{\log_{\frac{1}{6}}(x+2)}=6^{-\log_6(x+2)}=\dfrac{1}{x+2}[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+2x+4}=x+2 \Rightarrow x^2+2x+4=x^2+4x+4 \Rightarrow x=0[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]20+x-x^2\ge 0 \iff -4\le x\le 5; 11-3x-x^2\gt 0[/tex].
[tex]20+x-x^2=0 \Rightarrow x=-4\ (11+12-16=7\gt 0\ \checkmark); x=5\ (11-15-25=-29\lt 0)[/tex]
[tex]11-3x-x^2=1 \iff x^2+3x-10=0 \Rightarrow x=2\ (20+2-4=18\ge 0\ \checkmark); x=-5\ (-5\lt -4)[/tex]
[tex](-4)\cdot 2=-8[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0; x\ne 1[/tex]. Uvodimo smenu [tex]t=\log_3 x\ne 0[/tex]: [tex]\log_x\left(9x^2\right)=\log_x 9+2=\dfrac{2}{t}+2[/tex]
[tex]\left(\dfrac{2}{t}+2\right)t^2=4 \iff 2t^2+2t-4=0 \iff t^2+t-2=0 \Rightarrow t=1; t=-2[/tex]
[tex]x_1=3; x_2=\dfrac{1}{9}[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x+1\gt 0; x+1\ne 1; 2x^3+3x^2-3x+1\gt 0[/tex].
[tex]2x^3+3x^2-3x+1=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 \iff x^3-6x=0 \Rightarrow x\in\left\{0; \pm\sqrt{6}\right\}[/tex]
[tex]x=0:\ x+1=1[/tex] — ne odgovara.
[tex]x=-\sqrt{6}\lt -1[/tex] — ne odgovara.
[tex]x=\sqrt{6}:\ 2x^3+3x^2-3x+1=\left(\sqrt{6}+1\right)^3\gt 0\ \checkmark[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt -7; x\ne 5[/tex].
[tex]2\log_9(x+7)=\log_3(x+7); \log_3(x-5)^2=2\log_3|x-5|[/tex]
[tex]\log_3\dfrac{2(x+7)}{(x-5)^2}=0 \iff 2(x+7)=(x-5)^2 \iff x^2-12x+11=0[/tex]
[tex]x_1=1; x_2=11[/tex]
Obe vrednosti pripadaju oblasti definisanosti.

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0; y\gt 0[/tex]. Logaritmujemo za osnovu [tex]10[/tex]:
[tex]\log x+\log y=\log 40=1+\log 4; \log x\cdot \log y=\log 4[/tex]
[tex]\log x; \log y[/tex] su koreni jednačine [tex]z^2-(1+\log 4)z+\log 4=0 \iff (z-1)(z-\log 4)=0[/tex]
Odgovor: [tex](x; y)\in\{(10; 4); (4; 10)\}[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0; y\gt 0; x\ne 1; y\ne 1[/tex].
Uvodimo smenu [tex]t=\log_x y[/tex]: [tex]t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{2} \Rightarrow t=2; t=\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]y=x^2:\ x^2-x^4=-2 \iff x^4-x^2-2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\sqrt{2}; y=2[/tex]
[tex]x=y^2:\ y^4-y^2+2=0[/tex] — nema realnih korena [tex](D=-7\lt 0)[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\gt 0; x\ne 1; \log_x\sqrt{3x}\ge 0[/tex].
Uvodimo smenu [tex]t=\log_3 x\ne 0[/tex]: [tex]\log_x\sqrt{3x}=\dfrac{1}{2}\left(\log_x 3+1\right)=\dfrac{1+t}{2t}[/tex]
Koren je nenegativan, a proizvod je [tex]-1[/tex], pa je [tex]t\lt 0[/tex].
Kvadriramo: [tex]\dfrac{1+t}{2t}\cdot t^2=1 \iff t^2+t-2=0 \Rightarrow t=1; t=-2[/tex]
[tex]t=-2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{9}[/tex]
Provera: [tex]\dfrac{1+t}{2t}=\dfrac{1}{4}; \sqrt{\dfrac{1}{4}}\cdot (-2)=-1\ \checkmark[/tex]