Logaritamske jednačine - teži zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Jednačina je definisana za 1+x>0, 1-x>0 i 1-x^2>0. Treća dolazi iz prve dve, pa je možemo isključiti. Ono što preostaje je [tex]\begin{array}{|l}x>-1\\x<1\end{array}[/tex], ili [tex]x \in (-1;1)[/tex].
[tex]2+log\sqrt{1+x}+3log\sqrt{1-x}=log\sqrt{1-x}+log\sqrt{1+x}[/tex]
[tex]2+2log\sqrt{1-x}=0[/tex]
[tex]log\sqrt{1-x}=-1[/tex]
[tex]\sqrt{1-x}=10^{-1}=\frac{1}{10}[/tex]
[tex]1-x=\frac{1}{100}[/tex]

[tex]x=\frac{99}{100}[/tex]

Rešenje:
[tex]0.04 = \frac{1}{25}[/tex]
[tex]5^{2(1+2+3+....+x)}=\left(\frac{1}{25}\right)^{-28}[/tex]
[tex]1+2+3+....+x[/tex] je aritmetička serija i jednaka je
[tex]1+2+3+....+x = \frac{x(x + 1)}{2}[/tex]
[tex]5^x(x+1)=5^56[/tex]
[tex]x(x+1)=56[/tex]
[tex]x^2+x-56 = 0[/tex] - kvadratna jednačina sa pozitivnim korenom x = 7

Rešenje:
Proveravanje da li je sistem definisan za dve varijable je težak zadatak, pa ćemo naći potencijalna rešenja za sistem i proveriti direktno da li je sistem definisan za njih. Zapisaćemo samo [tex]\begin{array}{|l}x+y>0\\x-y>0\end{array}[/tex] za sada.

[tex]\begin{array}{|l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=log_432\\log_3(x^2-y^2)=1\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{1}{2}log_232\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5}{2}\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x^2+y^2=\frac{5}{2}xy\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x^2-2xy+y^2=\frac{1}{2}xy\\(x-y)(x+y)=3\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}(x-y)^2=\frac{xy}{2}\\(x-y)(x+y)=3\end{array}[/tex]
Podelimo prvi sa kvadratom drugog:

[tex]\frac{1}{(x+y)^2}=\frac{xy}{18}[/tex], ili [tex](x+y)^2=\frac{18}{xy}[/tex]. Dobijemo sistem

[tex]\begin{array}{|l}x^2+2xy+y^2=\frac{18}{xy}\\x^2-2xy+y^2=\frac{xy}{2}\end{array}[/tex]
sada ih oduzmemo

[tex]4xy=\frac{18}{xy}-\frac{xy}{2}[/tex]

[tex]\frac{9}{2}xy=\frac{18}{xy}[/tex]

[tex](xy)^2=4[/tex]

[tex]xy = \pm 2[/tex]. Ali ne može biti negativan zbog [tex]2(x-y)^2=xy[/tex], dakle [tex]xy=2[/tex]. Vraćanjem nazad u sitem dobijemo

[tex]\begin{array}{|l}(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=x^2+y^2-4=1\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x^2+y^2=5\\x^2-y^2=3\end{array}[/tex], oduzmemo ih:

[tex]2x^2=8[/tex], dakle [tex]x_1=2[/tex] i [tex]x_2=-2[/tex]. [tex]y_1=\frac{2}{x_1}=1[/tex] i [tex]y_2=\frac{2}{x_2}=-1[/tex]. Sada bi trebalo da proverimo da li su oni rešenja. [tex]x_1+y_1=3>0[/tex], [tex]x_1-y_1=1>0[/tex], pa je [tex](2;1)[/tex] rešenje sistema. [tex]x_2+y_2=-3<0[/tex], pa [tex](-2;-1)[/tex] nije rešenje.
Krajnje rešenje je x=2.

Rešenje:
[tex]log_23 \cdot \frac{log_24}{log_23} \cdot \frac{log_25}{log_24} \cdot \cdot \cdot \frac{log_2(n+1)}{log_2n} = 10[/tex]
log₂(n + 1) = 10
=>n + 1 = 2¹⁰ => n=1023