Logaritamske jednačine - srednje teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Izraz u okviru zagrade je [tex](3^x)^2-3^x+1=(3^x-1)^2+3^x>0[/tex], pa je jednačina definisana za bilo koje x.
Uzmemo 3 kao osnovu stepena sa obe strane: [tex]3^{2x}-3^x+1=3^x[/tex]
[tex]3^{2x}-2⋅3^x+1=0[/tex]
[tex](3^x-1)^2=0[/tex]

Rešenje:
Uzmemo osnovu stepena sa obe strane:
[tex]3x+1=16^2[/tex]
[tex]3x+1=256[/tex]
[tex]3x=255[/tex]
[tex]x=85[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za svako x, pošto je [tex]2^x>0[/tex]. [tex]log_4(2^x)=x\cdot log_42=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\frac{x}{2}=5x+3[/tex]
[tex]x=10x+6[/tex]
[tex]x=-\frac{2}{3}[/tex]

Rešenje:
[tex]log_7(x-1)^3=6[/tex]. Da bi jednačina bila definisana, [tex]x-1>0[/tex].
[tex]3log_7(x-1)=6[/tex]
[tex]log_7(x-1)=2[/tex]
[tex]x-1=7^2=49[/tex]
[tex]x=50[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za [tex]x>0[/tex]. Pretpostavimo da je [tex]x = 1[/tex]. Onda je [tex]log_5x+log_3x=log_51+log_31=0+0=0[/tex], što zadovoljava jednačinu i [tex]x=1[/tex] je rešenje.
Sada, uzmimo da je [tex]x \ne 1[/tex]. Znamo da je
[tex]log_5x+log_3x=\frac{1}{log_x5}+\frac{1}{log_x3}=0[/tex]
[tex]log_x3+log_x5=0[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za vrednosti x, što zadovoljava:
[tex]\begin{array}{|l}8x>0\\7x+3 \ne 0\\log|7x+3| \ne 0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x>0\\7x+3 \ne \pm 1\end{array}[/tex]
ali [tex]7x+3 > 3[/tex] sledi od x>0, pa je jedino što je preostalo ovde x>0.
Pošto je x>0, takođe sledi da je 7x+3>0 i |7x+3|=7x+3
Jednačina postaje
log8x=log(7x+3)
8x=7x+3
x=3

Rešenje:
Jednačina je definisana za x>0.
[tex]log_5x-log_{25}x+log_{\sqrt{5}}x=log_5x-log_{5^2}x+log_{5^{\frac{1}{2}}}x=log_5x-\frac{1}{2}log_5x+2log_5x=\frac{5}{2}log_5x[/tex]
[tex]\frac{5}{2}log_5x=-5[/tex]
[tex]log_5x=-5 \cdot \frac{2}{5}=-2[/tex]
[tex]x=5^{-2}=\frac{1}{25}[/tex]

Rešenje:
Jednačina je definisana za [tex]3-x>0[/tex] i [tex]28-3^x>0[/tex]. Prvi izraz je ekvivalentan sa x<3 i odatle [s]28-3^x > 28-3³=28-27=1>0[/s].
Jednačina postaje
[tex]log_3(28-3^x)=3-x[/tex]
[tex]28-3^x=3^{3-x}[/tex]
[tex]28-3^x=\frac{27}{3^x}[/tex]
[tex]28.3^x-3^{2x}=27[/tex]
[tex]3^{2x}-28 \cdot 3^x+27=0[/tex]
[tex]3^{2x}-27 \cdot 3^x-3^x+27=0[/tex]
[tex]3^x(3^x-27)-(3^x-27)=0[/tex]
[tex](3^x-1)(3^x-27)=0[/tex]. Pošto je x<3, [s]x=3 (3^x=27)[/s] nije koren jednačine, dakle, jedini koren se uzima iz [s]3^x=1[/s], ili x=0.