Trigonometrijske jednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\cos x\ne 0[/tex] (tada je i [tex]\sin x\ne-1[/tex]). Svedimo na zajednički imenilac:
[tex]\tg x+\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\sin x(1+\sin x)+\cos^2 x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{1+\sin x}{\cos x(1+\sin x)}=\frac{1}{\cos x}[/tex]
Dakle, [tex]\frac{1}{\cos x}=2[/tex], [tex]\cos x=\frac{1}{2}[/tex] i [tex]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]. Ove vrednosti pripadaju oblasti definisanosti.

Rešenje:
Napišimo [tex]\sin x=\sin x\left(\sin ^2 x+\cos^2 x\right)[/tex]. Jednačina postaje homogena trećeg stepena:
[tex]3\cos^3 x-\sin ^2 x\cos x-\sin ^3 x-\sin x\cos^2 x=0[/tex]
Ako je [tex]\cos x=0[/tex], onda je [tex]\sin ^3 x=0[/tex], što je nemoguće, pa delimo sa [tex]\cos^3 x[/tex]. Za [tex]t=\tg x[/tex]:
[tex]t^3+t^2+t-3=0\iff(t-1)\left(t^2+2t+3\right)=0[/tex]
Kvadratni činilac nema realnih korena, pa je [tex]\tg x=1[/tex] i [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex].

Rešenje:
Podelimo sa [tex]2[/tex]:
[tex]\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\iff 2x=\pm\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi[/tex]
Sa znakom plus: [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]. Sa znakom minus: [tex]3x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex], odakle je [tex]x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]t=\cos x-\sin x[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Tada je [tex]t^2=1-\sin 2x[/tex], tj. [tex]\sin 2x=1-t^2[/tex], i jednačina postaje
[tex]t^2-6t+5=0[/tex]
sa korenima [tex]t=1[/tex] i [tex]t=5[/tex]; koren [tex]t=5[/tex] je nemoguć. Iz
[tex]\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
dobijamo [tex]x=2k\pi[/tex] ili [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]t=\cos 2x[/tex]. Tada je [tex]\sin ^2 x=\frac{1-t}{2}[/tex], tj. [tex]16\sin ^6 x=2(1-t)^3[/tex], i [tex]\cos 4x=2t^2-1[/tex]. Leva strana je
[tex]2\left(1-3t+3t^2-t^3\right)+6t-6t^2+3=5-2t^3[/tex]
Dakle, [tex]5-2t^3=\frac{19}{4}[/tex], [tex]t^3=\frac{1}{8}[/tex] i [tex]t=\frac{1}{2}[/tex]. Iz [tex]\cos 2x=\frac{1}{2}[/tex]: [tex]2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex], [tex]x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex].

Rešenje:
Koristimo [tex]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/tex] i [tex]\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x[/tex]. Članovi [tex]\pm 4\sin ^3 x\cos^3 x[/tex] se poništavaju i leva strana postaje
[tex]3\sin x\cos^3 x-3\sin ^3 x\cos x=3\sin x\cos x\left(\cos^2 x-\sin ^2 x\right)=\frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x=\frac{3}{4}\sin 4x[/tex]
Dakle, [tex]\sin 4x=1[/tex], [tex]4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] i [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Rešenje:
Napišimo [tex]\sin x\sin 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x)[/tex] i [tex]\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x[/tex]. Jednačina postaje
[tex]\frac{1}{2}\sin 2x(\cos 2x-\cos 4x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x\iff\sin 2x\cos 4x=0[/tex]
[tex]\sin 2x=0[/tex] daje [tex]x=\frac{k\pi}{2}[/tex]; [tex]\cos 4x=0[/tex] daje [tex]4x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/tex]. Ne delite sa [tex]\sin 2x[/tex]: tako se gube koreni.

Rešenje:
Leva strana je nenegativna, pa mora biti [tex]\cos x\le 0[/tex]. Kvadriramo:
[tex]1+\sin x=\cos^2 x=1-\sin ^2 x\iff\sin x(\sin x+1)=0[/tex]
Ako je [tex]\sin x=0[/tex], onda je [tex]\cos x=\pm 1[/tex], a uslov [tex]\cos x\le 0[/tex] ostavlja samo [tex]\cos x=-1[/tex]: [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]. Ako je [tex]\sin x=-1[/tex], onda je [tex]\cos x=0[/tex], što je dozvoljeno: [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]. Vrednosti [tex]x=2k\pi[/tex] su lažna rešenja.

Rešenje:
Napišimo [tex]3\cos^2 x-2=1-3\sin ^2 x[/tex].
Slučaj [tex]0\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex]: [tex]\sin x\ge 0[/tex], pa je [tex]\sin ^2 x=1-3\sin ^2 x[/tex], [tex]\sin ^2 x=\frac{1}{4}[/tex], [tex]\sin x=\frac{1}{2}[/tex] i [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]. Slučaj [tex]-\frac{\pi}{2}\le x\lt 0[/tex]: [tex]\sin x\lt 0[/tex], pa je [tex]-\sin ^2 x=1-3\sin ^2 x[/tex], [tex]\sin ^2 x=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] i [tex]x=-\frac{\pi}{4}[/tex].

Rešenje:
Grupišemo članove:
[tex]2\sin x(\cos x+1)+(\cos x+1)=(\cos x+1)(2\sin x+1)=0[/tex]
[tex]\cos x=-1[/tex] daje [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]; u [tex]\left(0; 5\right)[/tex] je samo [tex]x=\pi\approx 3{,} 14[/tex]. [tex]\sin x=-\frac{1}{2}[/tex] daje [tex]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex] ili [tex]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/tex]; u [tex]\left(0; 5\right)[/tex] je samo [tex]\frac{7\pi}{6}\approx 3{,} 67[/tex], jer je [tex]\frac{11\pi}{6}\approx 5{,} 76\gt 5[/tex]. Dakle, ima [tex]2[/tex] korena.

Rešenje:
Pošto je [tex]2\cos^2 3x-1=\cos 6x[/tex], jednačina glasi
[tex]\cos 6x-\cos 4x=0\iff-2\sin 5x\sin x=0[/tex]
[tex]\sin x=0[/tex] daje [tex]x=k\pi[/tex], a [tex]\sin 5x=0[/tex] daje [tex]x=\frac{k\pi}{5}[/tex]; prva serija je sadržana u drugoj. Na [tex]\left[0; \frac{\pi}{2}\right][/tex] koreni su [tex]0; \frac{\pi}{5}; \frac{2\pi}{5}[/tex] (sledeći, [tex]\frac{3\pi}{5}[/tex], je prevelik). Dakle, ima [tex]3[/tex] korena.

Rešenje:
Pošto je [tex]-1\le\cos 4x\le 1[/tex], leva strana zadovoljava [tex]5\le 8-3\cos 4x\le 11[/tex]. Pošto je [tex]1\le 3-2\sin x\le 5[/tex], desna strana zadovoljava [tex]1\le\frac{5}{3-2\sin x}\le 5[/tex]. Jednakost je moguća samo kada su obe strane jednake [tex]5[/tex]:
[tex]\cos 4x=1; \quad 3-2\sin x=1\iff\sin x=1[/tex]
Tada je [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], a za ove vrednosti [tex]4x=2\pi+8k\pi[/tex], pa [tex]\cos 4x=1[/tex] važi.

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Koristeći [tex]\tg a+\tg b=\frac{\sin (a+b)}{\cos a\cos b}[/tex]:
[tex]\frac{\sin 3x}{\cos x\cos 2x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 3x\cdot \frac{\cos 3x-\cos x\cos 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}=\frac{-\sin 3x\sin x\sin 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}[/tex]
Dakle, [tex]\sin 3x\sin 2x\sin x=0[/tex]. [tex]\sin 3x=0[/tex] daje [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex] i sve ove vrednosti su dozvoljene. [tex]\sin x=0[/tex] daje [tex]x=k\pi[/tex], što je već uključeno. [tex]\sin 2x=0[/tex] dodaje [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], ali tu je [tex]\cos x=0[/tex], pa se te vrednosti odbacuju.

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\sin x\ne 0[/tex] (tada je i [tex]\cos x\ne 1[/tex]). Množimo sa [tex]\sin ^2 x(1-\cos x)[/tex]:
[tex]\cos^2 x-\cos^3 x=\sin ^2 x-\sin ^3 x[/tex]
[tex]\left(\cos^2 x-\sin ^2 x\right)-\left(\cos^3 x-\sin ^3 x\right)=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1-\sin x\cos x)=-(\cos x-\sin x)(1-\sin x)(1-\cos x)=0[/tex]
[tex]\cos x=\sin x[/tex] daje [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]; [tex]\sin x=1[/tex] daje [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]; [tex]\cos x=1[/tex] znači [tex]\sin x=0[/tex] i odbacuje se.

Rešenje:
Jednačina [tex]p\cos x+q\sin x=r[/tex] za [tex]p^2+q^2\gt 0[/tex] ima rešenje tačno kada je [tex]r^2\le p^2+q^2[/tex] (delimo sa [tex]\sqrt{p^2+q^2}[/tex] i uvodimo pomoćni ugao). Ovde je
[tex]p^2+q^2=(a-1)^2+(a+1)^2=2a^2+2\gt 0[/tex]
Uslov je [tex]4a^2\le 2a^2+2[/tex], tj. [tex]a^2\le 1[/tex] i [tex]-1\le a\le 1[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex], [tex]\cos 4x\ne 0[/tex]. Iz
[tex]\tg 3x=\frac{\tg x+\tg 2x}{1-\tg x\tg 2x}[/tex]
(ovde je [tex]1-\tg x\tg 2x=\frac{\cos 3x}{\cos x\cos 2x}\ne 0[/tex]) dobijamo [tex]\tg x+\tg 2x+\tg x\tg 2x\tg 3x=\tg 3x[/tex]. Jednačina postaje [tex]\tg 4x=0[/tex], tj. [tex]x=\frac{k\pi}{4}[/tex]. Za neparno [tex]k[/tex] je [tex]\cos 2x=0[/tex], a za [tex]x=\frac{m\pi}{2}[/tex] sa neparnim [tex]m[/tex] je [tex]\cos x=0[/tex]. Ostaju samo [tex]x=k\pi[/tex], i oni zadovoljavaju sve uslove.