Trigonometrijske jednačine - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Množimo sa [tex]\sin ^2 x[/tex]:
[tex]3\cos^2 x+8\sin x\cos x+3\sin ^2 x=0\iff 3+4\sin 2x=0\iff\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex]
Neka je [tex]\beta=\arcsin \frac{3}{4}[/tex]. Za [tex]x\in\left[0; 2\pi\right][/tex] je [tex]2x\in\left[0; 4\pi\right][/tex], i tu [tex]\sin 2x=-\frac{3}{4}[/tex] ima četiri rešenja:
[tex]2x=\pi+\beta; \ 2\pi-\beta; \ 3\pi+\beta; \ 4\pi-\beta[/tex]
Nijedno od njih ne daje [tex]\sin x=0[/tex]. Njihov zbir je [tex]10\pi[/tex], pa je zbir korena [tex]x[/tex] jednak [tex]5\pi[/tex].

Rešenje:
[tex]\cos A=\cos B[/tex] znači [tex]A=\pm B+2k\pi[/tex]. Sa znakom plus:
[tex]x^2-x+1=x-1+2k\iff x^2-2x+2-2k=0\iff x=1\pm\sqrt{2k-1}[/tex]
([tex]k\ge 1[/tex]). Negativan koren zahteva [tex]\sqrt{2k-1}\gt 1[/tex], tj. [tex]k\ge 2[/tex]; najveći takav koren je [tex]1-\sqrt{3}\approx-0{,} 73[/tex] (za [tex]k=2[/tex]). Sa znakom minus:
[tex]x^2-x+1=-x+1+2k\iff x^2=2k[/tex]
i najveći negativan koren je [tex]-\sqrt{2}\approx-1{,} 41[/tex]. Pošto je [tex]1-\sqrt{3}\gt-\sqrt{2}[/tex], odgovor je [tex]x=1-\sqrt{3}[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\tg \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 0[/tex], tj. [tex]-\frac{\pi}{2}+k\pi\lt x-\frac{\pi}{4}\le k\pi[/tex], odakle je [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right][/tex]. Prvi činilac je nula za [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Za drugi činilac:
[tex]\sin x+\sin 5x+2\sin 3x=2\sin 3x\cos 2x+2\sin 3x=2\sin 3x(1+\cos 2x)=4\sin 3x\cos^2 x[/tex]
[tex]\cos x=0[/tex] daje [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], što nije u oblasti definisanosti. [tex]\sin 3x=0[/tex] daje [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]; pošto je [tex]\frac{\pi}{3}\gt\frac{\pi}{4}[/tex], u oblasti definisanosti su samo [tex]x=k\pi[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\sin x\ne 0[/tex], [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Množimo sa [tex]\sin x\cos x[/tex]:
[tex]8\sin x\cos^2 x=\sqrt{3}\cos x+\sin x[/tex]
Leva strana je [tex]4\sin 2x\cos x=2(\sin 3x+\sin x)[/tex]. Dakle,
[tex]2\sin 3x=\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]
Iz [tex]\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]: [tex]3x=\frac{\pi}{3}-x+2k\pi[/tex], tj. [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/tex]; ili [tex]3x=\pi-\frac{\pi}{3}+x+2k\pi[/tex], tj. [tex]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex]. Obe serije pripadaju oblasti definisanosti.

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Množimo sa [tex]\cos^2 2x\cos 3x[/tex]:
[tex]\sin ^2 2x\cos 3x+2\sin 2x\cos 2x\sin 3x-\cos^2 2x\cos 3x=0\iff\sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x=0\iff\cos 7x=0[/tex]
Tada je [tex]x=\frac{(2k+1)\pi}{14}[/tex], i na [tex]\left[0; \pi\right][/tex] dobijamo [tex]k=0; 1; \dots; 6[/tex] (sedam vrednosti). Za [tex]x=\frac{7\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex] je [tex]\cos 3x=0[/tex], pa se ta vrednost odbacuje; za sve vrednosti [tex]\cos 2x\ne 0[/tex]. Dakle, ima [tex]6[/tex] korena.

Rešenje:
Neka je [tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Tada je [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex] i
[tex]\sin ^3 x+\cos^3 x=t(1-\sin x\cos x)=\frac{t\left(3-t^2\right)}{2}[/tex]
Jednačina postaje
[tex]2+3t-t^3=3t^2-3\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff(t+1)\left(t^2+2t-5\right)=0[/tex]
Koreni [tex]t=-1\pm\sqrt{6}[/tex] se odbacuju, jer je [tex]\sqrt{6}-1\approx 1{,} 45\gt\sqrt{2}[/tex] i [tex]-1-\sqrt{6}\lt-\sqrt{2}[/tex]. Dakle, [tex]\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] ili [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/tex], tj. [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] ili [tex]x=\pi+2k\pi[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]\sin x\cos x\ne 0[/tex]. Leva strana je [tex]2\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)\in\left[-2; 2\right][/tex]. Desna strana je [tex]t+\frac{1}{t}[/tex] za [tex]t=\tg x[/tex], pa je [tex]|\tg x+\ctg x|\ge 2[/tex], a jednakost važi samo za [tex]\tg x=\pm 1[/tex]. Slučaj [tex]\tg x=1[/tex]: [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], desna strana je [tex]2[/tex], ali [tex]7x+\frac{\pi}{4}=2\pi+7k\pi[/tex] i leva strana je [tex]0[/tex]; nema korena. Slučaj [tex]\tg x=-1[/tex]: [tex]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], desna strana je [tex]-2[/tex] i potrebno je
[tex]\sin \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(-\frac{3\pi}{2}+7k\pi\right)=-1[/tex]
To važi tačno za neparno [tex]k=2m+1[/tex], pa je [tex]x=-\frac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\frac{3\pi}{4}+2m\pi[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\ge 0[/tex]. Leva strana je najmanje [tex]1[/tex], a desna najviše [tex]1[/tex], pa su obe jednake [tex]1[/tex]: [tex]\cos x=1[/tex] i [tex]\sin \sqrt{2x}=0[/tex]. Tada je [tex]x=2k\pi[/tex] sa celim [tex]k\ge 0[/tex] i [tex]\sqrt{2x}=n\pi[/tex], tj. [tex]x=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex] sa celim [tex]n\ge 0[/tex]. Dakle, [tex]2k\pi=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex], tj. [tex]4k=n^2\pi[/tex]. Ako je [tex]n\ne 0[/tex], onda bi [tex]\pi=\frac{4k}{n^2}[/tex] bio racionalan broj, što nije tačno. Zato je [tex]n=k=0[/tex] i jedini koren je [tex]x=0[/tex].

Rešenje:
Leva strana je [tex]\ge 0[/tex], a desna [tex]\le 0[/tex], pa obe moraju biti [tex]0[/tex]:
[tex]\cos 6x=1; \quad\sin (x-a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Prvi uslov daje [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]. Drugi daje [tex]x-a=-\frac{\pi}{3}+2n\pi[/tex] ili [tex]x-a=-\frac{2\pi}{3}+2n\pi[/tex]. Odatle je [tex]a=\frac{(k+1)\pi}{3}-2n\pi[/tex] ili [tex]a=\frac{(k+2)\pi}{3}-2n\pi[/tex]: [tex]a[/tex] mora biti celobrojni umnožak broja [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], i svaki takav umnožak odgovara. U [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] to su [tex]-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{3}[/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]\sin 2x+\cos 2x-1=2\sin x\cos x-2\sin ^2 x[/tex], jednačina glasi
[tex]\sin x(2\cos x-2\sin x-a)=0[/tex]
[tex]\sin x=0[/tex] daje korene [tex]0[/tex] i [tex]\pi[/tex]. Potreban je tačno još jedan koren jednačine [tex]g(x)=\cos x-\sin x=\frac{a}{2}[/tex], različit od [tex]0[/tex] i [tex]\pi[/tex]. Pošto je [tex]g(x)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], na [tex]\left[0; \frac{3\pi}{4}\right][/tex] ona opada od [tex]1[/tex] do [tex]-\sqrt{2}[/tex], a na [tex]\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right][/tex] raste od [tex]-\sqrt{2}[/tex] do [tex]-1[/tex].
Za [tex]-1\lt\frac{a}{2}\lt 1[/tex] postoji jedan novi koren. Za [tex]\frac{a}{2}=-1[/tex] koreni funkcije [tex]g[/tex] su [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] i [tex]\pi[/tex], tj. opet jedan novi koren. Za [tex]\frac{a}{2}=-\sqrt{2}[/tex] jedini novi koren je [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]. Za [tex]-\sqrt{2}\lt\frac{a}{2}\lt-1[/tex] postoje dva nova korena, za [tex]\frac{a}{2}=1[/tex] samo [tex]x=0[/tex], a inače nijedan. Dakle, [tex]a\in\left\{-2\sqrt{2}\right\}\cup\left[-2; 2\right)[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]S[/tex] leva strana ([tex]1010[/tex] sabiraka). Ako je [tex]\sin x=0[/tex], svi sabirci su jednaki [tex]1[/tex] ili su svi jednaki [tex]-1[/tex], pa je [tex]S=\pm 1010\ne 0[/tex]. Ako je [tex]\sin x\ne 0[/tex], množimo sa [tex]2\sin x[/tex] i koristimo
[tex]2\sin x\cos(2j-1)x=\sin 2jx-\sin (2j-2)x[/tex]
Zbir se teleskopski skraćuje:
[tex]2\sin x\cdot S=\sin 2020x[/tex]
Dakle, [tex]S=0[/tex] tačno kada je [tex]\sin 2020x=0[/tex] i [tex]\sin x\ne 0[/tex], tj. [tex]x=\frac{k\pi}{2020}[/tex], gde [tex]k[/tex] nije deljivo sa [tex]2020[/tex].

Rešenje:
Na ovom intervalu je [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Pošto je
[tex]\tg 3x-\tg x=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}=\frac{2\sin x}{\cos 3x}[/tex]
imamo [tex]\frac{\sin x}{\cos 3x}=\frac{1}{2}(\tg 3x-\tg x)[/tex]. Analogno, [tex]\frac{\sin 3x}{\cos 9x}=\frac{1}{2}(\tg 9x-\tg 3x)[/tex] i [tex]\frac{\sin 9x}{\cos 27x}=\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg 9x)[/tex]. Zbir je
[tex]\frac{1}{2}(\tg 27x-\tg x)=\frac{\sin 26x}{2\cos x\cos 27x}[/tex]
Dakle, [tex]\sin 26x=0[/tex], [tex]x=\frac{k\pi}{26}[/tex], a interval daje [tex]k=-12; \dots; 12[/tex]. Za ove [tex]k[/tex] imenioci [tex]\cos 3x[/tex], [tex]\cos 9x[/tex], [tex]\cos 27x[/tex] nisu nula: [tex]\cos 3^m x=0[/tex] bi zahtevalo [tex]3^m k=13(2j+1)[/tex], što je nemoguće za [tex]|k|\lt 13[/tex]. Dakle, svih [tex]25[/tex] vrednosti su koreni.