Racionalne nejednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Činioci [tex](x-3)^2[/tex] i [tex](x-1)^4[/tex] su pozitivni, osim za [tex]x=3[/tex] i [tex]x=1[/tex], gde je proizvod [tex]0[/tex] (to nisu rešenja stroge nejednakosti).
Činilac [tex](x+2)^3[/tex] ima isti znak kao [tex]x+2[/tex], [tex](6-x)(4-x)=(x-6)(x-4)[/tex].
Ostaje da rešimo [tex](x+2)(x+7)(x-4)(x-6)\lt 0,\ x\neq 1,\ x\neq 3[/tex].
Nule činilaca: [tex]-7; -2; 4; 6[/tex]. Znaci sleva nadesno: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
Isključene tačke [tex]1[/tex] i [tex]3[/tex] leže u intervalu [tex](-2; 4)[/tex], koji ionako nije deo odgovora.
Odgovor: [tex]x\in(-7; -2)\cup(4; 6)[/tex].

Rešenje:
Neparni stepeni čuvaju znak osnove, a [tex](x-1)^4\gt 0[/tex] za [tex]x\neq 1[/tex] (za [tex]x=1[/tex] proizvod je [tex]0[/tex]). Zato je nejednačina ekvivalentna sa
[tex](x+4)(x-2)\lt 0,\ x\neq 1 \Rightarrow -4\lt x\lt 2,\ x\neq 1[/tex]
Celobrojna rešenja su [tex]-3; -2; -1; 0[/tex].
[tex]-3-2-1+0=-6[/tex]

Rešenje:
[tex]x^2+x-6=(x+3)(x-2)[/tex], [tex]x^2-4=(x-2)(x+2)[/tex]
Oblast definisanosti: [tex]x\neq\pm 2[/tex].
[tex]\frac{(x+3)^2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+3)^2}{x+2}\geq 0[/tex] (za [tex]x\neq 2[/tex])
Brojilac [tex](x+3)^2[/tex] je [tex]0[/tex] za [tex]x=-3[/tex] (to je rešenje jer je nejednakost nestroga), a inače je pozitivan. Za [tex]x\neq -3[/tex] potrebno je [tex]x+2\gt 0[/tex], tj. [tex]x\gt -2[/tex], uz [tex]x\neq 2[/tex].
Odgovor: [tex]x\in\{-3\}\cup(-2; 2)\cup(2; +\infty)[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)}\leq 0[/tex], Oblast definisanosti: [tex]x\neq 2[/tex], [tex]x\neq -4[/tex].
[tex]\frac{x-3}{x+4}\leq 0 \Rightarrow -4\lt x\leq 3,\ x\neq 2[/tex]
Celobrojna rešenja su [tex]-3; -2; -1; 0; 1; 3[/tex] (broj [tex]2[/tex] se isključuje jer anulira imenilac).
[tex]-3-2-1+0+1+3=-2[/tex]

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq -1[/tex]. Sve prebacimo na levu stranu i svedemo na zajednički imenilac:
[tex]\frac{3x-1}{2x}-\frac{3x+2}{2(x+1)}=\frac{(3x-1)(x+1)-x(3x+2)}{2x(x+1)}=\frac{3x^2+2x-1-3x^2-2x}{2x(x+1)}=\frac{-1}{2x(x+1)}[/tex]
[tex]\frac{-1}{2x(x+1)}\gt 0 \Leftrightarrow x(x+1)\lt 0 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 0[/tex]
Odgovor: [tex]x\in(-1; 0)[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{21x-32}{x^2-9x+18}+2=\frac{21x-32+2x^2-18x+36}{x^2-9x+18}=\frac{2x^2+3x+4}{(x-3)(x-6)}\lt 0[/tex]
[tex]2x^2+3x+4\gt 0[/tex] za svako [tex]x[/tex] [tex](D=9-32\lt 0)[/tex].
Dakle, razlomak je negativan tačno kada je imenilac negativan: [tex](x-3)(x-6)\lt 0 \Rightarrow 3\lt x\lt 6[/tex].
Odgovor: [tex]x\in(3; 6)[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-x+1\gt 0[/tex] za svako [tex]x[/tex] (diskriminanta je negativna, a vodeći koeficijent pozitivan), pa ne utiče na znak. Obe strane množimo pozitivnim imeniocem:
[tex]5x-1\lt (x-1)\left(x^2-x+1\right)=x^3-2x^2+2x-1[/tex]
[tex]x^3-2x^2-3x\gt 0 \Leftrightarrow x(x-3)(x+1)\gt 0[/tex]
Nule činilaca: [tex]-1; 0; 3[/tex]. Znaci sleva nadesno: [tex]-; +; -; +[/tex].
Odgovor: [tex]x\in(-1; 0)\cup(3; +\infty)[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{x^2-1}{x^3-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x+1}{x^2+x+1}[/tex] (za [tex]x\neq 1[/tex])
Imenilac [tex]x^2+x+1[/tex] je pozitivan za svako [tex]x[/tex], pa njime možemo množiti bez promene znaka nejednakosti:
[tex]\frac{x+1}{x^2+x+1}\lt 1 \Leftrightarrow x+1\lt x^2+x+1[/tex]
Ostale ponuđene nejednačine dobijaju se množenjem sa [tex]x^3-1[/tex] (ili [tex]x-1[/tex]), čiji znak nije poznat.

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq 1[/tex].
Sve prebacimo na levu stranu i svedemo na zajednički imenilac:
[tex]\frac{x(x-1)+2x-6(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x^2-5x+6}{x(x-1)}=\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)}\gt 0[/tex]
Nule brojioca i imenioca: [tex]0; 1; 2; 3[/tex]. Znaci sleva nadesno: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
Odgovor: [tex]x\in(-\infty; 0)\cup(1; 2)\cup(3; +\infty)[/tex].
Ako bismo množili sa [tex]x(x-1)[/tex] ne znajući njegov znak, izgubili bismo rešenja [tex]x\lt 0[/tex].

Rešenje:
Oblast definisanosti: [tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq -3[/tex]. Zajednički imenilac je [tex]x(x+3)[/tex]:
[tex]\frac{x^2-(x-3)(x+3)-9(1-x)}{x(x+3)}\lt 0 \Leftrightarrow \frac{x^2-x^2+9-9+9x}{x(x+3)}\lt 0 \Leftrightarrow \frac{9x}{x(x+3)}\lt 0[/tex]
[tex]\frac{9}{x+3}\lt 0 \Rightarrow x\lt -3[/tex] (za [tex]x\neq 0[/tex])
Odgovor: [tex]x\in(-\infty; -3)[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]t=\frac{3-x}{x}[/tex] ([tex]x\neq 0[/tex], [tex]x\neq 3[/tex]), tada je [tex]\frac{x}{3-x}=\frac{1}{t}[/tex] i
[tex]t+\frac{1}{t}=\frac{t^2+1}{t}\geq 0 \Leftrightarrow t\gt 0[/tex] (brojilac [tex]t^2+1[/tex] je pozitivan).
[tex]\frac{3-x}{x}\gt 0 \Leftrightarrow 0\lt x\lt 3[/tex]
Celobrojna rešenja su [tex]1[/tex] i [tex]2[/tex]; njihov zbir je [tex]3[/tex].

Rešenje:
Broj [tex]x=1[/tex] je koren kubnog polinoma: [tex]1-3-6+8=0[/tex]. Zato je
[tex]x^3-3x^2-6x+8=(x-1)\left(x^2-2x-8\right)=(x-1)(x-4)(x+2)[/tex]
[tex](x+2)^2(x-1)(x-4)\leq 0[/tex]
Za [tex]x=-2[/tex] leva strana je [tex]0[/tex], pa je to rešenje. Za [tex]x\neq -2[/tex] važi [tex](x+2)^2\gt 0[/tex], pa je [tex](x-1)(x-4)\leq 0[/tex], tj. [tex]1\leq x\leq 4[/tex].
Odgovor: [tex]x\in\{-2\}\cup[1; 4][/tex], pa je najmanje celobrojno rešenje [tex]-2[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2+6x+8=(x+2)(x+4)[/tex], [tex]x^2+7x+10=(x+2)(x+5)[/tex]
[tex]\frac{x}{(x+2)(x+4)}-\frac{x}{(x+2)(x+5)}=\frac{x\left[(x+5)-(x+4)\right]}{(x+2)(x+4)(x+5)}=\frac{x}{(x+2)(x+4)(x+5)}\gt 0[/tex]
Nule brojioca i imenioca: [tex]-5; -4; -2; 0[/tex]. Znaci sleva nadesno: [tex]+; -; +; -; +[/tex].
[tex]x\in(-\infty; -5)\cup(-4; -2)\cup(0; +\infty)[/tex]
Negativna celobrojna rešenja su [tex]-3[/tex] i [tex]-6; -7; \ldots[/tex]; najveće od njih je [tex]-3[/tex].