Zadaci sa korenovanjem - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\sqrt{1} = 1[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt{25} = \sqrt{5^2} = 5[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}[/tex]

Rešenje:
Mešoviti broj pretvaramo u nepravi razlomak: [tex]1\frac{24}{25}=\frac{49}{25}[/tex], [tex]\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}=1{,} 4[/tex]
[tex]\sqrt{0{,} 09}=0{,} 3[/tex], [tex]\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5[/tex]
[tex]1{,} 4-0{,} 3+5=6{,} 1[/tex]
Pažnja: [tex]\sqrt{3^2+4^2}\neq 3+4[/tex].

Rešenje:
[tex]5\sqrt{3}[/tex]

Rešenje:
[tex]18\sqrt{2}[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{\sqrt{30}}{10}[/tex]

Rešenje:
[tex]10x^2\sqrt{2x}[/tex]

Rešenje:
[tex]2\sqrt{3xz}[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

Rešenje:
Najpre uprostimo razlomak: [tex]\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}[/tex].
Dakle, [tex]\left(\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2=4\cdot 5=20[/tex].

Rešenje:
Izvlačimo činioce ispred korena da bismo dobili slične korene:
[tex]5\sqrt{12}=5\sqrt{4\cdot 3}=10\sqrt{3}[/tex], [tex]2\sqrt{27}=2\sqrt{9\cdot 3}=6\sqrt{3}[/tex], [tex]\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}[/tex]
[tex]10\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}=11\sqrt{3}[/tex]

Rešenje:
Potkorena veličina kvadratnog korena mora biti nenegativna:
[tex]9-3x\geq 0 \Rightarrow 3x\leq 9 \Rightarrow x\leq 3[/tex]
Dakle, [tex]x\in(-\infty; 3][/tex].

Rešenje:
Unosimo činioce pod koren:
[tex]6\sqrt{2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}[/tex], [tex]3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}[/tex], [tex]2\sqrt{14}=\sqrt{4\cdot 14}=\sqrt{56}[/tex]
[tex]\sqrt{56}\lt \sqrt{58}\lt \sqrt{63}\lt \sqrt{72}[/tex]
Dakle, najmanji broj je [tex]2\sqrt{14}[/tex].

Rešenje:
[tex]\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=\sqrt{9\cdot 25}=3\cdot 5=15[/tex]
[tex]\sqrt{(-2)^6}=\sqrt{64}=8[/tex]
[tex]\left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]15-8-2=5[/tex]
Pažnja: [tex]\sqrt{17^2-8^2}\neq 17-8[/tex].

Rešenje:
[tex]74088=2\cdot 37044=2^2\cdot 18522=2^3\cdot 9261[/tex]
[tex]9261=3\cdot 3087=3^2\cdot 1029=3^3\cdot 343=3^3\cdot 7^3[/tex]
[tex]74088=2^3\cdot 3^3\cdot 7^3=(2\cdot 3\cdot 7)^3=42^3[/tex]
Dakle, [tex]\sqrt[3]{74088}=42[/tex].

Rešenje:
[tex]1024=4^5[/tex], [tex]243=3^5[/tex], pa je [tex]\sqrt[5]{-\frac{1024}{243}}=-\frac{4}{3}[/tex] (koren neparnog stepena iz negativnog broja je negativan).
Mešoviti broj pretvaramo u nepravi razlomak: [tex]5\frac{1}{16}=\frac{81}{16}=\left(\frac{3}{2}\right)^4[/tex], pa je [tex]\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}=\frac{3}{2}[/tex].
[tex]-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}=-2[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\cdot 5}=2\sqrt[3]{5}[/tex]
[tex]\sqrt[6]{25}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[3]{5}[/tex] (delimo izložilac korena i izložilac stepena sa [tex]2[/tex])
[tex]2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5}=3\sqrt[3]{5}[/tex]

Rešenje:
Svodimo korene na zajednički izložilac — najmanji zajednički sadržalac brojeva [tex]2[/tex] i [tex]3[/tex], tj. [tex]6[/tex]:
[tex]\sqrt{5}=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125}[/tex], [tex]\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{4}[/tex]
[tex]\sqrt{5}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{125\cdot 4}=\sqrt[6]{500}[/tex]

Rešenje:
[tex]\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/tex], [tex]\left(\sqrt{2}-1\right)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}[/tex]
[tex]4\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}+3[/tex]
[tex]k=2[/tex], [tex]p=3[/tex], [tex]k+p=5[/tex]

Rešenje:
Svodimo na zajednički imenilac; u imeniocu dobijamo razliku kvadrata:
[tex]\frac{\left(5-2\sqrt{6}\right)+\left(5+2\sqrt{6}\right)}{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}=\frac{10}{25-24}=10[/tex]

Rešenje:
Množimo brojilac i imenilac konjugovanim izrazom [tex]9-4\sqrt{5}[/tex]:
[tex]\frac{9-4\sqrt{5}}{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}=\frac{9-4\sqrt{5}}{81-16\cdot 5}=\frac{9-4\sqrt{5}}{1}=9-4\sqrt{5}[/tex]

Rešenje:
[tex]A\cdot B=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=2-1=1[/tex]
Pošto je njihov proizvod [tex]1[/tex], brojevi su recipročni. Nisu jednaki, nisu suprotni ([tex]A+B=2\sqrt{2}\neq 0[/tex]) i oba su iracionalna.

Rešenje:
Neka je [tex]a=\sqrt[3]{11}[/tex] i [tex]b=\sqrt[3]{3}[/tex]. Tada je [tex]\sqrt[3]{121}=a^2[/tex], [tex]\sqrt[3]{33}=ab[/tex], [tex]\sqrt[3]{9}=b^2[/tex].
Primenjujemo formulu za zbir kubova [tex](a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3[/tex]:
[tex]a^3+b^3=11+3=14[/tex]

Rešenje:
Greška je u koraku [tex](-1)+1=\sqrt{1}+\sqrt{1}[/tex]: [tex]\sqrt{1}=1[/tex], a ne [tex]-1[/tex].
Po definiciji je kvadratni koren nenegativan, pa je [tex]-1\neq\sqrt{1}[/tex]. Tačno je [tex](-1)+1=-\sqrt{1}+\sqrt{1}=0[/tex].

Rešenje:
Koren parnog stepena je nenegativan: [tex]\sqrt[4]{a^4}=|a|[/tex].
[tex]\sqrt{5}\lt 3[/tex], pa je [tex]\sqrt{5}-3\lt 0[/tex] i
[tex]\sqrt[4]{\left(\sqrt{5}-3\right)^4}=\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}[/tex]

Rešenje:
Podsetimo se da je [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex].
[tex]4\sqrt{3}=\sqrt{48}\gt \sqrt{25}=5[/tex], pa je [tex]5-4\sqrt{3}\lt 0[/tex] i [tex]\sqrt{\left(5-4\sqrt{3}\right)^2}=4\sqrt{3}-5[/tex].
[tex]\left(\sqrt{3}-2\right)^2=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}[/tex]
[tex]P=4\sqrt{3}-5+7-4\sqrt{3}=2[/tex]