Zadaci sa korenovanjem - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Koreni imaju isti izložilac, pa množimo potkorene veličine:
[tex]\sqrt[5]{\left(17+\sqrt{46}\right)\left(17-\sqrt{46}\right)}=\sqrt[5]{289-46}=\sqrt[5]{243}=3[/tex]
Zaista, [tex]3^5=243[/tex].

Rešenje:
Brojevi [tex]2000[/tex] i [tex]2014[/tex] su simetrični u odnosu na [tex]2007[/tex]:
[tex]2000\cdot 2014=(2007-7)(2007+7)=2007^2-49[/tex]
[tex]\sqrt{2007^2-49+49}=\sqrt{2007^2}=2007[/tex]

Rešenje:
Svodimo korene na zajednički izložilac [tex]12[/tex]:
[tex]a=\sqrt[3]{4}=\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}[/tex]
[tex]b=\sqrt[4]{6}=\sqrt[12]{6^3}=\sqrt[12]{216}[/tex]
[tex]c=\sqrt[12]{230}[/tex]
[tex]216\lt 230\lt 256 \Rightarrow b\lt c\lt a[/tex]

Rešenje:
Ne. Za [tex]a\lt 0[/tex] leva strana [tex]\sqrt[3]{a}[/tex] je negativna, a desna [tex]\sqrt[6]{a^2}[/tex] je koren parnog stepena i pozitivna je. Pravilo [tex]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[nk]{a^{mk}}[/tex] važi za [tex]a\geq 0[/tex].
Na primer, za [tex]a=-8[/tex]: [tex]\sqrt[3]{-8}=-2[/tex], [tex]\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2[/tex].
Za [tex]a\lt 0[/tex] tačna jednakost je [tex]\sqrt[3]{a}=-\sqrt[6]{a^2}[/tex].

Rešenje:
[tex]\sqrt{8x^3y^2}=\sqrt{4x^2y^2\cdot 2x}=2|x||y|\sqrt{2x}[/tex]
Pošto je [tex]x\gt 0[/tex], važi [tex]|x|=x[/tex], a pošto je [tex]y\lt 0[/tex], važi [tex]|y|=-y[/tex]. Dakle, [tex]\sqrt{8x^3y^2}=2x(-y)\sqrt{2x}=-2xy\sqrt{2x}[/tex].

Rešenje:
Izložilac [tex]4[/tex] je paran, pa potkorena veličina mora biti nenegativna:
[tex]x^4-25x^2=x^2\left(x^2-25\right)\geq 0[/tex]
Za [tex]x=0[/tex] potkorena veličina je [tex]0[/tex] — ta vrednost je dozvoljena (lako se previdi!).
Ako je [tex]x\neq 0[/tex], tada je [tex]x^2\gt 0[/tex] i potrebno je [tex]x^2\geq 25[/tex], tj. [tex]|x|\geq 5[/tex].
Dakle, [tex]x\in(-\infty; -5]\cup\{0\}\cup[5; +\infty)[/tex].

Rešenje:
[tex]\sqrt[3]{\left(x^2-2\right)^6}=\left(x^2-2\right)^2[/tex], pa je [tex]\left(x^2-2\right)^2=4[/tex].
[tex]x^2-2=2 \Rightarrow x=\pm 2[/tex]; [tex]x^2-2=-2 \Rightarrow x=0[/tex]
Rešenja su [tex]-2; 0; 2[/tex], a njihov zbir je [tex]0[/tex].

Rešenje:
Potkorene veličine predstavljamo kao potpune kvadrate:
[tex]29\pm 12\sqrt{5}=9\pm 2\cdot 3\cdot 2\sqrt{5}+20=\left(3\pm 2\sqrt{5}\right)^2[/tex]
[tex]\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\left|3-2\sqrt{5}\right|=2\sqrt{5}-3[/tex], jer je [tex]2\sqrt{5}=\sqrt{20}\gt 3[/tex].
[tex]\sqrt{29+12\sqrt{5}}=3+2\sqrt{5}[/tex]
[tex]\left(2\sqrt{5}-3\right)-\left(3+2\sqrt{5}\right)=-6[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]A=\sqrt{7+\sqrt{13}}+\sqrt{7-\sqrt{13}}\gt 0[/tex]. Kvadriramo:
[tex]A^2=\left(7+\sqrt{13}\right)+2\sqrt{\left(7+\sqrt{13}\right)\left(7-\sqrt{13}\right)}+\left(7-\sqrt{13}\right)[/tex]
[tex]A^2=14+2\sqrt{49-13}=14+2\cdot 6=26[/tex]
Dakle, [tex]A=\sqrt{26}[/tex].

Rešenje:
[tex]\sqrt{38}+\sqrt{19}=\sqrt{19}\left(\sqrt{2}+1\right)[/tex]
[tex]m=\sqrt{19}\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{19}(2-1)=\sqrt{19}[/tex]
[tex]n=3\sqrt{2}=\sqrt{18}[/tex]
[tex]\sqrt{19}\gt \sqrt{18}[/tex], pa je [tex]m\gt n[/tex].

Rešenje:
Potkorenu veličinu tražimo u obliku [tex]\left(a+b\sqrt{2}\right)^3[/tex] sa malim celim brojevima [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Proveravamo [tex]a=b=1[/tex]:
[tex]\left(1+\sqrt{2}\right)^3=1+3\sqrt{2}+3\cdot 2+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}[/tex]
Dakle, [tex]\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Svaki koren zapisujemo kao stepen sa racionalnim izložiocem:
[tex]\sqrt{8}=2^{\frac{3}{2}}[/tex], [tex]\sqrt{3\sqrt[3]{2}}=3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{6}}[/tex]
[tex]\sqrt{2\sqrt{3}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}[/tex], [tex]\sqrt{\sqrt[6]{108}}=\sqrt[12]{2^2\cdot 3^3}=2^{\frac{1}{6}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}[/tex]
Deljenik: [tex]2^{\frac{3}{2}+\frac{1}{6}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}[/tex]
Delilac: [tex]2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}\cdot 3^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=2^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}[/tex]
Količnik: [tex]2^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}=2^1=2[/tex]

Rešenje:
Imenilac grupišemo kao [tex]\left(1+\sqrt{5}\right)+\sqrt{6}[/tex] i množimo brojilac i imenilac sa [tex]\left(1+\sqrt{5}\right)-\sqrt{6}[/tex]:
[tex]\left(1+\sqrt{5}\right)^2-6=1+2\sqrt{5}+5-6=2\sqrt{5}[/tex]
[tex]\frac{10\left(1+\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)}{2\sqrt{5}}=\frac{5\left(1+\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)=5+\sqrt{5}-\sqrt{30}[/tex]

Rešenje:
Za [tex]u=\sqrt[3]{2}[/tex] i [tex]v=\sqrt[3]{3}[/tex] imenilac je [tex]u^2-uv+v^2[/tex].
Množimo brojilac i imenilac sa [tex]u+v[/tex], jer je [tex](u+v)\left(u^2-uv+v^2\right)=u^3+v^3[/tex]:
[tex]\frac{5\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}\right)}=\frac{5\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)}{2+3}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}[/tex]

Rešenje:
[tex]\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)^2=10-2\sqrt{60}+6=16-4\sqrt{15}=4\left(4-\sqrt{15}\right)[/tex]
Pošto je [tex]\sqrt{10}-\sqrt{6}\gt 0[/tex], pa je [tex]\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}[/tex].
[tex]\left(4+\sqrt{15}\right)\frac{\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)^2}{2}=\left(4+\sqrt{15}\right)\frac{4\left(4-\sqrt{15}\right)}{2}=2\left(16-15\right)=2[/tex]

Rešenje:
Uvodimo smenu [tex]u=\sqrt[3]{a}[/tex] i [tex]v=\sqrt[3]{b}[/tex]; tada je [tex]a=u^3[/tex] i [tex]b=v^3[/tex]:
Koristimo formule za razliku i zbir kubova:
[tex]\frac{u^3-v^3}{u-v}-\frac{u^3+v^3}{u+v}=\left(u^2+uv+v^2\right)-\left(u^2-uv+v^2\right)=2uv[/tex]
Izraz je jednak [tex]2\sqrt[3]{ab}[/tex].

Rešenje:
Množimo brojilac i imenilac sa [tex]\sqrt{(1+a)(1-a)}\gt 0[/tex]. Pošto je [tex]\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\cdot \sqrt{(1+a)(1-a)}=1+a[/tex] i [tex]\sqrt{\frac{1-a}{1+a}}\cdot \sqrt{(1+a)(1-a)}=1-a[/tex], dobijamo
[tex]\frac{(1+a)-(1-a)}{(1+a)+(1-a)}=\frac{2a}{2}=a[/tex]

Rešenje:
[tex]1+\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2=\frac{4a^2+a^4-2a^2+1}{4a^2}=\frac{\left(a^2+1\right)^2}{4a^2}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)^2}{4a^2}}=\frac{a^2+1}{2|a|}=\frac{a^2+1}{-2a}[/tex], jer je [tex]a\lt 0[/tex].
[tex]M=\frac{a}{a^2+1}\cdot \frac{a^2+1}{-2a}=-\frac{1}{2}[/tex]
Česta greška je napisati [tex]\sqrt{4a^2}=2a[/tex] i dobiti [tex]\frac{1}{2}[/tex]; za [tex]a\lt 0[/tex] važi [tex]\sqrt{4a^2}=2|a|=-2a[/tex].

Rešenje:
Pretpostavimo suprotno: [tex]\sqrt{5}=\frac{p}{q}[/tex], gde su [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] prirodni brojevi i razlomak je neskrativ. Tada je [tex]5=\frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2=5q^2[/tex].
Dakle, [tex]p^2[/tex] je deljivo sa [tex]5[/tex]. Pošto je [tex]5[/tex] prost broj, i [tex]p[/tex] je deljivo sa [tex]5[/tex]: [tex]p=5k[/tex]. Tada je [tex]25k^2=5q^2 \Rightarrow q^2=5k^2[/tex].
Dakle, i [tex]q[/tex] je deljivo sa [tex]5[/tex], pa se razlomak [tex]\frac{p}{q}[/tex] može skratiti sa [tex]5[/tex] — kontradikcija. Prema tome, [tex]\sqrt{5}[/tex] je iracionalan broj.

Rešenje:
Neka je [tex]x+\sqrt{2}=q[/tex], gde je [tex]q[/tex] racionalan broj. Tada je [tex]x=q-\sqrt{2}[/tex] i [tex]x\sqrt{2}=\left(q-\sqrt{2}\right)\sqrt{2}=q\sqrt{2}-2[/tex].
Ovaj broj je racionalan samo ako je [tex]q\sqrt{2}[/tex] racionalan. Ako je [tex]q\neq 0[/tex], tada bi [tex]\sqrt{2}=\frac{q\sqrt{2}}{q}[/tex] bio racionalan, što nije tačno. Dakle, [tex]q=0[/tex].
Jedini takav broj je [tex]x=-\sqrt{2}[/tex]. Provera: [tex]x\sqrt{2}=-2[/tex] i [tex]x+\sqrt{2}=0[/tex].