Jednačine sa modulom - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Primetimo da je [tex]|4-2x|=2|x-2|[/tex] i [tex]|6-3x|=3|x-2|[/tex]:
[tex]|x-2|-2|x-2|-3|x-2|=-8 \Rightarrow -4|x-2|=-8 \Rightarrow |x-2|=2[/tex]
[tex]x-2=2 \Rightarrow x=4[/tex]; [tex]x-2=-2 \Rightarrow x=0[/tex]

Rešenje:
Dve apsolutne vrednosti su jednake kada su izrazi jednaki ili suprotni:
[tex]2-3x=9+4x \Rightarrow -7x=7 \Rightarrow x=-1[/tex]
[tex]2-3x=-(9+4x) \Rightarrow 2-3x=-9-4x \Rightarrow x=-11[/tex]
[tex]-1+(-11)=-12[/tex]

Rešenje:
Izrazi pod apsolutnim vrednostima menjaju znak u [tex]x=0[/tex] i [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Posmatramo tri intervala:
[tex]x\lt 0:\ -x-(2x-1)=3 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}[/tex] (pripada intervalu)
[tex]0\le x\lt \frac{1}{2}:\ x-(2x-1)=3 \Rightarrow x=-2[/tex] (ne pripada intervalu)
[tex]x\ge \frac{1}{2}:\ x+2x-1=3 \Rightarrow x=\frac{4}{3}[/tex] (pripada intervalu)

Rešenje:
Za [tex]x\lt 3[/tex]: [tex]3-x>0[/tex] i [tex]x-5\lt 0[/tex], pa je [tex]|3-x|=3-x[/tex] i [tex]|x-5|=5-x[/tex]:
[tex]3-x-x(5-x)=3 \Rightarrow x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] ili [tex]x=6[/tex]; samo [tex]x=0[/tex] zadovoljava [tex]x\lt 3[/tex].

Rešenje:
[tex]a\lt 0 \Rightarrow a-1\lt 0 \Rightarrow |a-1|=1-a[/tex]
[tex]\big|a-2-(1-a)\big|=|2a-3|[/tex]
[tex]a\lt 0 \Rightarrow 2a-3\lt 0 \Rightarrow |2a-3|=3-2a[/tex]

Rešenje:
[tex]a\lt 0[/tex]: apsolutna vrednost nije negativna – nema rešenja.
[tex]a=0[/tex]: [tex]2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex] – jedno rešenje.
[tex]a>0[/tex]: [tex]2x-1=a[/tex] ili [tex]2x-1=-a[/tex], tj. [tex]x=\frac{1+a}{2}[/tex] ili [tex]x=\frac{1-a}{2}[/tex] – dva rešenja.

Rešenje:
[tex]x_1=m+3[/tex], [tex]x_2=m-3[/tex]
[tex](m+3)(m-3)\lt 0[/tex]
Proizvod dva broja je negativan kada su suprotnog znaka; pošto je [tex]m+3>m-3[/tex], mora biti [tex]m+3>0[/tex] i [tex]m-3\lt 0[/tex]:
[tex]-3\lt m\lt 3[/tex]

Rešenje:
Apsolutna vrednost ne može biti negativna, pa jednačina nema rešenja tačno kada je desna strana negativna:
[tex]m^2-4m+3=(m-1)(m-3)\lt 0[/tex]
Činioci su suprotnog znaka; pošto je [tex]m-1>m-3[/tex]: [tex]m-1>0[/tex] i [tex]m-3\lt 0[/tex], tj. [tex]1\lt m\lt 3[/tex].

Rešenje:
[tex](x-4)^2=(2x+1)^2 \Rightarrow x-4=2x+1[/tex] ili [tex]x-4=-(2x+1)[/tex]
[tex]x=-5[/tex] ili [tex]x=1[/tex]
[tex]|x-m|=3 \Rightarrow x=m-3[/tex] ili [tex]x=m+3[/tex]
Rešenja se moraju poklapati: [tex]m-3=-5[/tex] i [tex]m+3=1[/tex], pa je [tex]m=-2[/tex].
[tex]m^2=4[/tex]

Rešenje:
Zbir dve apsolutne vrednosti (nenegativnih brojeva) jednak je [tex]0[/tex] samo kada su obe jednake [tex]0[/tex]:
[tex]x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2[/tex] ili [tex]x=4[/tex]
[tex]x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0 \Rightarrow x=1[/tex] ili [tex]x=5[/tex]
Nema zajedničke vrednosti, pa jednačina nema rešenja.

Rešenje:
Pošto je [tex]x^2-4x=(x-2)^2-4[/tex] i [tex](x-2)^2=|x-2|^2[/tex], uvodimo smenu [tex]t=|x-2|\ge 0[/tex]:
[tex]t^2-4+t=8 \Rightarrow t^2+t-12=0 \Rightarrow (t+4)(t-3)=0[/tex]
[tex]t=-4[/tex] je nemoguće ([tex]t\ge 0[/tex]), pa je [tex]t=3[/tex]: [tex]|x-2|=3 \Rightarrow x=5[/tex] ili [tex]x=-1[/tex].