Inverzne trigonometrijske funkcije - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Sinus je neparna funkcija s periodom [tex]2\pi[/tex]:
[tex]\sin \left(-\frac{17\pi}{6}\right)=-\sin \frac{17\pi}{6}=-\sin \frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{2}[/tex]
Vrednosti [tex]\arcsin [/tex] su u [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex], pa je odgovor [tex]\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}[/tex]. Broj [tex]-\frac{17\pi}{6}[/tex] nije u tom intervalu.

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\arcsin \frac{1}{3}\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Tada je
[tex]\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\;\Rightarrow\;\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}=\alpha[/tex]
Pošto je [tex]\arccos(-a)=\pi-\arccos a[/tex], zbir je jednak [tex]\alpha+\pi-\alpha=\pi[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\operatorname{arctg} x\in\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)[/tex]. Ugao [tex]\beta=-\frac{\pi}{2}-\alpha[/tex] je takođe u [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)[/tex] i
[tex]\tg \beta=\tg \left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg \alpha=\frac{1}{x}[/tex]
Dakle, [tex]\operatorname{arctg} \frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}-\alpha[/tex] i zbir je [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex]. Provera: za [tex]x=-1[/tex] dobijamo [tex]-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}[/tex].

Rešenje:
Primenimo dva puta [tex]\tg (a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\tg b}[/tex]:
[tex]\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}; \quad\frac{\frac{7}{9}+\frac{1}{8}}{1-\frac{7}{72}}=\frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}}=1[/tex]
Svaki sabirak je u [tex]\left(0; \frac{\pi}{4}\right)[/tex], pa je zbir u [tex]\left(0; \frac{3\pi}{4}\right)[/tex]. Jedini ugao tu s tangensom [tex]1[/tex] je [tex]\frac{\pi}{4}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\operatorname{arctg} \frac{1}{7}[/tex] i [tex]\beta=\operatorname{arctg} \frac{1}{3}[/tex]. Tada je
[tex]\cos 2\alpha=\frac{1-\tg ^2\alpha}{1+\tg ^2\alpha}=\frac{1-\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}}=\frac{24}{25}[/tex]
[tex]\tg 2\beta=\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}; \quad\sin 4\beta=\frac{2\tg 2\beta}{1+\tg ^2 2\beta}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}}=\frac{24}{25}[/tex]
Dakle, razlika je [tex]\frac{24}{25}-\frac{24}{25}=0[/tex].

Rešenje:
Imamo [tex]\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}[/tex]. Iz [tex]\operatorname{arcctg} (-a)=\pi-\operatorname{arcctg} a[/tex] i [tex]\operatorname{arcctg} a=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} a[/tex]:
[tex]\operatorname{arcctg} (-\pi)=\pi-\frac{\pi}{2}+\operatorname{arctg} \pi=\frac{\pi}{2}+\operatorname{arctg} \pi[/tex]
Izraz je jednak
[tex]\operatorname{arctg} \pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} \pi=-\frac{2\pi}{3}[/tex]

Rešenje:
Potrebno je
[tex]-1\le\frac{4x\operatorname{arctg} x}{\pi}\le 1[/tex]
Brojevi [tex]x[/tex] i [tex]\operatorname{arctg} x[/tex] su istog znaka, pa je [tex]g(x)=x\operatorname{arctg} x\ge 0[/tex], a [tex]g[/tex] je parna. Dovoljno je da važi [tex]x\operatorname{arctg} x\le\frac{\pi}{4}[/tex]. Za [tex]x\ge 0[/tex] funkcija [tex]g[/tex] raste (proizvod dve nenegativne rastuće funkcije) i [tex]g(1)=\frac{\pi}{4}[/tex]. Dakle, [tex]0\le x\le 1[/tex], a zbog parnosti domen je [tex]\left[-1; 1\right][/tex].