Inverzne trigonometrijske funkcije - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\operatorname{arctg} 2019[/tex]. Pošto je [tex]2019\gt 1[/tex], [tex]\alpha\in\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Za [tex]x=2019=\tg \alpha[/tex]:
[tex]\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2\tg \alpha}{1+\tg ^2\alpha}=\sin 2\alpha[/tex]
Ovde je [tex]2\alpha\in\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)[/tex], pa je [tex]\arcsin (\sin 2\alpha)=\pi-2\alpha[/tex], jer [tex]\pi-2\alpha\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] ima isti sinus. Dakle, [tex]f(2019)=2\alpha+\pi-2\alpha=\pi[/tex].

Rešenje:
Vrednosti [tex]\arcsin [/tex] su u [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex], pa je
[tex]-\frac{\pi}{2}\le 2\pi+\frac{\pi x}{2}\le\frac{\pi}{2}\iff -5\le x\le -3[/tex]
Potrebno je i [tex]\frac{3x+7}{x+1}\le 1[/tex]. Za [tex]x\le -3[/tex] je [tex]x+1\lt 0[/tex], pa to znači [tex]3x+7\ge x+1[/tex], tj. [tex]x\ge -3[/tex]. Jedina moguća vrednost je [tex]x=-3[/tex]. Provera: [tex]\arcsin \frac{-2}{-2}=\arcsin 1=\frac{\pi}{2}[/tex] i [tex]2\pi-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex]. Rešenje je [tex]x=-3[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\arccos x[/tex], tj. [tex]\cos\alpha=x[/tex]. Za [tex]x\in\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right][/tex] je [tex]\alpha\in\left[\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right][/tex], pa je [tex]3\alpha-\pi\in\left[0; \pi\right][/tex]. Po formuli za kosinus trostrukog ugla
[tex]\cos(3\alpha-\pi)=-\cos 3\alpha=-\left(4x^3-3x\right)=3x-4x^3[/tex]
Ugao iz [tex]\left[0; \pi\right][/tex] s kosinusom [tex]3x-4x^3[/tex] jednak je [tex]\arccos\left(3x-4x^3\right)[/tex]. Dakle, [tex]3\arccos x-\pi=\arccos\left(3x-4x^3\right)[/tex], što je trebalo dokazati.

Rešenje:
Primetimo da je
[tex]\frac{1}{2k^2}=\frac{(2k+1)-(2k-1)}{1+(2k+1)(2k-1)}[/tex]
Po formuli [tex]\operatorname{arctg} a-\operatorname{arctg} b=\operatorname{arctg} \frac{a-b}{1+ab}[/tex] (koja važi za [tex]a\gt 0[/tex], [tex]b\gt 0[/tex]) dobijamo
[tex]\operatorname{arctg} \frac{1}{2k^2}=\operatorname{arctg} (2k+1)-\operatorname{arctg} (2k-1)[/tex]
Sabiranjem ovih jednakosti za [tex]k=1; 2; \dots; n[/tex] svi srednji članovi se poništavaju i zbir je [tex]\operatorname{arctg} (2n+1)-\operatorname{arctg} 1[/tex]. Tada je
[tex]\tg \left(\operatorname{arctg} (2n+1)-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{(2n+1)-1}{1+(2n+1)}=\frac{2n}{2n+2}=\frac{n}{n+1}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]y[/tex] zajednička vrednost. Tada je [tex]y\in\left[0; \pi\right][/tex] i [tex]y\in\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex], pa je [tex]y\in\left[0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] i [tex]\tg y=5x\ge 0[/tex], tj. [tex]x\ge 0[/tex]. Iz [tex]\cos y=2x[/tex] i [tex]\tg y=5x[/tex] dobijamo [tex]\sin y=\tg y\cos y=10x^2[/tex]. Tada [tex]\sin ^2 y+\cos^2 y=1[/tex] daje
[tex]100x^4+4x^2-1=0\;\Rightarrow\;x^2=\frac{\sqrt{26}-1}{50}[/tex]
(drugi koren je negativan). Za ovo [tex]x\gt 0[/tex] ugao [tex]y=\arccos 2x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] ima [tex]\tg y=5x[/tex], pa je [tex]x=\sqrt{\frac{\sqrt{26}-1}{50}}[/tex] jedino rešenje.

Rešenje:
Domen je [tex]-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}[/tex]. Za [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] dobijamo [tex]\operatorname{arctg} \frac{5}{2}\lt\frac{\pi}{2}[/tex], što je tačno; za [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex] dobijamo [tex]\operatorname{arctg} \left(-\frac{5}{2}\right)\lt-\frac{\pi}{2}[/tex], što nije tačno. Za [tex]|x|\lt\frac{1}{2}[/tex] obe strane su u [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex], gde [tex]\tg [/tex] raste, pa je nejednačina ekvivalentna sa
[tex]5x\lt\tg (\arcsin 2x)=\frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}[/tex]
Za [tex]x=0[/tex] obe strane su jednake. Za [tex]x\gt 0[/tex]: [tex]\sqrt{1-4x^2}\lt\frac{2}{5}[/tex], odakle je [tex]x^2\gt\frac{21}{100}[/tex] i [tex]x\gt\frac{\sqrt{21}}{10}[/tex]. Za [tex]x\lt 0[/tex] znak se menja: [tex]\sqrt{1-4x^2}\gt\frac{2}{5}[/tex], odakle je [tex]-\frac{\sqrt{21}}{10}\lt x\lt 0[/tex].