Trigonometrijski izrazi i identiteti - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]p=\sin ^2\alpha\cos^2\alpha[/tex]. Tada je
[tex]\sin ^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2p; \quad\sin ^8\alpha+\cos^8\alpha=(1-2p)^2-2p^2=1-4p+2p^2[/tex]
Razlomak je jednak [tex]\frac{-4p+2p^2}{p}=-4+2p[/tex], a ceo izraz je [tex]-4+2p+1-2p=-3[/tex].

Rešenje:
Uprošćavamo korak po korak:
[tex]\frac{\sin 4\alpha}{1+\cos 4\alpha}=\frac{2\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{2\cos^2 2\alpha}=\tg 2\alpha[/tex]
[tex]\tg 2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{\sin 2\alpha}{2\cos^2\alpha}=\tg \alpha[/tex]
[tex]\tg \alpha\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\tg \frac{\alpha}{2}[/tex]

Rešenje:
[tex]\cos 2\alpha=\frac{1-\tg ^2\alpha}{1+\tg ^2\alpha}=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}; \quad\cos 4\alpha=2\cos^2 2\alpha-1=-\frac{7}{9}[/tex]
Po formuli za proizvod kosinusa:
[tex]\cos\alpha\cos 3\alpha=\frac{1}{2}(\cos 4\alpha+\cos 2\alpha)=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{9}-\frac{3}{9}\right)=-\frac{5}{9}[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}[/tex] i [tex]\sin x=\cos(90^{\circ}-x)[/tex], izraz je jednak [tex]8\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}[/tex]. Pomnožimo i podelimo sa [tex]\sin 20^{\circ}[/tex] i tri puta primenimo [tex]2\sin x\cos x=\sin 2x[/tex]:
[tex]8\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}=4\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}=2\sin 80^{\circ}\cos 80^{\circ}=\sin 160^{\circ}=\sin 20^{\circ}[/tex]
Dakle, vrednost je [tex]\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=1[/tex].

Rešenje:
Transformišimo brojilac:
[tex]\sin 2\alpha+\sin 6\alpha+\sin 4\alpha=2\sin 4\alpha\cos 2\alpha+2\sin 2\alpha\cos 2\alpha=2\cos 2\alpha(\sin 4\alpha+\sin 2\alpha)=4\cos\alpha\cos 2\alpha\sin 3\alpha[/tex]
Dakle, razlomak je jednak [tex]4[/tex].

Rešenje:
Svedimo prvu zagradu na zajednički imenilac:
[tex]\frac{(1-\sin \alpha)-(1+\sin \alpha)}{\sqrt{1-\sin ^2\alpha}}=\frac{-2\sin \alpha}{|\cos\alpha|}[/tex]
Analogno, druga zagrada je jednaka [tex]\frac{-2\cos\alpha}{|\sin \alpha|}[/tex]. Proizvod je
[tex]\frac{4\sin \alpha\cos\alpha}{|\sin \alpha|\cdot |\cos\alpha|}[/tex]
Za [tex]\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi[/tex] je [tex]\sin \alpha\gt 0[/tex] i [tex]\cos\alpha\lt 0[/tex], pa je vrednost [tex]-4[/tex].

Rešenje:
[tex]\sin ^2 17^{\circ}=\frac{1-\cos 34^{\circ}}{2}; \quad\cos^2 47^{\circ}=\frac{1+\cos 94^{\circ}}{2}; \quad\sin 17^{\circ}\cos 47^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\sin 64^{\circ}-\sin 30^{\circ}\right)[/tex]
Takođe, [tex]\cos 94^{\circ}-\cos 34^{\circ}=-2\sin 64^{\circ}\sin 30^{\circ}=-\sin 64^{\circ}[/tex]. Zbir je
[tex]1+\frac{\cos 94^{\circ}-\cos 34^{\circ}}{2}+\frac{1}{2}\sin 64^{\circ}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}\sin 64^{\circ}+\frac{1}{2}\sin 64^{\circ}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

Rešenje:
[tex]\sin 78^{\circ}-\sin 42^{\circ}=2\cos 60^{\circ}\sin 18^{\circ}=\sin 18^{\circ}; \quad\sin 6^{\circ}-\sin 66^{\circ}=-2\cos 36^{\circ}\sin 30^{\circ}=-\cos 36^{\circ}[/tex]
Dakle, [tex]A=\sin 18^{\circ}-\sin 54^{\circ}=-2\cos 36^{\circ}\sin 18^{\circ}[/tex]. Pomnožimo sa [tex]\cos 18^{\circ}[/tex]:
[tex]A\cos 18^{\circ}=-\cos 36^{\circ}\sin 36^{\circ}=-\frac{1}{2}\sin 72^{\circ}=-\frac{1}{2}\cos 18^{\circ}[/tex]
Odatle je [tex]A=-\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Koristeći [tex]\sin u\cos v=\frac{1}{2}\left[\sin (u+v)+\sin (u-v)\right][/tex] za [tex]u+v=2x+\frac{\pi}{12}[/tex] i [tex]u-v=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{6}[/tex]:
[tex]\sin \left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{1}{4}[/tex]
Najmanja vrednost sinusa je [tex]-1[/tex], pa je minimum [tex]-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]u=\alpha-\frac{\beta}{2}[/tex] i [tex]v=\frac{\alpha}{2}-\beta[/tex]; tada je [tex]u-v=\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]. Oba ugla su oštra, pa je
[tex]\sin u=\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}; \quad\cos v=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]
[tex]\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos u\cos v+\sin u\sin v=\frac{1}{9}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9\sqrt{5}}{27}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]s=\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex] i [tex]d=\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex]. Po formulama za zbir [tex]a=2\cos s\cos d[/tex] i [tex]b=2\sin s\cos d[/tex]. Dakle,
[tex]a^2+b^2=4\cos^2 d; \quad a^2-b^2=4\cos^2 d\left(\cos^2 s-\sin ^2 s\right)=4\cos^2 d\cos(\alpha+\beta)[/tex]
Pošto je [tex]a^2+b^2\ne 0[/tex], dobijamo [tex]\cos(\alpha+\beta)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/tex].

Rešenje:
[tex]\ctg x-\tg x=\frac{\cos^2 x-\sin ^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\ctg 2x[/tex]
Primenimo ovo tri puta:
[tex]\ctg \alpha-\tg \alpha=2\ctg 2\alpha; \quad 2\ctg 2\alpha-2\tg 2\alpha=4\ctg 4\alpha; \quad 4\ctg 4\alpha-4\tg 4\alpha=8\ctg 8\alpha[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)[/tex], imamo [tex]\sin \gamma=\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta[/tex]. Uslov postaje
[tex]\sin \alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta=2\sin \alpha\cos\beta\iff\sin \alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin \beta=0\iff\sin (\alpha-\beta)=0[/tex]
Pošto je [tex]-180^{\circ}\lt\alpha-\beta\lt 180^{\circ}[/tex], dobijamo [tex]\alpha-\beta=0[/tex]. Dakle, [tex]\alpha=\beta[/tex] i trougao je jednakokraki.

Rešenje:
Pošto je [tex]\sin (\alpha+\beta)=\sin (180^{\circ}-\gamma)=\sin \gamma[/tex] i [tex]\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)[/tex]:
[tex]\sin 2\alpha+\sin 2\beta=2\sin \gamma\cos(\alpha-\beta); \quad\sin 2\gamma=2\sin \gamma\cos\gamma=-2\sin \gamma\cos(\alpha+\beta)[/tex]
Dakle, leva strana je jednaka
[tex]2\sin \gamma\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]=2\sin \gamma\cdot 2\sin \alpha\sin \beta=4\sin \alpha\sin \beta\sin \gamma[/tex]

Rešenje:
[tex]\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}; \quad\sin \gamma=\sin (\alpha+\beta)=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]
Pošto je [tex]\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\ne 0[/tex], uslov daje [tex]\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]. Razvijmo:
[tex]\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-2\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}[/tex]
Dakle, [tex]3\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\beta}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}[/tex], tj. [tex]\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2}=\frac{1}{3}[/tex]. Tražena vrednost je [tex]\frac{2}{3}[/tex].

Rešenje:
Napišimo proizvod kao
[tex]\frac{\sin \alpha\sin (60^{\circ}-\alpha)}{\cos\alpha\cos(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{\cos(2\alpha-60^{\circ})-\cos 60^{\circ}}{\cos(2\alpha-60^{\circ})+\cos 60^{\circ}}[/tex]
Neka je [tex]u=\cos(2\alpha-60^{\circ})[/tex]; tada je [tex]\frac{1}{2}\lt u\le 1[/tex]. Izraz je jednak
[tex]\frac{u-\frac{1}{2}}{u+\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{u+\frac{1}{2}}[/tex]
i raste sa [tex]u[/tex]. Maksimum je za [tex]u=1[/tex], tj. [tex]\alpha=30^{\circ}[/tex]: [tex]1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex].

Rešenje:
[tex]\sin 3\alpha+\sin 3\beta=2\sin \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3(\alpha-\beta)}{2}; \quad\sin 3\gamma=\sin 3(\alpha+\beta)=2\sin \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3(\alpha+\beta)}{2}[/tex]
Dakle, zbir je jednak
[tex]2\sin \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\left[\cos\frac{3(\alpha-\beta)}{2}+\cos\frac{3(\alpha+\beta)}{2}\right]=4\sin \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{3\beta}{2}[/tex]
a [tex]\sin \frac{3(\alpha+\beta)}{2}=\sin \left(270^{\circ}-\frac{3\gamma}{2}\right)=-\cos\frac{3\gamma}{2}[/tex]. Odatle je [tex]\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{3\beta}{2}\cos\frac{3\gamma}{2}=0[/tex]. Svako [tex]\frac{3x}{2}[/tex] je u [tex]\left(0^{\circ}; 270^{\circ}\right)[/tex], pa za jedan od uglova važi [tex]\frac{3x}{2}=90^{\circ}[/tex], tj. on je [tex]60^{\circ}[/tex]. Druga dva ugla imaju zbir [tex]120^{\circ}[/tex], pa je jedan najviše [tex]60^{\circ}[/tex], a drugi najmanje [tex]60^{\circ}[/tex]. Dakle, srednji ugao je [tex]60^{\circ}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]t=\sin \alpha[/tex]:
[tex]15t^2-29t+12=0\iff t=\frac{29\pm 11}{30}[/tex]
tj. [tex]t=\frac{4}{3}[/tex] (nemoguće) ili [tex]t=\frac{3}{5}[/tex]. U drugom kvadrantu je [tex]\cos\alpha=-\frac{4}{5}[/tex]. Tada je
[tex]\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}}=3[/tex]

Rešenje:
Period tangensa je [tex]180^{\circ}[/tex] i [tex]2015^{\circ}=11\cdot 180^{\circ}+35^{\circ}[/tex], pa je [tex]\tg 2015^{\circ}=\tg 35^{\circ}[/tex]. Pošto je [tex]35^{\circ}=45^{\circ}-10^{\circ}[/tex]:
[tex]\tg 35^{\circ}=\frac{\tg 45^{\circ}-\tg 10^{\circ}}{1+\tg 45^{\circ}\tg 10^{\circ}}=\frac{1-a}{1+a}[/tex]