Osnovni zadaci iz trigonometrije - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Koristimo [tex]\frac{\pi}{2}\approx 1{,} 57[/tex], [tex]\pi\approx 3{,} 14[/tex] i [tex]2\pi\approx 6{,} 28[/tex]. Pošto je [tex]1{,} 57\lt 2\lt 3{,} 14[/tex] i [tex]1{,} 57\lt 3\lt 3{,} 14[/tex], uglovi [tex]2[/tex] i [tex]3[/tex] su u drugom kvadrantu. Za [tex]-4[/tex] dodajemo pun obrt: [tex]-4+2\pi\approx 2{,} 28[/tex], što je takođe između [tex]1{,} 57[/tex] i [tex]3{,} 14[/tex]. Dakle, sva tri ugla su u drugom kvadrantu.

Rešenje:
[tex]\sin \frac{7\pi}{6}=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}; \quad\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex]
Pošto je [tex]\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex], važi [tex]\tg \frac{5\pi}{14}=\ctg \frac{\pi}{7}[/tex], pa je [tex]\tg \frac{\pi}{7}\cdot \tg \frac{5\pi}{14}=1[/tex]. Vrednost je [tex]-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=1[/tex].

Rešenje:
Po formulama svođenja:
[tex]\cos(270^{\circ}-x)=-\sin x; \ \sin (270^{\circ}+x)=-\cos x; \ \tg (180^{\circ}-x)=-\tg x; \ \cos(270^{\circ}+x)=\sin x; \ \sin (180^{\circ}-x)=\sin x[/tex]
Brojilac je [tex]2(-\sin x)(-\cos x)(-\tg x)=-2\sin ^2 x[/tex], a imenilac [tex]\sin ^2 x[/tex], pa je vrednost [tex]-2[/tex] za svako dopustivo [tex]x[/tex].

Rešenje:
[tex]\sin (\alpha-270^{\circ})=\cos\alpha; \quad\cos(\alpha-90^{\circ})=\sin \alpha; \quad\tg (\alpha+90^{\circ})=-\ctg \alpha[/tex]
Proizvod je
[tex]\cos\alpha\cdot \sin \alpha\cdot \left(-\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}\right)=-\cos^2\alpha=-\frac{1}{1+\tg ^2\alpha}=-\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=-\frac{4}{5}[/tex]

Rešenje:
[tex]x-2\pi\in\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)[/tex], pa je završni krak [tex]x[/tex] u drugom kvadrantu: [tex]\sin x\gt 0[/tex] i [tex]\cos x\lt 0[/tex]. Iz [tex]\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}=-2[/tex] dobijamo [tex]\cos x=-2\sin x[/tex], odakle je [tex]\sin ^2 x+4\sin ^2 x=1[/tex] i [tex]\sin ^2 x=\frac{1}{5}[/tex]. Dakle,
[tex]\sin x=\frac{\sqrt{5}}{5}; \quad\cos x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]

Rešenje:
U drugom kvadrantu je [tex]\cos\alpha\lt 0[/tex], pa je
[tex]\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}; \quad\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}[/tex]
Dakle, [tex]7\tg \alpha=-3\sqrt{7}[/tex] i [tex]-8\cos\alpha=2\sqrt{7}[/tex], a vrednost je [tex]-3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=-\sqrt{7}[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{3\sin \alpha+2\tg \alpha}{\ctg \alpha}=\left(3\sin \alpha+\frac{2\sin \alpha}{\cos\alpha}\right)\cdot \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin ^2\alpha}{\cos\alpha}\left(3+\frac{2}{\cos\alpha}\right)[/tex]
Pojavljuje se samo [tex]\sin ^2\alpha[/tex], pa znak [tex]\sin \alpha[/tex] nije bitan: [tex]\sin ^2\alpha=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}[/tex] i [tex]3+\frac{2}{\cos\alpha}=9[/tex]. Vrednost je
[tex]\frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{3}}\cdot 9=\frac{8}{3}\cdot 9=24[/tex]

Rešenje:
Zamenimo [tex]\sin ^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/tex]:
[tex]20\cos^2\alpha-21\cos\alpha+4=0[/tex]
odakle je [tex]\cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex] ili [tex]\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]. Za [tex]\alpha\in\left(315^{\circ}; 360^{\circ}\right)[/tex] je [tex]\cos\alpha\gt\cos 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,} 71[/tex], pa je [tex]\cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex]. U četvrtom kvadrantu je [tex]\sin \alpha\lt 0[/tex], pa je [tex]\sin \alpha=-\frac{3}{5}[/tex] i [tex]\tg \alpha=-\frac{3}{4}[/tex].

Rešenje:
Neka je u [tex]ABC[/tex] [tex]\angle C=90^{\circ}[/tex] i [tex]CH[/tex] visina. Neka je [tex]AH=x[/tex] projekcija [tex]AC[/tex]; tada je [tex]AB=5x[/tex] i [tex]HB=4x[/tex]. U pravouglom trouglu je [tex]CH^2=AH\cdot HB=4x^2[/tex], pa je [tex]CH=2x[/tex]. Oštri ugao koji naleže na [tex]AC[/tex] je [tex]\angle A[/tex], a u pravouglom trouglu [tex]AHC[/tex]:
[tex]\tg A=\frac{CH}{AH}=\frac{2x}{x}=2[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]CM[/tex] težišna duž na hipotenuzu; tada je [tex]CM=MA=MB=\frac{AB}{2}=2CH[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]CHM[/tex]: [tex]\sin \angle CMH=\frac{CH}{CM}=\frac{1}{2}[/tex], pa je oštar ugao između [tex]CM[/tex] i [tex]AB[/tex] jednak [tex]30^{\circ}[/tex]. Neka je [tex]\angle A[/tex] najmanji ugao. Trougao [tex]AMC[/tex] je jednakokraki ([tex]MA=MC[/tex]), pa je njegov spoljašnji ugao [tex]\angle CMB=2\angle A\lt 90^{\circ}[/tex]. Dakle, [tex]2\angle A=30^{\circ}[/tex] i [tex]\angle A=15^{\circ}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AH\perp BC[/tex], [tex]H\in BC[/tex], tj. [tex]AH=h_a[/tex]. Pošto su [tex]\beta[/tex] i [tex]\gamma[/tex] oštri, [tex]H[/tex] leži između [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex], pa je [tex]a=BH+HC[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]ABH[/tex]: [tex]\ctg \beta=\frac{BH}{AH}[/tex], tj. [tex]BH=h_a\ctg \beta[/tex]. Analogno, [tex]HC=h_a\ctg \gamma[/tex]. Tada je
[tex]a=h_a(\ctg \beta+\ctg \gamma)\iff\frac{a}{h_a}=\ctg \beta+\ctg \gamma[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]CH\perp AB[/tex]; [tex]H[/tex] je središte [tex]AB[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]AHC[/tex]: [tex]AH=AC\cdot \cos\angle BAC=\frac{3}{5}AC[/tex], pa je [tex]AB=2AH=\frac{6}{5}AC[/tex]. Po teoremi o simetrali ugla
[tex]\frac{CL}{LB}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{\frac{6}{5}AC}=\frac{5}{6}[/tex]

Rešenje:
Dijagonale se polove pod pravim uglom, pa je stranica [tex]a=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex]. Površina je [tex]S=\frac{6\cdot 8}{2}=24[/tex], pa je visina [tex]h=\frac{S}{a}=\frac{24}{5}[/tex]. U pravouglom trouglu koji čine visina i stranica:
[tex]\sin \alpha=\frac{h}{a}=\frac{24}{25}; \quad\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{576}{625}}=\frac{7}{25}; \quad\tg \alpha=\frac{24}{7}[/tex]

Rešenje:
Visina je jednaka prečniku: [tex]h=2r=4[/tex]. Neka je [tex]DD_1\perp AB[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]AD_1D[/tex]: [tex]\tg A=\frac{DD_1}{AD_1}=4[/tex], pa je [tex]AD_1=1[/tex] i [tex]AD=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}[/tex]. U trapez je upisana kružnica, pa je [tex]AB+CD=AD+BC=2\sqrt{17}[/tex]. Takođe [tex]AB-CD=2AD_1=2[/tex]. Dakle,
[tex]AB=\sqrt{17}+1; \quad CD=\sqrt{17}-1; \quad S=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\sqrt{17}\cdot 4=4\sqrt{17}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]BM[/tex] težišna duž, [tex]M[/tex] središte [tex]AC[/tex]. Tačka [tex]C[/tex] leži na [tex]BC[/tex], pa je rastojanje [tex]M[/tex] od [tex]BC[/tex] polovina rastojanja [tex]A[/tex] od [tex]BC[/tex], tj. [tex]\frac{h_a}{2}[/tex]. Neka je [tex]MP\perp BC[/tex], [tex]P\in BC[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]BPM[/tex]:
[tex]\sin \angle MBP=\frac{MP}{BM}=\frac{\frac{h_a}{2}}{m_b}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\angle MBP=30^{\circ}[/tex]

Rešenje:
Neka je ugao na osnovici [tex]\alpha[/tex]; ugao pri vrhu je [tex]180^{\circ}-2\alpha[/tex]. Tada je
[tex]\sin \alpha=3\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-3\cos 2\alpha=-3\left(1-2\sin ^2\alpha\right)\iff 6\sin ^2\alpha-\sin \alpha-3=0[/tex]
Dakle, [tex]\sin \alpha=\frac{1\pm\sqrt{73}}{12}[/tex]. Pošto je [tex]\sin \alpha\gt 0[/tex], [tex]\sin \alpha=\frac{1+\sqrt{73}}{12}\approx 0{,} 795[/tex] (tada je [tex]\alpha\approx 52{,} 7^{\circ}[/tex], što je moguće).