Uglovi - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Ugao meri otvor između dve prave koje se seku. Prave su beskonačne, pa njihova dužina ne utiče na meru ugla.

Rešenje:
Uglovi se mere pomoću stepenova.

Rešenje:
Teme ugla je zajednička tačka dva kraka. U ovom slučaju, tačka A.

Rešenje:
Slovo kojim je označen ugao označava njegovo teme.

Rešenje:
Ako je ugao označen sa 3 slova, srednje slovo označava teme ugla. Druga dva slova označavaju po jednu tačku na svakom od krakova.

Rešenje:
Ne, jer je srednje slovo različito, te uglovi nemaju isto teme.

Rešenje:
Da, jer je srednje slovo isto, te oni imaju isto teme. Štaviše, tačke B i D se nalaze sa jedne strane ugla, a tačke C i E sa druge strane.

Rešenje:
Mera oštrog ugla je manja od 90°.

Rešenje:
∠BAC je oštar, jer je manji od 90°.

Rešenje:
Mera pravog ugla je 90°. Njegovi kraci su normalni jedan u odnosu na drugi.

Rešenje:
Kraci su normalni, pa obrazuju prav ugao. Prav ugao ima meru 90°.

Rešenje:
∠ABC je oštar ugao jer je njegova mera manja od 90°. Može da stane unutar pravog ugla.

Rešenje:
Mera tupog ugla je veća od 90° (i manja od 180°).

Rešenje:
∠ABC je tup ugao jer je njegova mera veća od 90°.

Rešenje:
∠ABC je tup ugao jer je njegova mera veća od 90°. Prav ugao može da stane unutar njega.

Rešenje:
Opružen ugao.

Rešenje:
Veličina opruženog ugla je 180° jer u njega mogu stati dva prava ugla.

Rešenje:
Simetrala deli ugao na 2 jednaka dela. Na slici je AC simetrala ugla ∠BAD.

Rešenje:
Simetrala deli ugao na dva jednaka ugla, pa je svaki od njih 72° : 2 = 36°.

Rešenje:
Dva ugla su susedna ako imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. U ovom slučaju ti uslovi nisu ispunjeni, pa uglovi nisu susedni.

Rešenje:
Dva ugla su susedna ako imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. U ovom slučaju uglovi imaju samo zajedničko teme, pa nisu susedni.

Rešenje:
Dva ugla su susedna ako imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. U ovom slučaju uglovi imaju samo zajednički krak, pa nisu susedni.

Rešenje:
Dva ugla su susedna ako imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. U ovom slučaju svi uslovi su ispunjeni, pa su uglovi susedni.

Rešenje:
Dva ugla su susedna ako imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. U ovom slučaju uglovi imaju zajedničke unutrašnje tačke, pa nisu susedni.

Rešenje:
Da, pošto se ∠ABC i ∠CBD susedni uglovi.
Stoga je, ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 42° + 36° = 78°.

Rešenje:
Da, jer su ∠ABC i ∠CBD susedni uglovi. Prema tome, ∠DBC = ∠ABD - ∠ABC = 100° - 56° = 44°.

Rešenje:
Zbir suplementnih uglova je 180°.

Rešenje:
∠AOB i ∠BOC su susedni. Stoga je ∠AOB+∠BOC=∠AOC. Ali kraci ∠AOC su na istoj pravoj, te je njegova mera 180°. Stoga, ∠AOB i ∠BOC su suplementni.

Rešenje:
∠AOB i ∠BOC su susedni i suplementni. Stoga je ∠AOB + ∠BOC = 180°.
45° + ∠BOC = 180°.
∠BOC = 180° - 45° = 135°.

Rešenje:
Da, pošto unakrsne uglove formiraju dve prave koje se seku.

Rešenje:
Ne, pošto unakrsne uglove grade dve prave koje se seku. Tačke A, O i C nisu na istoj pravoj. Tačke B, O i D takođe nisu na istoj pravoj.

Rešenje:
∠AOB i ∠AOD su uporedni uglovi.
∠AOB + ∠AOD = ∠BOD = 180°.
∠COD i ∠AOD su takođe uporedni.
∠COD + ∠AOD = ∠COA = 180°.
Dakle, ∠AOB = 180° - ∠AOD = ∠COD, tj. unakrsni uglovi su jednaki.

Rešenje:
Pošto su u pitanju unakrsni uglovi, njihove mere su jednake. ∠COD iznosi 35°.

Rešenje:
∠DOA and ∠AOB su suplementni. U ovom slučaju je, ∠AOB + ∠DOA=180°, pa je ∠DOA=145°.

Rešenje:
Unutrašnji uglovi na transverzali nisu susedni, nalaze se između prava a i b, jedan na jednoj, a drugi na drugoj strani prave c (transverzale). Dva ugla koja odgovaraju ovim karakteristikama su 3 i 5, kao i 4 i 6.

Rešenje:
Spoljašnji naizmenični uglovi nisu susedni, nalaze se van oblasti između pravih a i b i sa različitih strana prave c (sečice). Te uslove ispunjavaju uglovi 2 i 8, kao i 1 i 7.

Rešenje:
Saglasni uglovi nisu susedni: jedan je van oblasti između pravih a i b, a drugi unutar nje, i oba su sa iste strane prave c (sečice). Te uslove ispunjavaju uglovi 3 i 7.
Ostali parovi su 2 i 6, 1 i 5, 4 i 8.

Rešenje:
Ova dva ugla su spoljašnji naizmenični uglovi. Imaju jednake mere, pa su prave a i b paralelne.

Rešenje:
Ova dva ugla su unutrašnji naizmenični uglovi, ali imaju različite mere. Zato prave a i b nisu paralelne.

Rešenje:
∠1 i ∠7 su spoljašnji naizmenični uglovi. Pošto su prave a i b paralelne, ti uglovi su jednaki, pa je ∠7 = 75°.

Rešenje:
∠2 i ∠6 su saglasni uglovi. Pošto su prave a i b paralelne, ti uglovi su jednaki, pa je ∠6 = 120°.

Rešenje:
Pošto su prave a i b paralelne, ∠2 = ∠8, pa je ∠8 = 35°. Uglovi ∠7 i ∠8 su uporedni, pa je
∠7 = 180° - 35° = 145°.

Rešenje:
Unakrsni uglovi su jednaki. Zbir uporednih uglova je [tex]180^\circ[/tex].
[tex]180^\circ-30^\circ=150^\circ[/tex]
Ostali uglovi su [tex]150^\circ[/tex], [tex]30^\circ[/tex] i [tex]150^\circ[/tex].

Rešenje:
Dva ugla uporedna sa [tex]\alpha[/tex] su unakrsni, pa su jednaki: svaki je [tex]120^\circ:2=60^\circ[/tex].
[tex]\alpha=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex]

Rešenje:
[tex]\alpha=0{,} 25\beta=\frac{\beta}{4}[/tex]
Zbir uporednih uglova je [tex]180^\circ[/tex].
[tex]\frac{\beta}{4}+\beta=180^\circ \Rightarrow \frac{5\beta}{4}=180^\circ \Rightarrow \beta=144^\circ[/tex]

Rešenje:
[tex]\angle AOC=x[/tex], [tex]\angle BOC=4x[/tex]
[tex]x+4x=150^\circ \Rightarrow 5x=150^\circ \Rightarrow x=30^\circ[/tex]
[tex]\angle AOC=30^\circ[/tex], [tex]\angle BOC=4\cdot 30^\circ=120^\circ[/tex]

Rešenje:
Simetrala deli ugao na dva jednaka dela: [tex]\angle BOL=\frac{1}{2}\angle AOB[/tex].
[tex]\angle AOB-\frac{1}{2}\angle AOB=23^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}\angle AOB=23^\circ \Rightarrow \angle AOB=46^\circ[/tex]

Rešenje:
[tex]32^\circ 43'+15^\circ 28'=47^\circ 71'[/tex]
Pošto je [tex]1^\circ=60'[/tex], važi [tex]71'=1^\circ 11'[/tex]:
[tex]47^\circ 71'=48^\circ 11'[/tex]

Rešenje:
Neka je manji ugao [tex]x[/tex]:
[tex]x+(x+28^\circ)=180^\circ \Rightarrow 2x=152^\circ \Rightarrow x=76^\circ[/tex]
[tex]x+28^\circ=104^\circ[/tex]

Rešenje:
Ta dva ugla ne mogu biti uporedna (zbir bi im bio [tex]180^\circ[/tex]), pa su unakrsni: svaki je [tex]40^\circ[/tex].
Svaki od preostala dva ugla je [tex]180^\circ-40^\circ=140^\circ[/tex].

Rešenje:
[tex]\beta+5\beta=180^\circ \Rightarrow \beta=30^\circ; \alpha=150^\circ[/tex]
Ugao između simetrala je [tex]\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=75^\circ+15^\circ=90^\circ[/tex].
Zapravo, on je uvek [tex]90^\circ[/tex]: [tex]\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ[/tex] – simetrale uporednih uglova su normalne.

Rešenje:
Svaka dva susedna ugla četvorougla su suprotni uglovi kod paralelnih pravih, pa im je zbir [tex]180^\circ[/tex]: [tex]180^\circ-52^\circ=128^\circ[/tex].
Uglovi su [tex]52^\circ[/tex], [tex]128^\circ[/tex], [tex]52^\circ[/tex], [tex]128^\circ[/tex] (četvorougao je paralelogram).