Pitagorina teorema - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka su stranice [tex]8k[/tex] i [tex]15k[/tex].
Prema Pitagorinoj teoremi: [tex](8k)^2+(15k)^2=68^2 \Rightarrow 289k^2=68^2 \Rightarrow 17k=68 \Rightarrow k=4[/tex]
Stranice su [tex]32[/tex] i [tex]60[/tex], a obim je
[tex]2(32+60)=184[/tex]

Rešenje:
Neka je manja kateta [tex]x[/tex]; tada je druga kateta [tex]x+5[/tex], a hipotenuza [tex]x+10[/tex]:
[tex]x^2+(x+5)^2=(x+10)^2[/tex]
[tex]x^2+x^2+10x+25=x^2+20x+100[/tex]
[tex]x^2-10x-75=0 \Rightarrow (x-15)(x+5)=0[/tex]
Pošto je [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x=15[/tex]: stranice su [tex]15[/tex], [tex]20[/tex], [tex]25[/tex], a hipotenuza je [tex]25[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]P[/tex] donji kraj merdevina, [tex]R[/tex] i [tex]L[/tex] njihove gornje tačke na desnom i levom zidu, a [tex]R_0[/tex], [tex]L_0[/tex] podnožja zidova. Pravougli trouglovi [tex]PR_0R[/tex] i [tex]LL_0P[/tex] imaju jednake hipotenuze [tex]PR=PL[/tex] (merdevine).
Pošto je [tex]\angle LPR=90^\circ[/tex], važi [tex]\angle LPL_0+\angle RPR_0=90^\circ[/tex]; takođe [tex]\angle PRR_0+\angle RPR_0=90^\circ[/tex]. Dakle [tex]\angle PRR_0=\angle LPL_0[/tex] i trouglovi su podudarni. Zato je [tex]PR_0=LL_0=3[/tex]:
[tex]PR^2=PR_0^2+RR_0^2=3^2+4^2=25 \Rightarrow PR=5[/tex]

Rešenje:
Neka je osnovica [tex]x[/tex]; tada je visina [tex]x+2[/tex], a krak [tex]x+3[/tex]. Visina polovi osnovicu:
[tex]\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+(x+2)^2=(x+3)^2[/tex]
[tex]\dfrac{x^2}{4}+x^2+4x+4=x^2+6x+9 \Rightarrow \dfrac{x^2}{4}=2x+5[/tex]
[tex]x^2-8x-20=0 \Rightarrow (x-10)(x+2)=0 \Rightarrow x=10[/tex]
Osnovica je [tex]10[/tex], visina [tex]12[/tex], kraci po [tex]13[/tex], a obim je
[tex]10+13+13=36[/tex]

Rešenje:
Neka su dužine puteva [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex]. To su katete pravouglog trougla sa hipotenuzom [tex]13[/tex]:
[tex]x+y=17[/tex], [tex]x^2+y^2=169[/tex]
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy \Rightarrow 289=169+2xy \Rightarrow xy=60[/tex]
Dva broja sa zbirom [tex]17[/tex] i proizvodom [tex]60[/tex] su [tex]5[/tex] i [tex]12[/tex] (provera: [tex]5^2+12^2=169[/tex]). Dalje selo je udaljeno [tex]12[/tex] km.

Rešenje:
Prvo odredimo visinu na osnovicu (ona polovi osnovicu):
[tex]h^2=17^2-8^2=289-64=225 \Rightarrow h=15[/tex]
[tex]P=\dfrac{16\cdot 15}{2}=120[/tex]
Istu površinu možemo izračunati pomoću kraka i visine [tex]h_1[/tex] koja mu odgovara:
[tex]\dfrac{17\cdot h_1}{2}=120 \Rightarrow h_1=\dfrac{240}{17}=14\dfrac{2}{17}[/tex]

Rešenje:
Neka su katete [tex]x[/tex] i [tex]2x[/tex].
Prema Pitagorinoj teoremi: [tex]x^2+(2x)^2=10^2 \Rightarrow 5x^2=100 \Rightarrow x^2=20[/tex]
Izrazimo površinu na dva načina (samo [tex]x[/tex] nije potrebno nalaziti):
[tex]\dfrac{x\cdot 2x}{2}=\dfrac{10\cdot h}{2} \Rightarrow 10h=2x^2=40 \Rightarrow h=4[/tex]

Rešenje:
Visina iz temena manje osnovice odseca od veće osnovice duž [tex]\frac{14-4}{2}=5[/tex]; preostali deo veće osnovice je [tex]14-5=9[/tex].
[tex]h^2=13^2-5^2=169-25=144 \Rightarrow h=12[/tex]
Dijagonala je hipotenuza pravouglog trougla sa katetama [tex]12[/tex] i [tex]9[/tex]:
[tex]d^2=12^2+9^2=144+81=225 \Rightarrow d=15[/tex]

Rešenje:
Prava kroz centre normalna je na zajedničku tetivu i polovi je; polovina tetive je [tex]12[/tex]. Rastojanja od centara do tetive su:
[tex]d_1^2=13^2-12^2=25 \Rightarrow d_1=5[/tex]
[tex]d_2^2=15^2-12^2=81 \Rightarrow d_2=9[/tex]
Ako su centri sa različitih strana tetive, rastojanje je [tex]5+9=14[/tex]; ako su sa iste strane, ono je [tex]9-5=4[/tex]. Oba slučaja su moguća.

Rešenje:
Neka tangenta dodiruje kružnice u tačkama [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex]. Poluprečnici [tex]O_1A[/tex] i [tex]O_2B[/tex] normalni su na [tex]AB[/tex], pa je [tex]O_1ABO_2[/tex] pravougli trapez. Konstruišimo [tex]O_2K\parallel AB[/tex] ([tex]K[/tex] na [tex]O_1A[/tex]); tada je [tex]O_2K=AB[/tex] i
[tex]O_1O_2=50+32=82[/tex], [tex]O_1K=50-32=18[/tex]
[tex]AB^2=82^2-18^2=(82-18)(82+18)=64\cdot 100=6400 \Rightarrow AB=80[/tex]

Rešenje:
Neka su katete [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Svaka težišna duž koja odgovara kateti je hipotenuza pravouglog trougla čije su katete druga kateta i polovina te katete:
[tex]b^2+\dfrac{a^2}{4}=52[/tex], [tex]a^2+\dfrac{b^2}{4}=73[/tex]
Saberimo dve jednakosti:
[tex]\dfrac{5}{4}(a^2+b^2)=125 \Rightarrow a^2+b^2=100 \Rightarrow c=10[/tex]

Rešenje:
Neka je visina [tex]CH=h[/tex], [tex]AH=9[/tex], [tex]BH=16[/tex]. Prema Pitagorinoj teoremi za dva mala pravougla trougla:
[tex]AC^2=h^2+81[/tex], [tex]BC^2=h^2+256[/tex]
a za veliki trougao [tex]AC^2+BC^2=AB^2=25^2[/tex]:
[tex]2h^2+337=625 \Rightarrow 2h^2=288 \Rightarrow h^2=144 \Rightarrow h=12[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]MD=x[/tex]; tada je [tex]MC=10-x[/tex]. Iz pravouglih trouglova [tex]ADM[/tex] i [tex]BCM[/tex]:
[tex]AM^2=16+x^2[/tex], [tex]BM^2=16+(10-x)^2[/tex]
U pravouglom trouglu [tex]AMB[/tex]: [tex]AM^2+BM^2=AB^2[/tex]:
[tex]16+x^2+16+100-20x+x^2=100 \Rightarrow x^2-10x+16=0 \Rightarrow (x-2)(x-8)=0[/tex]
Pošto je [tex]MC\gt MD[/tex], [tex]MD=2[/tex] i [tex]MC=8[/tex].

Rešenje:
Neka su katete [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], a hipotenuza [tex]c[/tex]. Tada je
[tex]a+b=60-c[/tex], [tex]ab=2\cdot 150=300[/tex], [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab \Rightarrow (60-c)^2=c^2+600[/tex]
[tex]3600-120c+c^2=c^2+600 \Rightarrow 120c=3000 \Rightarrow c=25[/tex]
(Katete su [tex]15[/tex] i [tex]20[/tex].)

Rešenje:
Neka je [tex]T[/tex] najniža tačka užeta. Svaki deo užeta, od vrha stuba do [tex]T[/tex], dugačak je bar koliko i spuštanje po vertikali [tex]10-2{,}5=7{,}5[/tex].
Ali dva dela zajedno imaju dužinu samo [tex]15=7{,}5+7{,}5[/tex], pa je svaki deo tačno [tex]7{,}5[/tex]. Kada bi stub bio na horizontalnom rastojanju [tex]x\gt 0[/tex] od [tex]T[/tex], taj deo bi bio bar kao hipotenuza [tex]\sqrt{(7{,}5)^2+x^2}\gt 7{,}5[/tex].
Dakle, rastojanje između stubova je [tex]0[/tex]: oni stoje jedan uz drugi, a uže visi presavijeno na pola.

Rešenje:
Bojan čuje grom preko telefona u istom trenutku kao Aleksa, tj. [tex]15[/tex] s posle munje, a direktno [tex]10[/tex] s kasnije, tj. [tex]25[/tex] s posle munje. Dakle, munja je [tex]15\cdot 300=4500[/tex] m od Alekse i [tex]25\cdot 300=7500[/tex] m od Bojana.
Munja je tačno na istoku, a koliba tačno na severu od Alekse, pa je ugao kod Alekse prav, a rastojanje od Bojana do munje je hipotenuza:
[tex]x^2=7500^2-4500^2=(7500-4500)(7500+4500)=3000\cdot 12000=36000000 \Rightarrow x=6000[/tex]
Aleksa je [tex]6000[/tex] m [tex]=6[/tex] km od kolibe.