Zadaci o kretanju - put, brzina, vreme - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je rastojanje [tex]d[/tex], brzina čamca u mirnoj vodi [tex]v[/tex], a brzina rečnog toka [tex]c[/tex]:
[tex]v+c=\dfrac{d}{2}[/tex], [tex]v-c=\dfrac{d}{3}[/tex]
[tex]2c=\dfrac{d}{2}-\dfrac{d}{3}=\dfrac{d}{6} \Rightarrow c=\dfrac{d}{12}[/tex]
Splav se kreće brzinom rečnog toka, pa mu treba [tex]d:\frac{d}{12}=12[/tex] sati.

Rešenje:
Pojas pluta sa tokom; za [tex]5[/tex] sati pređe [tex]10[/tex], pa je brzina toka [tex]c=2[/tex]. Ako je [tex]d[/tex] rastojanje, a [tex]v[/tex] sopstvena brzina čamca:
[tex]\dfrac{d}{5}-\dfrac{d}{10}=(v+c)-(v-c)=2c=4[/tex]
[tex]\dfrac{d}{10}=4 \Rightarrow d=40[/tex]

Rešenje:
Posmatrajmo kretanje u odnosu na vodu (kao da voda miruje). Tada šešir stoji u mestu, a čamac se od njega udaljava [tex]10[/tex] minuta i vraća se istom brzinom [tex]12[/tex], tj. takođe za [tex]10[/tex] minuta. Dakle, šešir je stignut [tex]20[/tex] minuta posle pada. Za to vreme plutao je sa tokom:
[tex]3\cdot \dfrac{20}{60}=1[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]L[/tex] dužina, [tex]e[/tex] brzina pokretnih stepenica, a [tex]u[/tex] sopstvena brzina čoveka:
[tex]L=30(e+u)=20(e+3u)[/tex]
[tex]30e+30u=20e+60u \Rightarrow 10e=30u \Rightarrow e=3u[/tex]
[tex]L=30(3u+u)=120u[/tex], [tex]\dfrac{L}{e}=\dfrac{120u}{3u}=40[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]AB=d[/tex]. Do prvog susreta automobili zajedno pređu jedno rastojanje [tex]d[/tex], a do drugog tri rastojanja [tex]3d[/tex]. Pri stalnim brzinama svaki automobil do drugog susreta pređe [tex]3[/tex] puta više nego do prvog. Automobil iz A je do prvog susreta prešao [tex]70[/tex], pa je do drugog prešao [tex]3\cdot 70=210[/tex], a to je [tex]d+40[/tex]:
[tex]d+40=210 \Rightarrow d=170[/tex]

Rešenje:
Neka su brzine [tex]a[/tex] (automobil) i [tex]b[/tex] (kamion), a [tex]AB=D[/tex]; položaje merimo od A. Posle [tex]1[/tex] sata automobil je u [tex]a[/tex], a kamion u [tex]D-b[/tex]:
[tex]a=\dfrac{0+(D-b)}{2} \Rightarrow D=2a+b[/tex]
Posle [tex]t[/tex] sati automobil je u [tex]at[/tex], kamion u [tex]D-bt[/tex], a sredina između kamiona i B je u [tex]\frac{(D-bt)+D}{2}=D-\frac{bt}{2}[/tex]:
[tex]at=D-\dfrac{bt}{2} \Rightarrow t\left(a+\dfrac{b}{2}\right)=2a+b \Rightarrow t=2[/tex]
Dakle, to se dešava u [tex]14{:}00[/tex].

Rešenje:
Krećući se u suprotnim smerovima, sreću se svaki put kada zajedno pređu jedan pun krug:
[tex]400:(10+15)=16[/tex]
[tex]7\cdot 16=112[/tex]

Rešenje:
Svakog dana Petko odmakne za [tex]33-23=10[/tex]. Ponovo su zajedno kada on bude ceo krug ([tex]100[/tex]) ispred, tj. posle [tex]10[/tex] dana. Do tada je Robinzon prešao
[tex]23\cdot 10=230=2\cdot 100+30[/tex]
tj. dva puna kruga i još [tex]30[/tex]. Sreću se [tex]30[/tex] km od čamca.

Rešenje:
Neka prolazi pored C [tex]T[/tex] sati posle [tex]10{:}30[/tex]. Prvog dana [tex]AC=8T[/tex]. Drugog dana je krenuo [tex]2{,}5[/tex] sata kasnije u toku dana, pa je [tex]BC=10(T-2{,}5)[/tex]:
[tex]8T+10(T-2{,}5)=38 \Rightarrow 18T=63 \Rightarrow T=3{,}5[/tex]
Prošao je pored C u [tex]10{:}30[/tex] + [tex]3[/tex] h [tex]30[/tex] min = [tex]14{:}00[/tex]. (Provera: [tex]AC=28[/tex], [tex]BC=10[/tex].)

Rešenje:
Motociklista vozi brzinom [tex]2{,}5\cdot 20=50[/tex] i treba mu [tex]60:50=1{,}2[/tex] h. Za tih poslednjih [tex]1{,}2[/tex] h biciklista pređe [tex]20\cdot 1{,}2=24[/tex], pa je u trenutku polaska motocikliste biciklista bio na
[tex]60-24=36[/tex]
km od A.

Rešenje:
Do sustizanja Petar je pretrčao od [tex]1200[/tex] m do [tex]4800[/tex] m, tj. [tex]3600[/tex] m, za šta mu je trebalo [tex]3600:180=20[/tex] min. Za tih [tex]20[/tex] min Ivan je pretrčao [tex]4800[/tex] m:
[tex]4800:20=240[/tex]
Ivan pretrči poslednjih [tex]200[/tex] m za [tex]\frac{200}{240}=\frac{5}{6}[/tex] min; za to vreme Petar pretrči [tex]180\cdot \frac{5}{6}=150[/tex] m i nalazi se [tex]200-150=50[/tex] m od cilja.

Rešenje:
Neka je njegova sopstvena brzina [tex]u[/tex], a brzina toka [tex]c[/tex] (u minuti). Uzvodno se pomerio unazad:
[tex]4(c-u)=80 \Rightarrow c=u+20[/tex]
Posle okretanja [tex]3[/tex] minuta ga je nosio tok i [tex]2[/tex] minuta je veslao nizvodno:
[tex]3c+2(u+c)=240 \Rightarrow 5c+2u=240[/tex]
[tex]5(u+20)+2u=240 \Rightarrow 7u=140 \Rightarrow u=20[/tex]

Rešenje:
Neka su rastojanja [tex]x[/tex], [tex]45x[/tex], [tex]4x[/tex], a vremena [tex]4y[/tex], [tex]20y[/tex], [tex]y[/tex]:
[tex]\dfrac{x+45x+4x}{4y+20y+y}=\dfrac{50x}{25y}=\dfrac{2x}{y}=32 \Rightarrow \dfrac{x}{y}=16[/tex]
Brzina pešice:
[tex]\dfrac{x}{4y}=\dfrac{16}{4}=4[/tex]

Rešenje:
Merimo sve u mišjim koracima. Mačka je [tex]5\cdot 10=50[/tex] koraka iza miša. Za jedan skok mačka pređe [tex]10[/tex], a miš [tex]3[/tex], pa mačka sustiže po [tex]7[/tex] koraka po skoku i treba joj [tex]\frac{50}{7}=7\frac{1}{7}[/tex] skokova da stigne miša.
Miš stiže do rupe za vreme [tex]\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}[/tex] skoka, tj. ranije. Miš će se spasiti.