Zadaci o kretanju - put, brzina, vreme - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Automobil je krenuo iz fabrike u uobičajeno vreme i uobičajenim putem, ali se vratio sa mesta susreta. Ušteđenih [tex]12[/tex] minuta je put od mesta susreta do stanice i nazad, tj. po [tex]6[/tex] minuta u svakom smeru. Dakle, automobil je sreo direktora [tex]6[/tex] minuta pre nego što bi stigao na stanicu u [tex]8{:}00[/tex], tj. u [tex]7{:}54[/tex].

Rešenje:
Neka je brzina čoveka [tex]u[/tex], traktora [tex]v[/tex], a dužina [tex]L[/tex]. Napred se čovek kreće u odnosu na cev brzinom [tex]u-v[/tex] za vreme [tex]\frac{150}{u}[/tex], a nazad brzinom [tex]u+v[/tex] za vreme [tex]\frac{20}{u}[/tex]:
[tex]L=(u-v)\cdot \dfrac{150}{u}=(u+v)\cdot \dfrac{20}{u}[/tex]
[tex]150(u-v)=20(u+v) \Rightarrow 130u=170v \Rightarrow v=\dfrac{13}{17}u[/tex]
[tex]L=150\left(1-\dfrac{13}{17}\right)=150\cdot \dfrac{4}{17}=\dfrac{600}{17}=35\dfrac{5}{17}[/tex]

Rešenje:
Bicikl može ukupno da preveze najviše [tex]12[/tex] km, pa jedan od njih dvoje vozi najviše [tex]6[/tex] km i hoda najmanje [tex]6[/tex] km. Toj osobi treba najmanje
[tex]\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{5}=0{,}3+1{,}2=1{,}5[/tex]
sata, tj. [tex]90[/tex] minuta. To vreme je ostvarivo: prvi vozi [tex]6[/tex] km, ostavi bicikl i nastavi peške; drugi hoda [tex]6[/tex] km (za [tex]1{,}2[/tex] h, kada je bicikl već tamo) i vozi ostatak. Oba stižu posle [tex]90[/tex] minuta.

Rešenje:
Posmatrajmo kretanje iz kamiona A (kao da A stoji). Tada se B i C kreću napred nekim brzinama [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] u odnosu na A. Na početku su oba [tex]18[/tex] iza A. Dok C pređe tih [tex]18[/tex], B pređe samo [tex]18-13{,}5=4{,}5[/tex], pa je
[tex]\dfrac{b}{c}=\dfrac{4{,}5}{18}=\dfrac{1}{4}[/tex]
B stiže do A pošto pređe [tex]18[/tex]; za isto vreme C pređe [tex]4\cdot 18=72[/tex], tj. nalazi se [tex]72-18=54[/tex] km ispred A.

Rešenje:
Neka je brzina kamiona [tex]v[/tex]. Motociklista stiže kamion [tex]t[/tex] sati posle svog polaska:
[tex]50t=v\left(t+\dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow t=\dfrac{v}{2(50-v)}[/tex]
Nazad pređe isto rastojanje za isto vreme [tex]t[/tex], pa se vraća u A [tex]\frac{1}{2}+2t[/tex] sati posle polaska kamiona, što je vreme putovanja kamiona:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{v}{50-v}=\dfrac{180}{v}\ \Big|\cdot 2v(50-v)[/tex]
[tex]v(50-v)+2v^2=360(50-v) \Rightarrow v^2+410v-18000=0[/tex]
[tex](v-40)(v+450)=0 \Rightarrow v=40[/tex]
Provera: motociklista stiže kamion posle [tex]2[/tex] h, [tex]100[/tex] km od A, i vraća se u A [tex]4{,}5[/tex] h posle polaska kamiona; kamionu treba [tex]180:40=4{,}5[/tex] h.

Rešenje:
Neka je sunce izašlo [tex]x[/tex] sati pre podne, a brzine su [tex]a[/tex] (iz A) i [tex]b[/tex] (iz B). Deo puta koji je prva žena prešla pre podne, druga pređe posle podne za [tex]9[/tex] sati, i obrnuto (za [tex]4[/tex] sata):
[tex]ax=9b[/tex], [tex]bx=4a[/tex]
[tex]ab\cdot x^2=36ab \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=6[/tex]
Sunce je izašlo u [tex]6{:}00[/tex].

Rešenje:
Neka su brzine [tex]a[/tex] (motociklista) i [tex]b[/tex] (biciklista). Do susreta, za [tex]\frac{7}{6}[/tex] h:
[tex]\dfrac{7}{6}(a+b)=84 \Rightarrow a+b=72[/tex]
Posle susreta motociklista pređe deo bicikliste [tex]\frac{7}{6}b[/tex] do B, odmara [tex]\frac{1}{3}[/tex] h i vraća se ostatak sata. Sat posle susreta obojica su u istoj tački; njeno rastojanje od B je:
[tex]a\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{7}{6}b=\dfrac{7}{6}b+b \Rightarrow \dfrac{2}{3}a=\dfrac{10}{3}b \Rightarrow a=5b[/tex]
[tex]6b=72 \Rightarrow b=12[/tex], [tex]a=60[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]L[/tex] dužina, a [tex]v[/tex] brzina vozova. Pri prestizanju voz prolazi pored njega relativnom brzinom [tex]v-5[/tex], a pri mimoilaženju brzinom [tex]v+5[/tex]:
[tex]L=9(v-5)=7(v+5)[/tex]
[tex]9v-45=7v+35 \Rightarrow v=40[/tex], [tex]L=9\cdot 35=315[/tex]