Nejednačine, intervali, dvostruke nejednačine - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]n[/tex], [tex]n+2[/tex], [tex]n+4[/tex] ([tex]n[/tex] neparan):
[tex]3n+6\le 25 \Rightarrow 3n\le 19 \Rightarrow n\le 6\frac{1}{3}[/tex]
Najveći neparan [tex]n[/tex] sa tim svojstvom je [tex]5[/tex] ([tex]5+7+9=21\le 25[/tex], a [tex]7+9+11=27>25[/tex]).

Rešenje:
Neka je širina [tex]a[/tex]; tada je [tex]l=a+3[/tex]:
[tex]2(a+a+3)\le 30 \Rightarrow 4a+6\le 30 \Rightarrow a\le 6[/tex]
Osim toga, širina je pozitivna: [tex]a>0[/tex]. Dakle, [tex]0\lt a\le 6[/tex] i [tex]3\lt l\le 9[/tex].

Rešenje:
Neka je broj pogodaka [tex]h[/tex]; tada je promašaja [tex]10-h[/tex]:
[tex]5h-(10-h)>30 \Rightarrow 6h>40 \Rightarrow h>6\frac{2}{3}[/tex]
Najmanji ceo broj je [tex]h=7[/tex] ([tex]5\cdot 7-3=32>30[/tex]).

Rešenje:
[tex]x^2+x-6\le x^2-8x+16[/tex]
[tex]9x\le 22 \Rightarrow x\le 2\frac{4}{9}[/tex]
Najveće celobrojno rešenje je [tex]2[/tex].

Rešenje:
[tex](2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1[/tex]
[tex]8x(x-2)(x+2)=8x(x^2-4)=8x^3-32x[/tex]
[tex]8x^3-12x^2+6x-1-8x^3+32x\lt 38x-12x^2[/tex]
[tex]-12x^2+38x-1\lt 38x-12x^2 \Rightarrow -1\lt 0[/tex]
To je tačno za svako [tex]x[/tex], pa je svaki broj rešenje.

Rešenje:
[tex](x-1)(x^2+x+1)=x^3-1[/tex]
[tex]x^3-1-x^3-x>1 \Rightarrow -x>2 \Rightarrow x\lt -2[/tex]
Celi brojevi iz [tex]\lbrack -8; 2)[/tex] za koje je [tex]x\lt -2[/tex] su [tex]-8[/tex], [tex]-7[/tex], [tex]-6[/tex], [tex]-5[/tex], [tex]-4[/tex], [tex]-3[/tex] – šest brojeva.

Rešenje:
a) [tex]3x+5\lt 7x-2 \Rightarrow 7\lt 4x \Rightarrow x>\frac{7}{4}[/tex]; [tex]-5x\lt -10 \Rightarrow x>2[/tex]. Skupovi rešenja su različiti (npr. [tex]x=1{,} 8[/tex] zadovoljava samo prvu), pa nisu ekvivalentne.
b) [tex]3x-1\lt 3x+6 \Rightarrow -1\lt 6[/tex] i [tex]2x+3>2x-10 \Rightarrow 3>-10[/tex]. Obe su tačne za svako [tex]x[/tex], pa su ekvivalentne.

Rešenje:
[tex]5x\lt \frac{b+2}{3} \Rightarrow x\lt \frac{b+2}{15}[/tex]
[tex]\frac{b+2}{15}=\frac{1}{4} \Rightarrow b+2=\frac{15}{4} \Rightarrow b=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{7}{2}x-\frac{5}{2}(a-1)x\ge \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{12-5a}{2}x\ge \frac{5}{8}[/tex]
Ako koeficijent uz [tex]x[/tex] nije [tex]0[/tex], nejednačina ima rešenja. Ako je [tex]12-5a=0[/tex], dobijamo [tex]0\ge \frac{5}{8}[/tex] – netačno za svako [tex]x[/tex].
[tex]12-5a=0 \Rightarrow a=\frac{12}{5}[/tex]

Rešenje:
Neka porudžbina ima [tex]x[/tex] košulja:
[tex]\frac{x}{20}\le \frac{x+75}{25}[/tex]
[tex]25x\le 20x+1500 \Rightarrow 5x\le 1500 \Rightarrow x\le 300[/tex]

Rešenje:
[tex]t[/tex] sati posle Stefanovog polaska Emil vozi već [tex]t+\frac{1}{3}[/tex] sati:
[tex]30t-24\left(t+\frac{1}{3}\right)>4 \Rightarrow 6t-8>4 \Rightarrow t>2[/tex]
Posle više od [tex]2[/tex] sata od polaska.

Rešenje:
Neka je promena [tex]k[/tex] delova na sat:
[tex]3(70+k)\ge 3(180-k) \Rightarrow 70+k\ge 180-k \Rightarrow 2k\ge 110 \Rightarrow k\ge 55[/tex]