Nejednačine, intervali, dvostruke nejednačine - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Kocka: [tex]P_1=6a^2[/tex]. Kvadar sa ivicama [tex]a+4[/tex], [tex]a-2[/tex], [tex]a-1[/tex]:
[tex]P_2=2\big[(a+4)(a-2)+(a+4)(a-1)+(a-2)(a-1)\big][/tex]
[tex]=2(a^2+2a-8+a^2+3a-4+a^2-3a+2)=6a^2+4a-20[/tex]
[tex]6a^2+4a-20\lt 6a^2 \Rightarrow 4a\lt 20 \Rightarrow a\lt 5[/tex]
Širina mora biti pozitivna: [tex]a-2>0 \Rightarrow a>2[/tex]. Dakle, [tex]2\lt a\lt 5[/tex].

Rešenje:
Brzine su [tex]65[/tex] i [tex]75[/tex] km/h, pa se vozovi približavaju brzinom [tex]140[/tex] km/h. Posle [tex]t[/tex] sati rastojanje između njih je [tex]|420-140t|[/tex] (posle susreta se udaljavaju).
[tex]|420-140t|\lt 28 \Rightarrow -28\lt 420-140t\lt 28[/tex]
[tex]392\lt 140t\lt 448 \Rightarrow 2{,} 8\lt t\lt 3{,} 2[/tex]
Tj. od [tex]2[/tex] h [tex]48[/tex] min do [tex]3[/tex] h [tex]12[/tex] min posle polaska.

Rešenje:
Slučaj 1: [tex]x\le -2[/tex]. Tada je [tex]f(x)=x+3\le 1[/tex] i [tex]f(f(x))=x+6>1 \Rightarrow x>-5[/tex]. Rešenja: [tex]-5\lt x\le -2[/tex].
Slučaj 2: [tex]-2\lt x\le 1[/tex]. Tada je [tex]f(x)=x+3>1[/tex] i [tex]f(f(x))=1-2(x+3)=-2x-5>1 \Rightarrow x\lt -3[/tex] – u ovom slučaju nema rešenja.
Slučaj 3: [tex]x>1[/tex]. Tada je [tex]f(x)=1-2x\lt -1\le 1[/tex] i [tex]f(f(x))=(1-2x)+3=4-2x>1 \Rightarrow x\lt \frac{3}{2}[/tex]. Rešenja: [tex]1\lt x\lt \frac{3}{2}[/tex].
Odgovor: [tex]x\in(-5; -2]\cup\left(1; \frac{3}{2}\right)[/tex]

Rešenje:
Neka u autobusima putuje [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] osoba ([tex]a\ge 5[/tex], [tex]b\ge 15[/tex] su celi brojevi):
[tex]a+b>24[/tex], [tex]2(b-15)\lt a[/tex], [tex]7(a-5)\lt b[/tex]
Iz treće nejednakosti [tex]b>7a-35[/tex]; zamenom u drugu: [tex]a>2b-30>2(7a-35)-30=14a-100[/tex], tj. [tex]13a\lt 100[/tex] i [tex]a\le 7[/tex].
Iz druge nejednakosti [tex]b\lt \frac{a+30}{2}[/tex], a iz prve [tex]b>24-a[/tex]. Proveravamo [tex]a\in\{5; 6; 7\}[/tex]:
[tex]a=5:\ 19\lt b\lt 17{,} 5[/tex] – nemoguće
[tex]a=6:\ 18\lt b\lt 18[/tex] – nemoguće
[tex]a=7:\ 17\lt b\lt 18{,} 5 \Rightarrow b=18[/tex]
Provera: [tex]7+18=25>24[/tex], [tex]2\cdot 3=6\lt 7[/tex], [tex]7\cdot 2=14\lt 18[/tex]