Ecuaciones cuadráticas - problemas y soluciones

Solución:
Un número es raíz si convierte la ecuación en una igualdad verdadera. Sustituimos cada número:
[tex]x=-5[/tex]: [tex](-5)^2+2\times(-5)=25-10=15[/tex] - verdadero.
[tex]x=1[/tex]: [tex]1+2=3\ne 15[/tex] - falso.
[tex]x=-0{,}5[/tex]: [tex]0{,}25-1=-0{,}75\ne 15[/tex] - falso.
[tex]x=3[/tex]: [tex]9+6=15[/tex] - verdadero.
Las raíces son [tex]-5[/tex] y [tex]3[/tex].

Solución:
Es una ecuación cuadrática incompleta ([tex]b=0[/tex]), así que no hace falta el discriminante.
[tex]25x^2=16[/tex], [tex]x^2=\frac{16}{25}[/tex], de donde [tex]x=\pm\frac{4}{5}[/tex].
Otra forma: [tex](5x-4)(5x+4)=0[/tex].

Solución:
Sacamos [tex]x[/tex] como factor común: [tex]x(5x-1)=0[/tex].
Un producto es cero cuando uno de los factores es cero: [tex]x=0[/tex] o [tex]5x-1=0[/tex], es decir, [tex]x=\frac{1}{5}[/tex].
Atención: dividir ambos lados entre [tex]x[/tex] haría perder la raíz [tex]x=0[/tex].

Solución:
[tex]x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=x(x-4)-(x-4)=(x-1)(x-4)[/tex]
así las raíces de la ecuación son [tex]x_1=1[/tex] y [tex]x_2=4[/tex]. La mayor es obviamente 4.

Solución:
[tex]x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-1)(x-2)[/tex]
así las raíces de la ecuación son [tex]x_1=1, x_2=2[/tex]. El menor es obviamente 1.

Solución:
[tex]x^2-13x+12 = x^2-12x-x+12 = x(x-12)-(x-12) = (x-1)(x-12)[/tex], por lo que las raíces son [tex]x_1 = 1[/tex] y [tex]x_2 = 12[/tex].

Solución:
[tex]x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4)[/tex], así, las raíces son [tex]x_1=3[/tex] y [tex]x_2=4[/tex].

Solución:
[tex]x^2-12x+35=x^2-7x-5x+35=x(x-7)-5(x-7)=(x-5)(x-7)[/tex]. Sus raíces son 5 y 7 y la menor es 5.

Solución:
El discriminante es [tex]D=15^2-4\cdot26=225-104=121=11^2[/tex].
Las soluciones son [tex]x_{1,2}=\frac{15 \pm 11}{2}[/tex]
[tex]x_1=\frac{15+11}{2}=\frac{26}{2}=13[/tex]
[tex]x_2=\frac{15-11}{2}=\frac{4}{2}=2[/tex]

Solución:
El discriminante es [tex]D=14^2-4 \cdot 45=196-180=16=4^2[/tex]. Las raíces son [tex]x_{1,2}=\frac{-14 \pm 4}{2}[/tex].
Por lo tanto, [tex]x_1=\frac{-14+4}{2}=\frac{-10}{2}=-5[/tex].
[tex]x_2 = \frac{-14-4}{2}=\frac{-18}{2}=-9[/tex]

Solución:
El discriminante es [tex]3^2+4 \times 70=289=17^2[/tex]. Las raíces son [tex]x_{1,2}=\frac{-3 \pm 17}{2}[/tex]. Por lo tanto [tex]x_1=\frac{-3+17}{2}=\frac{14}{2}=7[/tex] y [tex]x_2=\frac{-3-17}{2}=\frac{-20}{2}=-10[/tex]

Solución:
El lado izquierdo es un cuadrado perfecto: [tex]4x^2-12x+9=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2=(2x-3)^2[/tex].
Así, [tex](2x-3)^2=0[/tex] y [tex]2x-3=0[/tex], es decir, [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] (raíz doble).
Comprobación con el discriminante: [tex]D=144-144=0[/tex].

Solución:
[tex]D = 3^{2} - 4 \times 4 = -7[/tex] < 0
Así que la ecuación tiene 0 raíces reales.

Solución:
Una ecuación [tex]az^2+bz+c=0[/tex] tiene dos raíces reales distintas exactamente cuando [tex]D=b^2-4ac>0[/tex].
[tex]2z^2-z+1=0[/tex]: [tex]D=1-8=-7<0[/tex], sin raíces reales.
[tex]4z^2+20z+25=0[/tex]: [tex]D=400-400=0[/tex], una raíz doble.
[tex]3z^2+10z+7=0[/tex]: [tex]D=100-84=16>0[/tex], dos raíces distintas ([tex]-1[/tex] y [tex]-\frac{7}{3}[/tex]).
[tex]z^2-8z+20=0[/tex]: [tex]D=64-80=-16<0[/tex], sin raíces reales.
Respuesta: [tex]3z^2+10z+7=0[/tex].

Solución:
El cuadrado de un número real nunca es negativo, así que [tex](x-1)^2+(x+3)^2\ge 0[/tex] para todo [tex]x[/tex].
El lado derecho es [tex]-10<0[/tex], por lo que la igualdad es imposible: la ecuación no tiene raíces reales.
Lo mismo calculando: [tex]2x^2+4x+10=-10[/tex], [tex]x^2+2x+10=0[/tex], [tex]D=4-40<0[/tex].

Solución:
Si [tex]x_1[/tex] y [tex]x_2[/tex] son las raíces de [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], entonces [tex]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex].
[tex]3x^2-5x+2=0[/tex]: [tex]D=25-24=1[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}[/tex], es decir, [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=\frac{2}{3}[/tex].
[tex]3x^2-5x+2=3(x-1)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(x-1)(3x-2)[/tex].
Comprobación: [tex](x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2[/tex].

Solución:
Pasamos todo al lado izquierdo y sacamos [tex]x-2[/tex] como factor común:
[tex](x-2)^2-(x-2)(x-3)=0[/tex]
[tex](x-2)\left[(x-2)-(x-3)\right]=0[/tex]
[tex](x-2)\times 1=0[/tex], de donde [tex]x=2[/tex].
Atención: si dividimos ambos lados entre [tex]x-2[/tex], obtenemos [tex]x-2=x-3[/tex], que no tiene solución, y perdemos la raíz [tex]x=2[/tex].
Respuesta: [tex]x=2[/tex].

Solución:
Usamos la diferencia de cuadrados [tex]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/tex]:
[tex](2x+5)^2-(x-3)^2=(2x+5-x+3)(2x+5+x-3)=(x+8)(3x+2)=3x^2+26x+16[/tex].
La ecuación queda [tex]3x^2+26x+16=16[/tex], es decir, [tex]3x^2+26x=0[/tex], [tex]x(3x+26)=0[/tex].
Raíces: [tex]x_1=0[/tex], [tex]x_2=-\frac{26}{3}[/tex].

Solución:
Desarrollamos: [tex](x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1[/tex] y [tex]x^2(x+2)=x^3+2x^2[/tex].
Los cubos se cancelan: [tex]x^3+3x^2+3x+1-x^3-2x^2=x^2+3x+1[/tex].
[tex]x^2+3x+1=x[/tex], es decir, [tex]x^2+2x+1=0[/tex], [tex](x+1)^2=0[/tex].
Respuesta: [tex]x=-1[/tex] (raíz doble).

Solución:
Agrupamos los términos:
[tex]x^2-x-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=x(x-1)-\sqrt{3}(x-1)=(x-1)(x-\sqrt{3})=0[/tex].
Raíces: [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=\sqrt{3}[/tex].
Con el discriminante: [tex]D=(1+\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{1+\sqrt{3}\pm(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex] - las mismas raíces.

Solución:
Una raíz doble solo es posible en una ecuación cuadrática, así que [tex]a\ne 0[/tex] (con [tex]a=0[/tex] la ecuación es lineal).
Una ecuación cuadrática tiene raíz doble cuando [tex]D=0[/tex]: [tex]D=16-4a=0[/tex], de donde [tex]a=4[/tex].
Comprobación: [tex]4x^2+4x+1=(2x+1)^2=0[/tex], raíz doble [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
Ambos cuadrados son no negativos, y su suma es [tex]0[/tex] solo cuando cada uno vale [tex]0[/tex]:
[tex]y-1=0[/tex], es decir, [tex]y=1[/tex];
[tex]x-2y=0[/tex], es decir, [tex]x=2y=2[/tex].
La única solución es [tex]x=2[/tex], [tex]y=1[/tex].

Solución:
Sea [tex]x[/tex] cm el lado del cuadrado. La parte restante es un rectángulo de lados [tex]x[/tex] y [tex]x-3[/tex].
[tex]x(x-3)=70[/tex], es decir, [tex]x^2-3x-70=0[/tex].
[tex]D=9+280=289[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{3\pm 17}{2}[/tex], [tex]x_1=10[/tex], [tex]x_2=-7[/tex].
Una longitud no puede ser negativa, así que el lado del cuadrado mide [tex]10[/tex] cm.

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el número de alumnos por fila. Entonces hay [tex]x+6[/tex] filas y [tex]x(x+6)=247[/tex].
[tex]x^2+6x-247=0[/tex], [tex]D=36+988=1024=32^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-6\pm 32}{2}[/tex].
[tex]x_1=13[/tex], [tex]x_2=-19[/tex] (se descarta, el número de alumnos es positivo).
En cada fila había [tex]13[/tex] alumnos (en [tex]19[/tex] filas).

Solución:
Sean [tex]n[/tex] los jugadores. Cada uno juega [tex]n-1[/tex] partidas, pero así cada partida se cuenta dos veces (una por cada jugador).
Por lo tanto, hay [tex]\frac{n(n-1)}{2}=45[/tex] partidas, es decir, [tex]n^2-n-90=0[/tex].
[tex]D=1+360=361[/tex], [tex]n_{1,2}=\frac{1\pm 19}{2}[/tex], [tex]n_1=10[/tex], [tex]n_2=-9[/tex] (se descarta).
Participaron [tex]10[/tex] jugadores.