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Factorización de polinomios
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Factorización de polinomios - problemas y soluciones
Autor:
Catalin David
Problema 1
Factorizar
xy + 2x + y + 2=
y(x + 1)
(y + 1)(x + 1)
(y + 1)x
(y + 2)(x + 1)
Solución:
xy + 2x + y + 2 =
x⋅y + x⋅2 + 1⋅y + 1⋅2 =
x⋅(y + 2) + 1⋅(y + 2) =
(y + 2)(x + 1)
Problema 2
Factorizar 3x
3
+5x
2
-6x=
x
2
(3x+5)-6
(3x+5)(x
2
-6)
x(3x
2
+5x-6)
Solución:
3x
3
+5x
2
-6x=
x ⋅ 3x
2
+x⋅5x+x⋅(-6) =
x ⋅(3x
2
+5x-6)
Problema 3
Factorizar xy - 3x + y - 3 =
(x + 1)(y + 3)
(y - 3)(x - 3)
(y - 3)(x + 1)
(y - 3)(2 + x)
Solución:
xy - 3x + y - 3 =
x⋅y + x⋅(-3) + 1⋅y + 1⋅(-3) =
x(y - 3) + 1(y - 3) = (y - 3)(x + 1)
Problema 4
Factorizar xy + 4x + 2y + 8 =
(y + 4)(x + 8)
x(y + 4)
(y + 4)(x + 2)
(y + 4)(x + 4)
Solución:
xy + 4x + 2y + 8=
x ⋅ y + x ⋅ 4 + 2 ⋅ y + 2 ⋅ 4 =
x(y + 4) + 2(y + 4)=(y + 4)(x + 2)
Problema 5
Factorizar $xy-5x+3y-15=$
(x + 2)(y - 4)
(x - 3)(y + 5)
(y - 5)(x + 3)
(y - 4)(x + 2)
Solución:
$xy-5x+3y-15=$
$x\cdot y+x\cdot(-5)+3\cdot y+3\cdot(-5)=$
$x(y-5)+3(y-5)=(y-5)(x+3)$
Problema 6
Factorizar $xy+7+y+7x=$
(y + 6)(x + 2)
(y + 7)(x + 1)
(y + 6)(x + 1)
(y + 7)(x + 7)
Solución:
$xy+7+y+7x=$
$xy+7x+y+7=$
$x\cdot y+x\cdot7+1\cdot y+1\cdot7=$
$x(y+7)+1(y+7)=(y+7)(x+1)$
Problema 7
Factorizar $xy-8+y-8x=$
(y - 8)(x + 1)
(y - 8)(x + 8)
(y - 1)(x + 8)
(y - 4)(x + 1)
Solución:
$xy-8+y-8x=$
$xy-8x+y-8=$
$x\cdot y+x\cdot(-8)+1\cdot y+1\cdot(-8)=$
$x(y-8)+1(y-8)=(y-8)(x+1)$
Problema 8
Factorizar $xy+9+3y+3x=$
(y + 6)(x + 3)
(y + 4)(x + 2)
(y + 6)(x - 2)
(y + 3)(x + 3)
Solución:
$xy+9+3y+3x=$
$xy+3x+3y+9=$
$x\cdot y+x\cdot3+3\cdot y+3\cdot3=$
$x(y+3)+3(y+3)=(y+3)(x+3)$
Problema 9
Factorizar $xy-21+3y-7x=$
(y - 2)(x + 5)
(y - 7)(x + 7)
(y - 7)(x + 3)
(y - 3)(x + 7)
Solución:
$xy-21+3y-7x=$
$xy-7x+3y-21=$
$x\cdot y+x\cdot(-7)+3\cdot y+3\cdot(-7)=$
$x(y-7)+3(y-7)=(y-7)(x+3)$
Problema 10
Factorizar $xy-x-y+1=$
(y + 1)(x - 1)
(y - 1)(x - 1)
(y - 1)(x + 1)
(y - 1)(x - 2)
Solución:
$xy-x-y+1=$
$x\cdot y +x\cdot(-1)-1\cdot y-1\cdot(-1)=$
$x(y-1)-1(y-1)=(y-1)(x-1) $
Problema 11
Factorizar $xy-4x-y+4=$
(y - 1)(x - 4)
(y + 1)(x - 4)
(y + 4)(x - 1)
(y - 4)(x - 1)
Solución:
$xy-4x-y+4=$
$x\cdot y +x\cdot(-4)-1\cdot y-1\cdot(-4)=$
$x(y-4)-1(y-4)=(y-4)(x-1) $
Problema 12
Factorizar $xy+3x-y-3=$
(y + 3)(x - 1)
(y + 1)(x - 3)
(y - 3)(x + 1)
(y + 3)(x + 1)
Solución:
$xy+3x-y-3=$
$x\cdot y +x\cdot3-1\cdot y-1\cdot3=$
$x(y+3)-1(y+3)=(y+3)(x-1) $
Problema 13
Factorizar $xy-9x-3y+27= $
(y - 3)(x - 9)
(y - 9)(x + 3)
(y - 9)(x - 3)
(y - 9)(x - 9)
Solución:
$xy-9x-3y+27=$
$x\cdot y +x\cdot(-9)-3\cdot y-3\cdot(-9)=$
$x(y-9)-3(y-9)=(y-9)(x-3) $
Problema 14
Factorizar xy + 4x - 5y - 20=
(y + 5)(x - 4)
(y + 4)(x - 5)
(y + 4)(x - 20)
(y + 4)(x + 5)
Solución:
xy + 4x - 5y - 20 =
x ⋅ y + x ⋅ 4 - 5 ⋅ y - 5 ⋅ 4 =
x(y + 4) - 5(y + 4) = (y + 4)(x - 5)
Problema 15
Factorizar 2xy + 6x - y - 3=
(2y + 3)(x - 1)
(y + 1)(2x - 3)
(y + 1)(2x - 1)
(y + 3)(2x - 1)
Solución:
2xy + 6x - y - 3=
2x⋅y + 2x⋅3 - 1⋅y - 1⋅3=
2x(y + 3) - 1(y + 3)=(y + 3)(2x - 1)
Problema 16
Factorizar $x^{3}+x^{2}+x+1=$
(x - 1)(x
2
+ 2)
(x + 1)(x
2
+ 1)
(x + 1)(2x
2
+ 1)
x(2x
2
+ 1)
Solución:
$x^{3}+x^{2}+x+1=$
$x^{2}\cdot x+x^{2}\cdot1+1\cdot x+1\cdot1=$
$x^{2}(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^{2}+1)$
Problema 17
Factorice $x^{4}+4x^{2}+x^{2}+4 =$
(x
2
+4)(x
2
+2)
(x
2
+3)(x
2
+1)
x
2
(x
2
+4)
(x
2
+4)(x
2
+1)
Solución:
$x^{4}+4x^{2}+x^{2}+4 =$
$x^{2}\cdot x^{2} + x^{2}\cdot4 + 1\cdot x^{2}+ 1\cdot4 =$
$x^{2}(x^{2}+4)+1(x^{2}+4)=$
$(x^{2}+4)(x^{2}+1)$
Problema 18
Factorice $x^{4}-3x^{3}+x-3 =$
(x - 2)(x
3
+ 1)
(x + 3)(x
3
- 1)
(x - 3)(x
3
+ 1)
(x - 1)(x
3
+ 1)
Solución:
$x^{4}-3x^{3}+x-3 = $
$x^{3}\cdot x + x^{3}\cdot(-3) +1\cdot x+1\cdot(-3) =$
$x^{3}(x-3)+1(x-3)= (x-3)(x^{3}+1)$
Problema 19
Factorice $2x^{5} + 2x^{3} + 3x^{2} +3 =$
(2x
2
+ 1)(2x
3
+ 3)
(x
2
+ 1)(2x
3
+ 1)
(x
2
+ 1)(2x
3
+ 3)
(2x
3
+ 1)(x
3
+ 3)
Solución:
$2x^{5} + 2x^{3} + 3x^{2} +3 = $
$2x^{3}\cdot x^{2} + 2x^{2}\cdot1 +3\cdot x^{2}+3\cdot1 = $
$2x^{3}(x^{2}+1)+3(x^{2}+1)= $
$(x^{2}+1)(2x^{3}+3)$
Problema 20
Factorice $4x^{6}-2x^{5}-6x+3 =$
(2x - 3)(2x
5
- 1)
(2x - 1)(2x
5
- 3)
(2x - 1)(2x
5
+ 3)
(2x - 1)(x
5
- 3)
Solución:
$4x^{6}-2x^{5}-6x+3 =$
$ 2x^{5}\cdot 2x + 2x^{5}\cdot(-1) - 3\cdot 2x-3\cdot(-1) =$
$ 2x^{5}(2x-1)-3(2x-1)=$
$ (2x-1)(2x^{5}-3)$
Problema 21
Factorice $x^{4}+3x^{2}-5x^{2}-15 =$
(x
2
+ 3)(x
2
- 5)
(x
2
+ 5)(x
2
- 3)
(2x
2
+ 3)(x
2
- 5)
(x
2
+ 3)(x
2
+ 5)
Solución:
$x^{4}+3x^{2}-5x^{2}-15 = $
$x^{2}\cdot x^{2} + x^{2}\cdot3 - 5\cdot x^{2}- 5\cdot3 = $
$x^{2}(x^{2}+3)-5(x^{2}+3)= $
$(x^{2}+3)(x^{2}-5)$
Problema 22
Factorizar $4x^{5}-6x^{3}+6x^{2}-9 =$
(2x
2
- 3)(2x
3
+ 6)
(2x
2
+ 3)(2x
3
- 3)
(x
2
- 3)(2x
3
+ 3)
(2x
2
- 3)(2x
3
+ 3)
Solución:
$4x^{5}-6x^{3}+6x^{2}-9 =$
$ 2x^{3}\cdot 2x^{2} + 2x^{3}\cdot(-3) +3\cdot x^{2}+3\cdot(-3) =$
$ 2x^{3}(2x^{2}-3)+3(2x^{2}-3)=$
$ (2x^{2}-3)(2x^{3}+3)$
Problema 23
Factorizar $3x^{6}+5x^{4}-6x^{2}-10 =$
(3x
2
+ 5)(x
4
- 2)
(3x
2
- 5)(x
4
+ 3)
(3x
2
+ 5)(x
4
- 6)
(3x
2
- 5)(x
4
- 3)
Solución:
$3x^{6}+5x^{4}-6x^{2}-10 =$
$ x^{4}\cdot 3x^{2} + x^{2}\cdot 5x^{2} - 2\cdot 3x^{2}- 2\cdot5 =$
$ x^{4}(3x^{2}+5)-2(3x^{2}+5)=$
$ (3x^{2}+5)(x^{4}-2)$
Problema 24
Factorizar $9x^{4}-6x^{3}-3x+2 =$
(3x - 2)(3x
3
+ 1)
(3x - 2)(3x
3
- 1)
(3x + 2)(2x
3
- 1)
(2 - 3x)(3x
3
- 1)
Solución:
$9x^{4}-6x^{3}-3x+2 =$
$ 3x^{3}\cdot 3x + 3x^{3}\cdot(-2) - 1\cdot 3x-1\cdot(-2) =$
$ 3x^{3}(3x-2)-1(3x-2)= $
$(3x-2)(3x^{3}-1)$
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