Sistemas de ecuaciones lineales - problemas y soluciones

Solución:
Tenemos que sustituir x por 0 e y por $ \frac{5}{2} $.
Si se satisfacen las ecuaciones, entonces el punto es una solución.

$ 5 (0) +2 (\frac{5}{2}) = 0 + 5 = 5 \neq 1 $

El punto no satisface la primera ecuación, por lo que no es una solución.

Solución:
Sustituimos x por 1 e y por 3 en cada una de las ecuaciones.
$ 2 (1) -3 = 2 -3 = -1 $
$ 3 (1) +3 = 3 +3 = 6 $
El punto $ (1, 3) $ satisface ambas ecuaciones, por lo que es una solución.

Solución:
Las dos líneas representan el sistema de ecuaciones dado.
También notamos que hay un punto de intersección de ambas líneas. El punto es
(2, 3) que es x = 2, y = 3. Pertenece a cada una de las líneas y satisface ambas ecuaciones.
Por lo tanto, el punto (2, 3) es la única solución.

Respuesta: El sistema tiene una solución única.

Solución:
Las dos líneas son coincidentes. Tienen un número infinito de puntos en común que son soluciones para ambas ecuaciones.

Respuesta: El sistema tiene infinitas soluciones.

Solución:
Las líneas son paralelas. No tienen ningún punto en común.
Por lo tanto, no hay puntos (x, y) que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.

Respuesta: El sistema no tiene soluciones.

Solución:
Cada sistema de ecuaciones tiene 3 tipos posibles de soluciones:
I) tiene una solución única (las líneas se intersecan en un solo punto).
II) tiene soluciones infinitas (las líneas son coincidentes)
III) No hay solución (las líneas son paralelas y no tienen ningún punto en común).
Mira la imagen adjunta.

Un sistema de dos ecuaciones lineales nunca puede tener dos soluciones. Si tiene dos soluciones es de tipo II.

Si multiplicamos la primera ecuación por (-3) obtenemos la segunda ecuación. Así que las ecuaciones son equivalentes y el sistema tiene infinitas soluciones.

Los puntos con coordenadas (1, 3) y (-1, -1) satisfacen ambas ecuaciones, por lo que es la opción correcta.
C) (1, 3) y (-1, -1)

Solución:
Cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas, esto no garantiza que ningún punto del plano sea una solución, podemos verificar este hecho tomando el punto arbitrario $ (2, 1) $ que no satisface ninguna de las ecuaciones. Por esta razón no puede ser una solución del sistema. Ahora, verifiquemos que el sistema de ecuaciones anterior tiene un número infinito de soluciones, tenga en cuenta que si multiplicamos la primera ecuación por 3, obtendremos la segunda ecuación.

$ (3) \ast (x + 2y = 1) $ $ \Longrightarrow 3x + 6y = 3 $
Esto dice que las dos ecuaciones son equivalentes, resolvemos una de las dos ecuaciones.
$ x + 2y = 1 \Longrightarrow x = 1 - 2y $
Podemos afirmar que los puntos del plano que satisfacen esta relación son soluciones del sistema (si trabajamos con la segunda ecuación llegamos al mismo resultado). Todos los puntos $ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (1 -2 \mathbf{y}, \mathbf{y}) $ que tienen esta forma son soluciones a la primera ecuación (y también de la segunda porque son equivalentes)
Al asignar cualquier valor real a $ y $, obtenemos el valor correspondiente de $ x $, por lo que tenemos una solución, podemos dar valores infinitos de $ y $ y, por lo tanto, obtenemos el valor de $ x $, hay claramente infinitas soluciones.
Ejemplo
$ y = 1 \Longrightarrow x = -1 $ Así que el punto $ (-1, 1) $ es una solución al sistema de ecuaciones.
$ y = 2 \Longrightarrow x = -3 $ Entonces el punto $ (-3, 2) $ es una solución al sistema de ecuaciones.
Claramente, el sistema tiene soluciones infinitas, pero antes de eso, cualquier punto arbitrario como el punto $ (2, 1) $, no es una solución para el sistema.

Solución:
Resolvemos ambas ecuaciones para "y =" (o x =)
$ y = 4 -4x $
$ 3x -2 = - \frac{1}{2} y $ $ \Longrightarrow y = 4 -6x $
Vamos a graficar la recta $ \mathbf{y} = 4 -4x $ seleccionando algunos valores arbitrarios para x:
$ x = -1 \Longrightarrow y = 8 $
$ x = 1 \Longrightarrow y = 0 $
Teniendo estos dos puntos graficamos la recta azul.

Tenemos que graficar la segunda ecuación $ y = 4 -6x $:
$ x = -1 \Longrightarrow y = 10 $
$ x = 1 \Longrightarrow y = -2 $

Esta recta está en rojo en la imagen.
Notemos que el punto de intersección de ambas rectas es $ (0, 4) $. Este punto es la solución del sistema de ecuaciones lineales.

Solución:
Las líneas rojas y azules pasan a través de dos puntos que están resaltados en la imagen.
Estos puntos deben satisfacer cada ecuación en el sistema. Vamos a revisar la opción B)
La primera ecuación es válida cuando sustituimos x e y por los puntos $ (- 2, 0) $ y $ (10, 8) $, por lo que la ecuación $ 6 \mathbf{y} -4 \mathbf{x} = 8 $ representa la línea roja de la imagen.
De manera similar, la segunda ecuación se cumple al sustituir por los puntos $ (6, 0) $ y $ (10, 8) $, por lo que la ecuación representa la recta azul de la imagen.
Las opciones restantes A, C, D no satisfacen los puntos en el gráfico.

Solución:
Obtenemos la variable $\mathbf{y}$ en la primera ecuación.
$ -5y =10x$ $ \Longrightarrow y = -2x$ ahora lo sustituimos en la segunda ecuación.
$21x -7( -2x) =28$
Podemos obtener el valor de $x$
$21x +14x =28$ $ \Longrightarrow 35x =28$ $ \Longrightarrow x =\frac{28}{35} =\frac{4}{5}$
Para encontrar el valor de y usamos cualquiera de las ecuaciones anteriores.
$y = -2x$
$ \Longrightarrow y = -2(\frac{4}{5}) = -\frac{8}{5}$
La respuesta es $(\frac{4}{5} , -\frac{8}{5})$

Solución:
Tomemos la primera ecuación y expresemos el valor de x en términos de y.
$x +y =3$ $ \Longrightarrow x =3 -y$

El valor que obtenemos se sustituye en la otra ecuación.
$2x -y =0$ $ \Longrightarrow 2(3 -y) -y =0$ $ \Longrightarrow 6 -2y -y =0$ $6 -3y =0$ $ \Longrightarrow 6 =3y$ $ \Longrightarrow y =2$
Volvamos a la primera ecuación para encontrar x.
$x =3 -y$ $ \Longrightarrow x =3 -2 =1$
La respuesta es: $x =1\qquad y =2 $

Solución:
Primero resolveremos cada ecuación para "x ="
$5x -\frac{1}{2}y = -1$
$ \Longrightarrow 5x = -1 +\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$

$3x -2y =1$ $ \Longrightarrow 3x =1 +2y$ $ \Longrightarrow x =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Obtenemos

$ -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Podemos encontrar el valor de y
$\frac{1}{10}y -\frac{2}{3}y =\frac{1}{3} +\frac{1}{5}$ $ \Longrightarrow -\frac{17}{30}y =\frac{8}{15}$

$y = -\frac{16}{17}$
Podemos encontrar x.
$x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}( -\frac{16}{17})$

$x = -\frac{1}{5} -\frac{16}{170} = -\frac{1}{5} -\frac{8}{85} = -\frac{25}{85} = -\frac{5}{17}$
Así, la solución del sistema de ecuaciones es
$x = -\frac{5}{17}\qquad y = -\frac{16}{17}$

Solución:
Para sumar las ecuaciones y que una de las dos incógnitas desaparezca, los coeficientes de esta incógnita deben ser los mismos pero con un signo diferente.
Para ello multiplicamos la primera ecuación por $-\frac{1}{2}$ y la segunda ecuación por $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{c} -\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x +\frac{1}{5}y =\frac{2}{7}) \\ \frac{1}{3}(\frac{1}{2}x +\frac{1}{10}y =\frac{3}{7})\end{array}$

$ \Longrightarrow \begin{array}{c} -\frac{1}{6}x -\frac{1}{10}y = -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{6}x +\frac{1}{30}y =\frac{1}{7}\end{array}$
Esto nos permite sumar las dos ecuaciones y eliminar la variable x.

$ -\frac{1}{10}y +\frac{1}{30}y =0$
$ \Longrightarrow \frac{ -2}{30}y =0$
$ \Longrightarrow y =0$
y al sustituir este valor en la primera ecuación obtenemos
$\frac{1}{3}x =\frac{2}{7}$
$ \Longrightarrow x =\frac{6}{7}$

La respuesta es
$x =\frac{6}{7}\qquad y =0 $

Solución:
Resolvemos las dos ecuaciones para "y = ".

$5x +1 =\frac{1}{2}y$
$ \Longrightarrow y =10x +2$

$3x -1 =2y$
$ \Longrightarrow y =\frac{3x -1}{2}$
Se igualan ambas expresiones
$10x +2 =\frac{3x -1}{2}$ y se encuentra x
$20x +4 =3x -1$
$ \Longrightarrow 17x = -5$
$ \Longrightarrow x =\frac{ -5}{17}$ y encontramos y.

$y =10(\frac{ -5}{17}) +2 =\frac{-50}{17} +2 =\frac{ -16}{17}$
Respuesta:
$x =\frac{ -5}{17}$ $y =\frac{-16}{17}$

Solución:
Multiplicar la primera ecuación por -3 y la segunda por 2.
$\begin{array}{c} -6x -9y =3 \\ 6x +8y =0\end{array}$
Sumar ambas ecuaciones.

$ -6x -9y +6x +8y =3 +0$ $ \Longrightarrow -y =3$ $ \Longrightarrow y = -3$
Sustituye este valor en la primera ecuación.
$2x +3( -3) = -1$ $ \Longrightarrow 2x =9 -1$ $ \Longrightarrow x =4$
Así que la solución del sistema es x = 4, y = -3

Solución:
Sean los números que estamos buscando x e y.

$\begin{array}{c}2(x +y) =32 \\ x -y =0\end{array}$

Las resolveremos por sustitución.
De la segunda ecuación obtenemos $\mathbf{x} =\mathbf{y}$
Ahora sustituimos en la primera ecuación.
$2(x +x) =32$
$ \Longrightarrow 4x =32$
$ \Longrightarrow x =8$
Regresando a la segunda ecuación obtenemos $\mathbf{x} =\mathbf{y} =8$

Solución:
Sean los números x, y.
$\begin{array}{c}x +y =0 \\ x +123 =2y\end{array}$
De la primera ecuación obtenemos
$x = -y$
Ahora sustituimos en la segunda ecuación $ -y +123 =2y$ $ \Longrightarrow 123 =3y$ $\Longrightarrow y =\frac{123}{3} =41$ y recordando que $x = -y$ obtenemos $x = -41$ Los dos números que estamos buscando son $\begin{array}{c}x = -41 \\ y =41\end{array}$

Solución:
Sea C el número de cerdos y P el número de pavos.
$ \begin{array}{c} C + P = 58 \\ 4C + 2P = 168 \end{array} $
Usaremos el método de eliminación para resolverlo, multiplicando la primera ecuación por (-2).
$ \begin{array}{c} -2C -2P = -116 \\ 4C + 2P = 168 \end{array} $
Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos
$ 2C = 52 $ $ \Longrightarrow C = 26 $
entonces
$ C + P = 58 $ $ \Longrightarrow 26 + P = 58 $ $ \Longrightarrow P = 32 $

Solución:
Denotemos
J: El dinero que tiene John.
P: El dinero que tiene Peter.

Al interpretar los datos del problema obtenemos las siguientes ecuaciones:

$\begin{array}{c}J = 2P \\ J - 6 = P + 6\end{array}$
Es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Se sustituye J en la segunda ecuación.
$J - 6 = P + 6$
$ \Longrightarrow 2P - 6 = P + 6$
$2P -P =6 +6$
$P =12$ y ahora sustituimos en la primera ecuación
$J =2\\P =24$
De esta manera, concluimos que John tiene \$ 24 y Peter tiene \$ 12.