Integración por sustitución trigonométrica - problemas y soluciones

Solución:
Debemos aplicar el caso $x=4\sen \theta $ y $dx=4\cos \theta d\theta $

entonces $\sqrt{\left( 16-x^{2}\right) }=4\sqrt{1-\sen ^{2}\theta }=4\sqrt{\cos ^{2}\theta }=4\cos \theta $

y si sustituimos $\int \frac{1}{\sqrt{\left( 16-x^{2}\right) }}dx=$ $\int \frac{1}{4\cos \theta }4\cos \theta d\theta =\int d\theta \ell $

$\theta =\arcsen \frac{x}{4}$ así $\int \frac{1}{\sqrt{\left(16-x^{2}\right) }}dx=\arcsen \frac{x}{4}+C$

Solución:
$\int \frac{1}{x^{2}-25}dx=-\ln \left\vert \frac{x}{\sqrt{25+x^{2}}}+\frac{5}{\sqrt{25+x^{2}}}\right\vert +C$

Aquí debemos aplicar el caso $x=5\sec \theta $ y $dx=5\sec \theta \tan \theta d\theta $

entonces $x^{2}-25=25(\sec^{2}\theta -1)=25\tan ^{2}\theta$ así

$\int \frac{1}{x^{2}-25}dx=\int \frac{1}{25\tan ^{2}\theta }5\sec \theta \tan \theta d\theta =\frac{1}{5}\int \frac{\sec \theta }{\tan \theta }d\theta =\frac{1}{5}\int \sec \theta \cot \theta d\theta $

$\int \frac{1}{x^{2}-25}dx=\frac{1}{5}\int \csc \theta d\theta $ $=-\ln \left\vert \csc \theta +\cot \theta \right\vert +C$

y ahora devolvemos el cambio de variable, puesto que $\sec \theta =\frac{x}{5}\Longrightarrow \csc \theta =\frac{x}{\sqrt{25+x^{2}}}$ y

$\cot \theta =\frac{5}{\sqrt{25+x^{2}}}$ entonces $\int \frac{1}{x^{2}-25}dx=-\ln \left\vert \frac{x}{\sqrt{25+x^{2}}}+\frac{5}{\sqrt{25+x^{2}}}\right\vert +C$

Solución:
$\int x\sqrt{1+x^{2}}dx=\frac{1}{3}\left( 1+x^{2}\right) ^{3/2}+C $

si hacemos $x=\tan \theta$ y $dx=\sec ^{2}\theta d\theta$ entonces
$\int x\sqrt{1+x^{2}}dx=\int \tan \theta \sqrt{1+\tan \theta^{2}}\sec ^{2}\theta d\theta =\int \tan \theta \sec ^{3}\theta d\theta $

$\int \sec \theta \tan \theta \sec ^{2}\theta d\theta$ si $u=\sec \theta ,du=\sec \theta \tan \theta d\theta $ así

$\int \sec \theta \tan \theta \sec ^{2}\theta d\theta =\int u^{2}du=\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{1}{3}\sec^{3}\theta +C$ y ahora usamos el siguiente triangulo
donde $\sec \theta =\frac{\sqrt{1^{2}+x^{2}}}{1}=\sqrt{1+x^{2}}$

así $\int x\sqrt{1+x^{2}}dx=\frac{1}{3}\left( 1+x^{2}\right)^{3/2}+C$

Solución:
Si hacemos $x=\tan \theta $ entonces $dx=\sec ^{2}\theta d\theta $, así $\int \frac{9x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=9\int \frac{\tan \theta }{\sqrt{1+\tan ^{2}}\theta }\sec ^{2}\theta d\theta =9\int \frac{\tan \theta }{\sec \theta }\sec ^{2}\theta d\theta =9\int \tan \theta \sec \theta d\theta =9\sec \theta +C$

y ahora usamos el siguiente triángulo donde $\sec \theta =\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{1}=\sqrt{1+x^{2}}$
entonces $\int \frac{9x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=9\sqrt{1+x^{2}}+C$

Solución:
Debemos hacer una completación de cuadrados en la expresión
$4x-x^{2}=-\left( x-2\right)^{2}+4=4-\left( x-2\right)^{2}$ así
$\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{4-\left( x-2\right)^{2}}}dx$ y ahora hacemos un cambio de variable

$u=x-2\Longrightarrow du=dx$ entonces $\int \frac{1}{\sqrt{4-\left(x-2\right) ^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}du$

y ahora hacemos una sustitución trigonométrica adecuada
$u=2\sen \theta $

$du=2\cos \theta d\theta \Longrightarrow \int \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}du=\int \frac{1}{\sqrt{4-4\sen ^{2}\theta }}du$ $=\int \frac{2\cos \theta d\theta }{2\sqrt{\cos ^{2}\theta }}=\int d\theta =\theta +C=\arcsen \frac{u}{2}+C$ y ahora devolvemos el cambio

$u=x-2$ así $\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^{2}}}dx=\arcsen \frac{x-2}{2}+C$

Solución:
Podemos hacer $x=4\sen \theta \Longrightarrow dx=4\cos \theta d\theta $, entonces
$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}dx=\int \frac{4\sen ^{2}\theta }{\sqrt{16-16\sen ^{2}\theta }}4\cos \theta d\theta =\frac{16}{4}\int \frac{\sen^{2}\theta \cos \theta d\theta }{\sqrt{\cos ^{2}\theta }}$

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}dx=4\int \sen^{2}\theta d\theta =2\theta -\sen 2\theta +C=2\theta -2\sen \theta \cos \theta +C$ y ahora usamos el siguiente triángulo
donde $a=4$ y $\cos \theta =\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}$ así
$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}dx=2\arcsen \frac{x}{4}-\frac{x}{2}\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}+C$

Solución:
Debemos completar cuadrados en la expresión

$x^{2}+6x+12=\left( x+3\right) ^{2}+3\Longrightarrow \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+6x+12}}dx=\int \frac{x}{\sqrt{\left( x+3\right) ^{2}+3}}dx$ y ahora hacemos la

sustitución

$u=x+3\Longrightarrow du=dx,x=u-3$ así

$\int \frac{x}{\sqrt{\left( x+3\right) ^{2}+3}}dx=\int \frac{\left(u-3\right) }{\sqrt{u^{2}+3}}du$ ahora haremos una sustitución
trigonométrica $u=\sqrt{3}\tan \theta$ entonces $du=\sqrt{3}\sec^{2}\theta d\theta $

$\int \frac{\left( u-3\right) }{\sqrt{u^{2}+3}}du=\int \frac{\left( \sqrt{3}\tan \theta -3\right) }{\sqrt{3\left( \tan ^{2}\theta +1\right) }}\sqrt{3}\sec^{2}\theta d\theta =\int \frac{\left( \sqrt{3}\tan \theta -3\right) }{\sqrt{\sec ^{2}\theta }}\sec{2}\theta d\theta =\sqrt{3}\int \sec \theta \tan \theta d\theta -3\int \sec \theta d\theta =\sqrt{3}\sec \theta -3\ln \left\vert \sec \theta +\tan \theta \right\vert +C$ y entonces usamos el siguiente triángulo

donde $a=\sqrt{3},u=x$

así $=\sqrt{3}\frac{\sqrt{3+u^{2}}}{\sqrt{3}}-3\ln \left\vert \frac{\sqrt{3+u^{2}}}{\sqrt{3}}+\frac{u}{\sqrt{3}}\right\vert +C=$

y si devolvemos el cambio obtenemos $u=x+3$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+6x+12}}dx=\sqrt{3}\frac{\sqrt{3+\left( x+3\right)^{2}}}{\sqrt{3}}-3\ln \left\vert \frac{\sqrt{3+\left( x+3\right) ^{2}}}{\sqrt{3}}+\frac{\left( x+3\right) }{\sqrt{3}}\right\vert +C$

Solución:
Puesto que $2x-x^{2}=-(x-1)^{2}+1$ entonces $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2x-x^{2}}}dx=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}dx$

podemos hacer ahora una sustitución $u=x-1\Longrightarrow du=dx$

$x=u+1$ entonces $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}dx=\int \frac{\left( u+1\right) ^{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}du$ y ahora aplicamos una sustitución trigonométrica, así $u=\sen \theta \Longrightarrow du=\cos \theta d\theta $

y $\sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{\cos ^{2}\theta }=\cos \theta $ así, $\int \frac{\left( u+1\right)^{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}du=\int \frac{\left( \sen \theta +1\right) ^{2}}{\cos \theta }\cos \theta d\theta =\int \left( \sen ^{2}\theta +2\sen \theta \cos \theta +1\right) d\theta =\int \sen ^{2}\theta d\theta +2\int \sen \theta \cos \theta d\theta +\int d\theta =\frac{\theta }{2}-\frac{1}{4}\sen 2\theta +2\frac{\sen ^{2}\theta }{2}+\theta +C\ =\frac{3\theta }{2}-\frac{1}{2}\sen \theta \cos \theta +\sen^{2}\theta +C$

y puesto que conocemos que $\theta =\arcsen u$ y observando el siguiente triángulo donde $x=u,a=1$ obtenemos

$u=\sen \theta \qquad \cos \theta =\sqrt{1-u^{2}}$ entonces

$\int \frac{\left( u+1\right) ^{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}du=\frac{3}{2}\arcsen u-\frac{1}{2}u\sqrt{1-u^{2}}+u^{2}+C$ y ahora puesto que $u=x-1\Longrightarrow \int \frac{x^{2}}{\sqrt{2x-x^{2}}}dx=\frac{3}{2}\arcsen \left( x-1\right) -\frac{1}{2}\left( x-1\right) \sqrt{1-\left( x-1\right) ^{2}}+\left( x-1\right)^{2}+C$

Solución:
Respuesta: solo (i) (iii) es cierto

$\int \frac{x-9}{x^{2}-6x}dx\Longrightarrow $(i) $\int \frac{x-9}{x\left(x-6\right) }dx$

(iii) $\frac{x-9}{x\left( x-6\right) }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-6}=\frac{A\left( x-6\right) +Bx}{x\left( x-6\right) }$ obtenemos $x-9=A\left(x-6\right) +Bx$

entonces $x-9=\left( A+B\right) x-6A\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A+B=1 \\ -6A=-9 \end{array} \right\} \allowbreak \Longrightarrow A=\frac{3}{2},B=-\frac{1}{2}$

entonces $\int \frac{x-9}{x\left( x-6\right) }dx=\int \left( \frac{\frac{3}{2}}{x}-\frac{\frac{1}{2}}{x-6}\right) dx=\frac{3}{2}\int \frac{1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-6}dx=\frac{3}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln \left\vert x-6\right\vert +C=\ln \sqrt{x^{3}}-\ln \sqrt{x-6}+\ln C=\ln \left\vert C\sqrt{\frac{x^{3}}{x-6}}\right\vert $

Solución:
$\int \frac{1}{x^{2}-9}dx=\int \frac{1}{\left( x+3\right) \left( x-3\right) }dx$ si hacemos fracciones parciales

$\frac{1}{\left( x+3\right) \left( x-3\right) }=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}=\frac{A\left( x-3\right) +B\left( x+3\right) }{\left( x+3\right) \left(x-3\right) }\Longrightarrow $

$1=\left( A+B\right) x+3\left( B-A\right) $ asi, obtenemos $\left\{ \begin{array}{c} A+B=0 \\ 3\left( B-A\right) =1 \end{array} \right\} $

obtenemos $A=-B\Longrightarrow 3\left( B-A\right) =3\left( B+B\right) =1\Longrightarrow B=\frac{1}{6}$
y $A=-\frac{1}{6}$ asi $\int \frac{1}{x^{2}-9}dx=\int \left( \frac{-\frac{1}{6}}{x+3}+\frac{\frac{1}{6}}{x-3}\right) dx=-\frac{1}{6}\int \frac{1}{x+3}dx+\frac{1}{6}\int \frac{1}{x-3}dx=\frac{1}{6}(\ln \left( x-3\right) -\ln (x+3))+C$

$\int \frac{1}{x^{2}-9}dx=\ln (C\sqrt[6]{\frac{x-3}{x+3}})$

Solución:
Debemos factorizar el denominador $x^{2}+3x-4=\left( x+4\right) \left( x-1\right) $

entonces $\frac{5}{x^{2}+3x-4}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+4)}{x^{2}+3x-4}$ así

$(A+B)x+(4B-A)=5\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A+B=0 \\ 4B-A=5% \end{array}% \right\}$, puesto que $A=-B$

entonces $4B-A=5B=5\Longrightarrow B=1,A=-1$ así

$\int \frac{5}{x^{2}+3x-4}dx=\int \left( \frac{-1}{x+4}+\frac{1}{x-1}\right) dx=\ln \left\vert x-1\right\vert -\ln \left\vert x+1\right\vert +\ln C$

entonces $\int \frac{5}{x^{2}+3x-4}dx=\ln \left\vert C\frac{x-1}{x+1}\right\vert $

Solución:
Puesto que $x^{2}+11x+18=\left( x+9\right) \left( x+2\right)$ entonces

$\frac{x+2}{x^{2}+11x+18}=\frac{A}{x+9}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x+9)}{x^{2}+11x+18}\Longrightarrow $
$x+2=\left( A+B\right) x+(2A+9B)\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A+B=1 \\ 2A+9B=2 \end{array} \right\} $

así $A=-B$ y $2A-9A=2\Longrightarrow A=-\frac{2}{7},B=\frac{2}{7}$

entonces $\int \frac{x+2}{x^{2}+11x+18}dx=\int \left( \frac{-\frac{2}{7}}{x+9}+\frac{\frac{2}{7}}{x+2}\right) dx=\frac{2}{7}\int \frac{1}{x+2}dx-\frac{2}{7}\int \frac{1}{x+9}dx$

$\ln \sqrt[7]{\left( x+2\right) ^{2}}-\ln \sqrt[7]{\left( x+9\right)^{2}}+\ln C=\ln \left\vert C\sqrt[7]{\left( \frac{x+9}{x+2}\right)^{2}}\right\vert $

Solución:
Respuesta: solo (i) (iii) es cierto

$\int \frac{5x^{2}-12x-12}{x^{3}-4x}dx\Longrightarrow \frac{5x^{2}-12x-12}{x^{3}-4x}=\frac{5(x^{2}-\frac{12}{5}x-\frac{12}{5})}{x\left( x+2\right)\left( x-2\right) }=\frac{5(x-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{6})(x-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})}{x\left( x+2\right) \left( x-2\right) }$ (i) ahora $\frac{5(x-\frac{6}{5}- \frac{4}{5}\sqrt{6})(x-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})}{x\left( x+2\right)\left( x-2\right) }=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-2}=\frac{A(x+2)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x+2)}{x\left( x+2\right) \left( x-2\right) }$ entonces

$A(x+2)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x+2)=5(x-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{6})(x-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})$
si $x=2$ entonces $8C=5(2-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{6})(2-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})=-16$

así $C=-2$ si $x=-2$ entonces $8B=5(-2-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{6})(-2-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})$

$8B=32$ así $B=4$ y si $x=0$ entonces
$-4A=5(-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\sqrt{6})(-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\sqrt{6})=-12$ así $A=3$

entonces $\int \frac{5x^{2}-12x-12}{x^{3}-4x}dx=\int \left( \frac{3}{x}+\frac{4}{x+2}-\frac{2}{x-2}\right) dx=3\ln x+4\ln \left\vert x+2\right\vert -2\ln \left\vert x-2\right\vert +\ln C=\ln \left\vert C\frac{x^{3}\left( x+2\right) ^{4}}{\left( x-2\right)^{2}}\right\vert $

Solución:
Respuesta: solo (i) (iii) es cierto.
$\frac{x+2}{x^{2}-4x}=\frac{x+2}{x(x-4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}=\frac{A(x-4)+Bx}{x(x-4)}$ entonces $A(x-4)+Bx=x+2$

así $\left( A+B\right) x-4A=x+2\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} A+B=1 \\ -4A=2 \end{array} \right\} $
entonces $A=-\frac{1}{2}$

$B=\frac{3}{2}$ entonces
$\int \frac{x+2}{x^{2}-4x}dx=\int \left( \frac{-\frac{1}{2}}{x}+\frac{\frac{3}{2}}{x-4}\right) dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{2}\int \frac{1}{x-4}dx=-\frac{1}{2}\ln x+\frac{3}{2}\ln \left\vert x-4\right\vert +\ln C=\ln \left\vert C\sqrt{\frac{\left( x-4\right) ^{3}}{x}}\right\vert $

Solución:
Respuesta: Todo es cierto.

$\frac{x^{2}+2x+1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{\left( x+1\right)^{2}}{x(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}$

entonces $x+1=\left( A+B\right) x-A\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left( A+B\right) =1 \\ -A=1 \end{array} \right\} \Longrightarrow A=-1$

$B=2$ así $\int \frac{x^{2}+2x+1}{x(x-1)(x+1)}dx=\int \left( \frac{-1}{x}+\frac{2}{x-1}\right) dx=-\ln x+2\ln \left\vert x-1\right\vert +\ln C=\ln \left\vert C\frac{\left( x-1\right) ^{2}}{x}\right\vert $