Solución:$2x+3 = 0 \Leftrightarrow 2x=-3 \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$
$2x^2-x-1=0$
$D=0$
$x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$
| $(-\infin,-\frac{3}{2})$ | $[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ | $[-\frac{1}{2},1)$ | $[1,+\infin)$ |
$2x+3$ | - | + | + | + |
$2x^2-x-1$ | + | + | - | + |
Caso 1 $x \in (-\infin,-\frac{3}{2})$
$|2x+3| = -(2x+3)$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$
$-(2x+3)=(2x^2-x-1)+1$
$-2x-3=2x^2-x-1+1$
$-2x-3=2x^2-x$
$-2x^2-x-3=0$
$2x^2+x+3=0$
$D < 0, x\in \varnothing$
Caso 2 $x \in [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$
$2x+3=2x^2-x-1+1$
$2x+3-2x^2+x=0$
$-2x^2+3x+3=0$
$2x^2-3x-3=0$
$D = 33$
$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4} \approx 2.9 \notin [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ - Esta no es una solución.
$x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4} \approx -0.69 \in [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ - Esta es una solución.
Caso 3 $x \in [-\frac{1}{2},1)$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|= -(2x^2-x-1)$
$2x+3=-(2x^2-x-1)+1$
$2x+3=-2x^2+x+1+1$
$2x^2+2x-x+3-2=0$
$2x^2+x+1=0$
$D < 0 \Rightarrow x\in \varnothing$
Caso 4 $x \in [1,+\infin)$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$
$2x+3=2x^2-x-1+1$
$2x+3-2x^2+x=0$
$-2x^2+3x+3=0$
$2x^2-3x-3=0$
$D = 33$
$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4} \approx 2.9 \in [1,+\infin)$ - Esta es una solución.
$x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4} \approx -0.69 \notin [1,+\infin)$ - Esta no es una solución.
Responder: $\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$