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Problemas y soluciones
Problemas sobre progresiones geométricas
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Problemas sobre progresiones geométricas - problemas y soluciones
Problema 1
¿Los números 8, 4, 2, 1 forman una progresión geométrica?
Responder
sí
o
no
.
Solución:
Los números forman una progresión geométrica con el primer término 8 y la razón común [tex] \frac12 [/tex].
Problema 2
¿Cuál es la proporción común de la progresión geométrica 3, -6, 12, -24, 48 ...?
Solución:
La razón común es -2.
Problema 3
Encuentre la razón común
r
de una progresión geométrica en la que el primer término es 5 y el segundo término es 15.
Solución:
[tex]r=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]
Problema 4
Encuentre la razón común
r
de una progresión geométrica con el primer término -1 y el segundo 5.
Solución:
De acuerdo a la definición [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]
Problema 5
Determine la razón común
r
de una progresión geométrica creciente, para la cual el primer término es 5 y el tercer término es 20.
Solución:
Denotemos con [tex]a_1, a_2, a_3 ...[/tex].
los términos de la progresión geométrica [tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1r^2}{a_1}=r^2[/tex], por lo tanto [tex]r^2=4[/tex], lo cual nos lleva a dos candidadtos para
r
: [tex]r=2[/tex] o [tex]r=-2[/tex]. Dado que [tex]{a_n}[/tex] es una progresión geométrica ascendente, [tex]r>1>0[/tex] y [tex]r=2[/tex] resulta ser la única respuesta.
Problema 6
Determine la razón común
r
de una progresión geométrica con el primer término es 5 y el cuarto término es -40.
Solución:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1r^3}{a_1}=r^3=-8[/tex], así que [tex]r=-2[/tex].
Problema 7
Encuentre la razón común
r
de una progresión geométrica alterna [tex] {a_n} [/tex], para la cual [tex] a_1 = 125 [/tex], [tex] a_2 = -25 [/tex] y [tex] a_3 = 5 [/tex].
Solución:
Como la progresión es alterna, podemos concluir que [tex]r<0[/tex]. [tex]a_1r^2=a_3 \leftrightarrow r^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], por lo tanto [tex]r=\frac{1}{5}[/tex] o [tex]r=-\frac{1}{5}[/tex]. La respuesta final es -1/5
Problema 8
Encuentre el cuarto término de una progresión geométrica, cuyo primer término es 2 y la razón común es 3.
Solución:
[tex]a_1 \cdot r^3=2\cdot 3^3=2 \cdot 27=54[/tex]
Problema 9
Sea [tex] {a_n} [/tex] una progresión geométrica con relación común [tex] r = \frac{1}{3} [/tex]. Si [tex] a_4 = 12 [/tex], encuentre [tex] a_1 [/tex].
Solución:
[tex]a_4=a_1\cdot r^3[/tex], por tanto [tex]a_1=a_4\cdot r^{-3}=12\cdot (\frac{1}{3})^{-3}=12\cdot 3^3=12 \cdot 27=324[/tex]
Problema 10
[tex] {a_n} [/tex] es una progresión geométrica. Si el primer término [tex] a_1 = 5 [/tex] y el segundo término [tex] a_2 = 10 [/tex], encuentre [tex] a_6 [/tex]
Solución:
La proporción común de la progresión geométrica es [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1 \cdot r^5=5 \cdot 2^5=5 \cdot 32=160[/tex]
Problema 11
Sea [tex] {a_n} [/tex] una progresión geométrica creciente. Si el primer término [tex] a_1 = 2 [/tex] y el quinto término [tex] a_5 = 162 [/tex], determine [tex] a_3 [/tex]
Solución:
Dado que [tex]a_n[/tex] es ascendente, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] para cualquier [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5\cdot a_1}[/tex], o [tex]a_3=\sqrt{2\cdot 162}=\sqrt{324}=18[/tex]
Problema 12
Sea [tex] {a_n} [/tex] una progresión geométrica, tal que [tex] a_1 = 2 [/tex] y [tex] r = 3 [/tex]. Encuentre la suma de los primeros cinco elementos.
Solución:
La fórmula para la suma de los primeros n elementos de una progresión geométrica es [tex]S_n=a_1.\frac{r^n-1}{r-1}[/tex]. Sustituyendo, obtenemos [tex]S_5=2.\frac{3^5-1}{3-1}=2.\frac{243-1}{2}=242[/tex]
Problema 13
Sea [tex] {a_n} [/tex] una progresión geométrica, definida como [tex] a_1 = 1 [/tex] y [tex] r = 5 [/tex]. Encuentre la suma [tex] a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 [/tex]
Solución:
[tex]S_5=a_1.\frac{r^5-1}{r-1}=\frac{5^5-1}{5-1}=\frac{3125-1}{4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]
Problema 14
Encuentre la suma de la serie geométrica infinita [tex] {a_n} [/tex], con el primer término 1 y la razón común [tex]r=\frac {1}{2}[/tex].
Solución:
Sabemos que si una serie geométrica infinita converge, la suma de sus elementos viene dada por la fórmula [tex]S=a_1.\frac{1}{1-r}[/tex]. En nuestro caso, [tex]S=1.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]
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