Problemas sobre progresiones geométricas - problemas y soluciones

Solución:
Los números forman una progresión geométrica con el primer término 8 y la razón común [tex] \frac12 [/tex].

Solución:
La razón común es -2.

Solución:
[tex]r=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]

Solución:
De acuerdo a la definición [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]

Solución:
Denotemos con [tex]a_1, a_2, a_3 ...[/tex].
los términos de la progresión geométrica [tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1r^2}{a_1}=r^2[/tex], por lo tanto [tex]r^2=4[/tex], lo cual nos lleva a dos candidadtos para [tex]r[/tex]: [tex]r=2[/tex] o [tex]r=-2[/tex]. Dado que [tex]{a_n}[/tex] es una progresión geométrica ascendente, [tex]r>1>0[/tex] y [tex]r=2[/tex] resulta ser la única respuesta.

Solución:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1r^3}{a_1}=r^3=-8[/tex], así que [tex]r=-2[/tex].

Solución:
Como la progresión es alterna, podemos concluir que [tex]r<0[/tex]. [tex]a_1r^2=a_3 \leftrightarrow r^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], por lo tanto [tex]r=\frac{1}{5}[/tex] o [tex]r=-\frac{1}{5}[/tex]. La respuesta final es [tex]-\frac{1}{5}[/tex].

Solución:
[tex]a_1 \cdot r^3=2\cdot 3^3=2 \cdot 27=54[/tex]

Solución:
[tex]a_4=a_1\cdot r^3[/tex], por tanto [tex]a_1=a_4\cdot r^{-3}=12\cdot (\frac{1}{3})^{-3}=12\cdot 3^3=12 \cdot 27=324[/tex]

Solución:
La proporción común de la progresión geométrica es [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1 \cdot r^5=5 \cdot 2^5=5 \cdot 32=160[/tex]

Solución:
Dado que [tex]a_n[/tex] es ascendente, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] para cualquier [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5\cdot a_1}[/tex], o [tex]a_3=\sqrt{2\cdot 162}=\sqrt{324}=18[/tex]

Solución:
La fórmula para la suma de los primeros n elementos de una progresión geométrica es [tex]S_n=a_1 \times \frac{r^n-1}{r-1}[/tex]. Sustituyendo, obtenemos [tex]S_5=2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3}=2 \cdot \frac{1-243}{-2}=242[/tex]

Solución:
[tex]S_5=a_1\cdot\frac{1-r^5}{1-r}=\frac{1-5^5}{1-5}=\frac{1-3125}{-4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]

Solución:
Sabemos que si una serie geométrica infinita converge, la suma de sus elementos viene dada por la fórmula [tex]S=a_1 \times \frac{1}{1-r}[/tex]. En nuestro caso, [tex]S=1 \times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]

Solución:
El número de moscas por días forma una progresión geométrica de razón [tex]k[/tex]. Del día [tex]6[/tex] al día [tex]11[/tex] hay cinco pasos:
[tex]96k^{5}=3072\Rightarrow k^{5}=32\Rightarrow k=2[/tex]
Del día [tex]3[/tex] al día [tex]6[/tex] hay tres pasos, así que el tercer día había [tex]\dfrac{96}{2^{3}}=12[/tex] moscas.

Solución:
El cuadrado del término central es igual al producto de sus vecinos: [tex](x+y)^{2}=2x\times 2y=4xy[/tex].
[tex]x^{2}-2xy+y^{2}=0\iff (x-y)^{2}=0\iff x=y[/tex]
Los términos son [tex]2x; 2x; 2x[/tex] con [tex]x\ne 0[/tex], así que [tex]q=1[/tex].

Solución:
En una progresión geométrica [tex]a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}[/tex] siempre que [tex]m+n=k+l[/tex] (ambos productos valen [tex]a_{1}^{2}q^{m+n-2}[/tex]).
[tex]12+38=8+42=25+25\Rightarrow a_{12}a_{38}=a_{8}a_{42}=a_{25}^{2}[/tex]
[tex]a_{25}^{2}+9a_{25}^{2}=10\Rightarrow a_{25}^{2}=1\Rightarrow a_{8}a_{42}=1[/tex]

Solución:
La condición es [tex](x-3)^{2}=2x(x-7)[/tex]:
[tex]x^{2}-6x+9=2x^{2}-14x\iff x^{2}-8x-9=0\iff x=9[/tex] o [tex]x=-1[/tex]
Para [tex]x=-1[/tex] los números son [tex]-8; -4; -2[/tex], que son negativos.
Para [tex]x=9[/tex] los números son [tex]2; 6; 18[/tex] ([tex]q=3[/tex]). Por lo tanto, [tex]x=9[/tex].

Solución:
Tras cada embolada queda [tex]\dfrac{9}{10}[/tex] del aire, así que las cantidades restantes forman una progresión geométrica de razón [tex]0{,} 9[/tex].
Tras [tex]10[/tex] emboladas queda la fracción [tex](0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 3487[/tex], así que la bomba extrae
[tex]1-(0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 6513\approx 65\%[/tex]

Solución:
La diferencia es la suma de todos los términos a partir de [tex]a_{4}[/tex]: [tex]S-S_{3}=a_{4}+a_{5}+\ldots=\dfrac{a_{4}}{1-q}[/tex].
[tex]a_{4}=\dfrac{a_{1}}{8}; S-S_{3}=\dfrac{a_{1}}{8}\times 2=\dfrac{a_{1}}{4}=2\Rightarrow a_{1}=8[/tex]

Solución:
[tex]a_{5}-a_{1}=a_{1}(q^{4}-1)=(q-1)\times a_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=(q-1)S_{4}[/tex]
[tex]480=240(q-1)\Rightarrow q=3[/tex]
Comprobación: [tex]a_{1}=\dfrac{240}{1+3+9+27}=6; a_{5}-a_{1}=486-6=480[/tex].