Integrales - problemas y soluciones

Solución:
Puesto que $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)$, por la definición de integral definida $\int g(x)dx =f(x)$ podemos probar esto

así $\int g(x)dx$ $=\int (2x-3x^{2})dx=\int 2xdx-\int 3x^{2}dx=\int g(x)dx=2\int xdx-3\int x^{2}dx=2\cdot \frac{1}{2}x^{2}-3\cdot \frac{1}{3}x^{3}=x^{2}-x^{3}+C=f(x)+C$ donde $C\in R$

Solución:
Respuesta: Solo (i) es cierta.

Puesto que $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)$, por la definición de integral definida $\int g(x)dx$ $=f(x)$, así, comprobamos el resultado de la integral

$\int g(x)dx=\int (\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}})dx=\int g(x)dx=\int \sqrt{x}dx+\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\int x^{1/2}dx+\frac{1}{2}\int x^{-1/2}dx=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{3/2}+\frac{1}{2}\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}+C$

$\int g(x)dx$ $=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+\sqrt{x}+C=f(x)+C$, donde $C\in R$

Solución:
Podemos ver que, $f(x)+g(x)=\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left(2x^{2}-5\right) dx$

y usando la propiedad de la suma de integrales, así
$\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left( 2x^{2}-5\right) dx=\int \left[\left( x^{2}+2\right) +\left( 2x^{2}-5\right) \right] dx=\int \left(3x^{2}-3\right) dx$

entonces $\int \left(3x^{2}-3\right) dx=f(x)+g(x)=\left( \frac{1}{3}x^{3}+2x+C\right) +\left( \frac{2}{3}x^{3}-5x+C\right)$

$\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=x^{3}-3x+C$

Solución:
Respuesta: Ninguna de las anteriores.

El operador integración no conserva los productos, esto quiere decir que $\int f(x)\cdot g(x)dx\neq \left( \int f(x)dx\right) \left( \int g(x)dx\right) $ así, para resolver $\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx$, debemos simplificar el integrando, entonces

$\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\int \left(2x^{3}+6x+3x^{2}+9\right) dx$

$\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\int 2x^{3}dx+\int 6xdx+\int 3x^{2}dx+\int 9dx=\frac{2}{4}x^{4}+\frac{6}{2}x^{2}+\frac{3}{3} x^{3}+9x+C$

así, $\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\frac{1}{2}x^{4}+3x^{2}+x^{3}+9x+C$

Solución:
Usando propiedades de fracciones, podemos simplificar el integrando

$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \left( \frac{x^{2}}{x^{4}}+\frac{2x}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}\right) dx$,

y ahora usar las propiedades de integrales para la suma y resta, así

$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{3}}dx-\int \frac{3}{x^{4}}dx$

entonces $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}+2\int \frac{dx}{x^{3}}-3\int \frac{dx}{x^{4}}$

Solución:
Debemos simplificar el integrando y aplicar las propiedades de suma y resta de las integrales, así
$\int (x+1)(x-2)dx=\int \left(x^{2}-2x+x-2\right) dx$

entonces $\int (x+1)(x-2)dx=\int \left( x^{2}-x-2\right) dx=\int x^{2}dx-\int xdx-2\int dx$

$\int (x+1)(x-2)dx=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x+C$, donde $C\in R$

Solución:
Debemos resolver el binomio en el integrando y aplicar las propiedades de integrales de sumas y restas, así $\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\int (4t^{4}-4t^{2}+1)dt$

$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\int 4t^{4}dt-\int 4t^{2}dt+\int dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$ entonces
$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$

Solución:
Previamente debemos aplicar la propiedad distributiva en el integrando, así

$\int \sec y(\tan y-\sec y)dy=\int (\sec y\tan y-\sec ^{2}y)dy$ ahora aplicamos la propiedad de la integral de una resta, $\int \sec y(\tan y-\sec y)dy=\int \left( \sec y\tan y\right) dy-\int \left( \sec ^{2}y\right) dy$
de acuerdo a una tabla de integrales, ambas son integrales inmediatas

$\int \sec y(\tan y-\sec y)dy=\int \left( \sec y\tan y\right) dy-\int \left( \sec^{2}y\right) dy=\sec y-\tan y+C$ así

$\int \sec y(\tan y-\sec y)dy=\sec y-\tan y+C$

Solución:
Podemos usar algunas identidades trigonométricas para simplificar el integrando, recordar que

$\sen^{2}x+\cos ^{2}x=1\Longrightarrow 1-\sen^{2}x=\cos ^{2}x$
entonces $\int \frac{\sen x}{1-\sen^{2}x}dx=\int \frac{\sen x}{\cos ^{2}x}dx=\int \frac{\sen x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos x}dx$ así

$\int \frac{\sen x}{1-\sen^{2}x}dx=\int \tan x\cdot \sec xdx$ esta es una integral inmediata
$\int \frac{\sen x}{1-\sen^{2}x}dx=\int \tan x\cdot \sec xdx=\sec x+C$

Solución:
$\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5$

Haremos una aproximación de la integral por medio de sumas superiores de 4 rectángulos, donde las alturas de los rectángulos son $f(0{,}5);f(1);f(1{,}5);f(2)$

así $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,5\left( f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)\right) $

$f(0{,}5)=2(0{,}5)+5=6\qquad f(1)=2(1)+5=7\qquad f(1{,}5)=2(1{,}5)+5=8$

$f(2)=2(2)+5=9$ así, $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx 0{,}5\left( 6+7+8+9\right) =15$ entonces
$\overset{2}{\underset{0}{\int }}(2x+5)dx\approx 15$

Solución:
$\Delta x=\frac{5-2}{6}=0,5$

Haremos una aproximación de la integral por medio de sumas superiores de 6 rectángulos, donde las alturas de los rectángulos

son $g(2{,}5);g(3);g(3{,}5);g(4);g(4{,}5);g(5)$

así $\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,5\left( g(2,5)+g(3)+g(3,5)+g(4)+g(4,5)+g(5)\right) $

$g(2{,}5)=2(2{,}5)^{2}-(2{,}5)-1=0$
$g(3)=2(3)^{2}-(3)-1=15$
$g(3{,}5)=2(3{,}5)^{2}-(3{,}5)-1=20$
$g(4)=2(4)^{2}-(4)-1=27$ $g(4{,}5)=2(4{,}5)^{2}-(4{,}5)-1=35$
$g(5)=2(5)^{2}-(5)-1=44$

así, $\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx 0,5\left(9+15+20+27+35+44\right) =75$ entonces

$\overset{5}{\underset{2}{\int }}(2x^{2}-x-1)dx\approx 75$

Solución:
Sumas superiores: sumaremos $4$ áreas de rectángulos de alturas $5,5,4,2$ y base $\Delta x=1$ así $Area\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+5+4+2\right) \cdot 1$

$Area\approx 16$

Sumas inferiores: sumaremos $4$ áreas de rectángulos de alturas $4,4,3,1$ y base $\Delta x=1$ así $ Area\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 4+4+3+1\right) \cdot 1=12$

Entonces el área de la región rosada está acotada entre las sumas inferiores y sumas superiores, así $12<Área<16$

Solución:
Respuesta: 3 < Área < 10

Sumas superiores: Sumaremos las áreas de $5$ rectángulos con alturas $5,2,1,1,1$
y bases $\Delta x=1$
Área $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+2+1+1+1\right) \cdot 1=10$

Sumas inferiores: Sumaremos las áreas de $5$ rectángulos con alturas $2,1,0,0,0$
y bases $\Delta x=1$
Área $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 2+1+0+0+0\right) \cdot 1=3$

Luego, el área de la región rosa está limitada por la suma superior y la suma inferior,

por lo tanto, 3 < Área < 10

Solución:
Sea $y=f(x)=\sqrt{x}$ podemos ver que la altura de los rectángulos superiores son $f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4});f(1);$ y la altura de los rectángulos inferiores son $f(0);f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4})$ la base de cada rectángulo es

$\Delta x=\frac{1-0}{4}=0{,}25$ entonces $S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,25\left( f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})+f(1)\right) =0{,}25\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right) $ así

$S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0{,}768$ y ahora

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}25\left(f(0)+f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})\right) $

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}25\left( 0+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 0{,}518$

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0{,}518$

y puesto que $s\leq A\leq S\Longrightarrow 0,518\leq A\leq 0{,}768$

Solución:
Sea $y=f(x)=\frac{1}{x}$ la base de cada rectángulo es $\Delta x=\frac{2-1}{5}=0,2$ los puntos izquierdos de cada rectángulo nos permite calcular la altura de los rectángulos superiores, así $1;1,2;1,4;1,6;1,8$ entonces podemos ver que las alturas de los rectángulos superiores son
$f(1);f(1,2);f(1,4);f(1,6);f(1,8)$ y las alturas de los rectángulos inferiores
son $f(1,2);f(1,4);f(1,6);f(1,8);f(2)$ entonces

$S=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( f(1)+f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)\right) =0,2\left( 1+\frac{1}{\frac{6}{5}}+\frac{1}{\frac{7}{5}}+\frac{1}{\frac{8}{5}}+\frac{1}{\frac{9}{5}}\right)$

$S=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( 1+\frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}\right) \approx 0,746$ y ahora

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)+f(2)\right) =0,2\left( \frac{1}{\frac{6}{5}}+\frac{1}{\frac{7}{5}}+\frac{1}{\frac{8}{5}}+\frac{1}{\frac{9}{5}}+\frac{1}{2}\right) $

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( \frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}+\frac{1}{2}\right) \approx 0,646$
y puesto que $s\leq A\leq S$
entonces

$0,646\leq \text{Area}\leq \allowbreak 0,746$

Solución:
$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx$ podemos hacer el cambio de variable

$u=x^{2}+x\Longrightarrow \frac{du}{dx}=2x+1$ entonces $du=\left( 2x+1\right) dx$ así

$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\int udu=\frac{u^{2}}{2}+C$

$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\frac{\left(x^{2}+x\right)^{2}}{2}+C$

Solución:
$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx$
Podemos hacer el cambio $u=x^{3}-5\Longrightarrow \frac{du}{dx}=3x^{2}$

entonces $du=3x^{2}dx\Longrightarrow \frac{du}{3}=x^{2}dx$ y ahora devolvemos el cambio de variable en la integral original

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\int \sqrt{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{1/2}du=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C$

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\frac{2}{9}\left( x^{3}-5\right)^{3/2}+C=\frac{2}{9}\sqrt{\left( x^{3}-5\right)^{3}}+C$

Solución:
$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx$
Podemos hacer el cambio de variable

$u=1-2x^{2}\Longrightarrow \frac{du}{dx}=-4x$ entonces $du=-4xdx$ así,

$\int \frac{1}{u^{2}}du=\int u^{-2}du=-1u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C$

$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx=-\frac{1}{\left(1-2x^{2}\right) }+C$

Solución:
$\int \cos^{2}x\sen xdx$
Hacemos el siguiente cambio de variable $u=\cos x$

y obtenemos la derivada $\frac{du}{dx}=-\sen x\Longrightarrow -du=\sen xdx$ así

$\int \cos^{2}x\sen xdx=-\int u^{2}du=-\frac{u^{3}}{3}+C$

$\int \cos^{2}x\sen xdx=-\frac{\cos^{3}x}{3}+C$

Solución:
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx$

Hacemos el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+1\Longrightarrow \frac{du}{dx}=-4x$
entonces $-\frac{1}{4}du=xdx$ ahora ajustamos los nuevos limites de integracion, si $x\rightarrow 0$ entonces $u\rightarrow 1$ y si $x\rightarrow 1$ entonces $u\rightarrow 2$ y sustituyendo en la integral original obtenemos

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}-\frac{1}{4}\left( u\right) ^{3}du=-\frac{1}{4}\left[ \frac{u^{4}}{4}\right] _{1}^{2}=-\frac{1}{4}\left[ \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}\right] =-\frac{1}{4}\left[ 4-\frac{1}{4}\right] =\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx=-\frac{15}{16}$

Solución:
$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$
Hacemos el siguiente cambio de variable

$u=2x-1\Longrightarrow x=\frac{u+1}{2}$ y $\frac{du}{dx}=2\Longrightarrow \frac{1}{2}du=dx$

Ahora ajustamos los nuevos limites de integracion, si $x\rightarrow 1$ entonces $u\rightarrow 1$ y si $x\rightarrow 5$ entonces $u\rightarrow 9$ y sustituyendo en la integral original obtenemos

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\overset{9}{\underset{1}{\int }}\frac{u+1}{2\sqrt{u}}\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\overset{9}{\underset{1}{\int }}\left( u+1\right) u^{-1/2}du=\frac{1}{4}\overset{9}{\underset{1}{\int }}\left( u^{1/2}+u^{-1/2}\right) du$

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}\right] _{1}^{9}=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}\left( 9^{3/2}\right) +2\left( 9^{1/2}\right) -\frac{2}{3}\left(1^{3/2}\right) -2\left( 1^{1/2}\right) \right]$

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}\left( 27\right) +2\left( 3\right) -\frac{2}{3}\left( 1\right) -2\left( 1\right) \right] =\frac{1}{4}\left( 18+6-\frac{2}{3}-2\right)=5,33$

Solución:
$\int \tan^{4}x\sec^{2}xdx$
Hacemos un cambio de variable, si $u=\tan x\Longrightarrow \frac{du}{dx}=\sec ^{2}x$
$du=\sec ^{2}xdx,$ entonces la nueva integral es $\int \tan^{4}x\sec^{2}xdx=\int u^{4}du$

así $\int u^{4}du=\frac{1}{5}u^{5}+C$ ahora devolvemos el cambio de variable

$\int \tan ^{4}x\sec ^{2}xdx=\frac{1}{5}u^{5}+C=\frac{1}{5}\tan ^{5}x+C$

Solución:
Puesto que $\csc x=\frac{1}{\sen x}\Longrightarrow \csc^{2}x=\frac{1}{\sen^{2}x}$ y $\cot x=\frac{\cos x}{\sen x}\Longrightarrow \frac{1}{\cot^{3}x}=\frac{\sen^{3}x}{\cos^{3}x}$

así $\int \frac{\csc ^{2}x}{\cot ^{3}x}dx=\int \frac{1}{\sen^{2}x}\cdot \frac{\sen^{3}x}{\cos ^{3}x}dx=\int \frac{\sen x}{\cos ^{3}x}dx$ ahora hacemos un cambio de variable $u=\cos x\Longrightarrow du=-\sen xdx$ entonces

$\int \frac{\csc ^{2}x}{\cot^{3}x}dx=-\int \frac{du}{u^{3}}=-\int u^{-3}du=-\frac{-1}{2}\frac{1}{u^{2}}+C$

$\int \frac{\csc ^{2}x}{\cot^{3}x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\cos ^{2}x}+C=\frac{1}{2}\sec ^{2}x+C$