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Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot
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Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas y soluciones
Problema 1
sen(A) =
$\frac{61}{11}$
$\frac{60}{61}$
$\frac{11}{61}$
$\frac{11}{60}$
Solución:
$\sen(A) = \frac{11}{61}$
Problema 2
tan(A) =
$\frac{11}{61}$
$\frac{61}{11}$
$\frac{60}{11}$
$\frac{11}{60}$
Solución:
$tan(A) = \frac{11}{60}$
Problema 3
cot(A) =
$\frac{61}{60}$
$\frac{11}{60}$
$\frac{61}{11}$
$\frac{60}{11}$
Solución:
$cot(A) = \frac{60}{11}$
Problema 4
sen(30°)=
Solución:
$\sen(30°)=\frac{1}{2}$
Problema 5
cos(90°) =
Solución:
cos(90°) = 0
Problema 6
sen
2
(43°) + cos
2
(43°) =
Solución:
Dado que $sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$,
sen
2
(43°) + cos
2
(43°) = 1
Problema 7
Encontrar [tex]\cos\alpha[/tex], [tex]\tan\alpha[/tex], [tex]\cot\alpha[/tex], si [tex]sen\alpha = {\frac{5}{13}}[/tex] y [tex]{\frac{\pi}{2}} < \alpha < \pi[/tex].
Solución:
[tex]\alpha[/tex] pertenece al II cuadrante => [tex]cos\alpha[/tex] < 0, y [tex]cos\alpha=-\sqrt{1-sen^2\alpha}=-\sqrt{1-{\frac{25}{169}}}=-{\frac{12}{13}}[/tex]
[tex]tan\alpha=-{\frac{5}{12}}[/tex]
[tex]cot\alpha=-{\frac{12}{5}}[/tex].
Problema 8
Encuentre $\cot(\pi + x) = ?$
cot(x)
tan(x)
sin(x)
$\frac{1}{cot(x)}$
Solución:
$\cot(\pi + x)=cot(x)$
Problema 9
Calcular sen(-585°).
Solución:
sen(-585°)= - sen(585°)= - sen(2π+225°)= - sen225°= - sen(π+45°)=sen45°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex]
Problema 10
Calcular $\tan(270^{\circ}+\alpha)$.
$\tan(\alpha+30)$
$\cot\alpha$
$-\cot\alpha$
$-\tan(\alpha+30)$
Solución:
[tex]\tan(270^\circ+\alpha)=\tan({\frac{3\pi}{2}}+\alpha)=-\cot\alpha[/tex]
Problema 11
Encontrar el valor exacto de [tex]cos{\frac{8\pi}{3}} = ?[/tex].
Solución:
[tex]cos{\frac{8\pi}{3}}=cos(3\pi-{\frac{\pi}{3}})=cos(\pi-\frac{\pi}{3})=-cos{\frac{\pi}{3}}=-{\frac{1}{2}}[/tex]
Problema 12
Calcular [tex]\sen 945^{\circ}[/tex].
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{2}$
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\frac{\sqrt{2}}{4}$
Solución:
[tex]\sen 945^{\circ}[/tex][tex]=[/tex][tex]\sen(720^{\circ}+ 225^{\circ})[/tex]= [tex]\sen(225^{\circ}+2*360^{\circ})[/tex]= [tex]\sen225^{\circ}[/tex]= [tex]\sen(225^{\circ}-360^{\circ})[/tex]= [tex]\sen(-135^{\circ})[/tex]=[tex]-\sen 135^{\circ}=- \frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Problema 13
cos(24°) + cos(5°) + cos(175°) + cos(204°) + cos(300°) =
Solución:
cos(175°) = cos(180 - 5) = -cos(5)
cos(204°) =cos(180+24) = -cos(24)
cos(300°) = cos(360-60) = cos(60)
Por lo tanto el resultado sería cos(60) que es 1/2
Problema 14
Si cot(x) = 2 entonces encuentre $\frac{(2+2sen x)(1-sen x)}{(1+\cos x)(2-2\cos x)}$
Solución:
Cot x=2
$\frac{(2+2sen x)(1-sen x)}{(2+2\cos x)(1-\cos x)} = \frac{2[(1+sen x)(1-sen x)]}{2[(1-\cos x)(1-\cos x)]}=$
$\frac{1-sen^2x}{1-\cos^2x} = \frac{\cos^2x}{sen^2x}=\big(\frac{\cos x}{sen x}\big)^2 =\cot^2x =2^2 =4$
Problema 15
Encontrar el valor exacto de cos 15°.
Solución:
cos 15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sen45°sen30°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}}.{\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\frac{\sqrt{2}}{2}}.{\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex].
Problema 16
Calcular sen75°sen15° =
Solución:
sen75°sen15°=sen(90°-15°)=cos15°sen15°=[tex]{\frac{1}{2}}sen30^{\circ}={\frac{1}{4}}[/tex]
Problema 17
Calcular el valor exacto de sen15°.
Solución:
sen15°=sen(45°-30°)=sen45°cos30°-cos45°sen30°=[tex]{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex].
Problema 18
Encuentre el valor exacto de sen4α+cos4αcot2α, si tan2α=4.
Solución:
sen4α+cos4αcot2α=[tex]{\frac{2tan2\alpha}{1+tan^22\alpha}}+{\frac{1-tan^22\alpha}{1+tan^22\alpha}}.{\frac{1}{tan2\alpha}}={\frac{2 \cdot 4}{1+16}}+{\frac{1-16}{1+16}}{\frac{1}{4}}={\frac{1}{4}}[/tex].
Problema 19
Simplificar
3+4cos2α+cos4α
Solución:
3+4cos2α+cos4α=2+4cos2α+(1+cos4α)=2+4cos2α+2cos
2
2α=2(1+2cos2α+cos
2
2α)=2(1+cos2α)
2
=2(2cos
2
α)
2
=8cos
4
α
Problema 20
Compruebe la identidad trigonométrica
[tex]4cos({\frac{\pi}{6}}-\alpha)sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha)=({\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}})[/tex]
Solución:
Simplificar la parte de la izquierda
[tex]4sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha)cos({\frac{\pi}{6}}-\alpha)=4.{\frac{1}{2}}(sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha+{\frac{\pi}{6}}-\alpha)+sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha-{\frac{\pi}{6}}+\alpha))=2(sen({\frac{\pi}{2}}-2\alpha)+sen{\frac{\pi}{6}})=2(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})={\frac{2sen\alpha(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})}{sen\alpha}}={\frac{2sen\alpha cos2\alpha+sen\alpha}{sen\alpha}}={\frac{sen3\alpha-sen\alpha+sen\alpha}{sen\alpha}}={\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}}[/tex]
Problema 21
Simplique [tex]{\frac{sen\alpha}{1+cos\alpha}}+{\frac{1+cos\alpha}{sen\alpha}}[/tex]
Solución:
[tex]{\frac{sen^2\alpha+(1+cos\alpha)^2}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{sen^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2(1+cos\alpha)}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2}{sen\alpha}}[/tex]
Problema 22
Comprobar la identidad trigonométrica: cosα+cos2α+cos6α+cos7α=[tex]4cos\alpha{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{5\alpha}{2}}cos4\alpha[/tex]
Solución:
[tex](cos\alpha+cos7\alpha)+(cos2\alpha+cos6\alpha)=2cos4\alpha cos3\alpha +2cos4\alpha cos2\alpha =2cos4\alpha(cos3\alpha+cos2\alpha)=4cos4\alpha cos{\frac{5\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}[/tex]
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