Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas y soluciones

Solución:
[tex]\sen(A) = \frac{11}{61}[/tex]

Solución:
[tex]tan(A) = \frac{11}{60}[/tex]

Solución:
[tex]cot(A) = \frac{60}{11}[/tex]

Solución:
[tex]\sen(30°)=\frac{1}{2}[/tex]

Solución:
cos(90°) = 0

Solución:
Dado que [tex]sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1[/tex],

[tex]sen^{2}(43[/tex]°) [tex]+ \cos ^{2}(43[/tex]°) = 1

Solución:
[tex]\alpha[/tex] pertenece al II cuadrante => [tex]cos\alpha[/tex] < 0, y [tex]cos\alpha=-\sqrt{1-sen^2\alpha}=-\sqrt{1-{\frac{25}{169}}}=-{\frac{12}{13}}[/tex]
[tex]tan\alpha=-{\frac{5}{12}}[/tex]
[tex]cot\alpha=-{\frac{12}{5}}[/tex].

Solución:
[tex]\cot(\pi + x)=cot(x)[/tex]

Solución:
sen(-585°)= - sen(585°)= - sen(2π+225°)= - sen225°= - sen(π+45°)=sen45°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex]

Solución:
[tex]\tan(270^\circ+\alpha)=\tan({\frac{3\pi}{2}}+\alpha)=-\cot\alpha[/tex]

Solución:
[tex]cos{\frac{8\pi}{3}}=cos(3\pi-{\frac{\pi}{3}})=cos(\pi-\frac{\pi}{3})=-cos{\frac{\pi}{3}}=-{\frac{1}{2}}[/tex]

Solución:
[tex]\sen 945^{\circ}=\sen(720^{\circ}+ 225^{\circ})= \sen(225^{\circ}+2*360^{\circ})= \sen225^{\circ}= \sen(225^{\circ}-360^{\circ})= \sen(-135^{\circ})=-\sen 135^{\circ}=- \frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Solución:
[tex]\cos 175^\circ = \cos(180^\circ - 5^\circ) = -\cos 5^\circ[/tex]
[tex]\cos 204^\circ = \cos(180^\circ + 24^\circ) = -\cos 24^\circ[/tex]
[tex]\cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ[/tex]
Por lo tanto, la suma es [tex]\cos 60^\circ = \frac{1}{2}[/tex]

Solución:
Cot x=2

[tex]\frac{(2+2\sen x)(1-\sen x)}{(1+\cos x)(2-2\cos x)} = \frac{2[(1+sen x)(1-sen x)]}{2[(1+\cos x)(1-\cos x)]}=[/tex]
[tex]\frac{1-sen^2x}{1-\cos^2x} = \frac{\cos^2x}{sen^2x}=\big(\frac{\cos x}{sen x}\big)^2 =\cot^2x =2^2 =4[/tex]

Solución:
cos 15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sen45°sen30°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times {\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times {\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex].

Solución:
sen75°sen15°=sen(90°-15°)=cos15°sen15°=[tex]{\frac{1}{2}}sen30^{\circ}={\frac{1}{4}}[/tex]

Solución:
sen15°=sen(45°-30°)=sen45°cos30°-cos45°sen30°=[tex]{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex].

Solución:
sen4α+cos4αcot2α=[tex]{\frac{2tan2\alpha}{1+tan^22\alpha}}+{\frac{1-tan^22\alpha}{1+tan^22\alpha}} \times {\frac{1}{tan2\alpha}}={\frac{2 \cdot 4}{1+16}}+{\frac{1-16}{1+16}}{\frac{1}{4}}={\frac{1}{4}}[/tex].

Solución:
[tex]3+4cos2[/tex]α[tex]+cos4[/tex]α=[tex]2+4cos2[/tex]α[tex]+(1+cos4[/tex]α)=[tex]2+4cos2[/tex]α[tex]+2cos^{2}2[/tex]α=[tex]2(1+2cos2[/tex]α[tex]+\cos ^{2}2[/tex]α)=[tex]2(1+cos2[/tex]α)[tex]^{2}=2(2cos^{2}[/tex]α)[tex]^{2}=8cos^{4}[/tex]α

Solución:
Simplificar la parte de la izquierda
[tex]4sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha)cos({\frac{\pi}{6}}-\alpha)=4 \times {\frac{1}{2}}(sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha+{\frac{\pi}{6}}-\alpha)+sen({\frac{\pi}{3}}-\alpha-{\frac{\pi}{6}}+\alpha))=2(sen({\frac{\pi}{2}}-2\alpha)+sen{\frac{\pi}{6}})=2(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})={\frac{2sen\alpha(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})}{sen\alpha}}={\frac{2sen\alpha cos2\alpha+sen\alpha}{sen\alpha}}={\frac{sen3\alpha-sen\alpha+sen\alpha}{sen\alpha}}={\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}}[/tex]

Solución:
[tex]{\frac{sen^2\alpha+(1+cos\alpha)^2}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{sen^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2(1+cos\alpha)}{sen\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2}{sen\alpha}}[/tex]

Solución:
[tex](cos\alpha+cos7\alpha)+(cos2\alpha+cos6\alpha)=2cos4\alpha cos3\alpha +2cos4\alpha cos2\alpha =2cos4\alpha(cos3\alpha+cos2\alpha)=4cos4\alpha cos{\frac{5\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}[/tex]

Solución:
Para todo [tex]x[/tex]:
[tex]-1\le\operatorname{sen} \frac{x}{2}\le 1\;\Rightarrow\;-8\le 5\operatorname{sen} \frac{x}{2}-3\le 2[/tex]
El valor [tex]2[/tex] se alcanza cuando [tex]\operatorname{sen} \frac{x}{2}=1[/tex], por ejemplo en [tex]x=\pi[/tex]. Por lo tanto, el valor máximo es [tex]2[/tex].

Solución:
[tex]0\le\operatorname{sen} ^2 x\le 1\;\Rightarrow\;3\le 5-2\operatorname{sen} ^2 x\le 5[/tex]
El valor máximo [tex]5[/tex] se alcanza en [tex]x=0[/tex] y el mínimo [tex]3[/tex] en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]. El producto es [tex]3\times 5=15[/tex].

Solución:
El valor mínimo del coseno es [tex]-1[/tex] y se alcanza cuando el ángulo es [tex]180^\circ+k\times 360^\circ[/tex]. Para [tex]\alpha\in\left[0^\circ; 180^\circ\right][/tex] se tiene [tex]\alpha+30^\circ\in\left[30^\circ; 210^\circ\right][/tex], y el único ángulo así es [tex]180^\circ[/tex]. Por lo tanto, [tex]\alpha+30^\circ=180^\circ[/tex] y [tex]\alpha=150^\circ[/tex]; el valor mínimo de la expresión es [tex]0[/tex].

Solución:
La función [tex]y=A\operatorname{sen} (kx+b)+c[/tex] tiene período principal [tex]T=\frac{2\pi}{|k|}[/tex]; los números [tex]A[/tex], [tex]b[/tex] y [tex]c[/tex] no cambian el período. Aquí [tex]k=\frac{2}{3}[/tex], así que
[tex]T=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}}=3\pi[/tex]

Solución:
El denominador no puede ser cero: [tex]\operatorname{sen} 2x\ne 0[/tex]. Como [tex]\operatorname{sen} t=0[/tex] exactamente cuando [tex]t=k\pi[/tex], se obtiene [tex]2x\ne k\pi[/tex], es decir, [tex]x\ne\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
[tex]\operatorname{sen} ^4 x+\cos^4 x=\left(\operatorname{sen} ^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\operatorname{sen} ^2 x\cos^2 x=1-\frac{1}{2}\operatorname{sen} ^2 2x[/tex]
Como [tex]\operatorname{sen} ^2 2x[/tex] toma todos los valores de [tex]\left[0; 1\right][/tex], la función toma todos los valores desde [tex]\frac{1}{2}[/tex] (cuando [tex]\operatorname{sen} ^2 2x=1[/tex]) hasta [tex]1[/tex] (cuando [tex]\operatorname{sen} 2x=0[/tex]).