Ecuaciones trigonométricas - problemas y soluciones

Solución:
[tex]\cos(2x)-7\sen x-4=0[/tex]
[tex]1-2\sen^2 x-7\sen x-4=0[/tex]
[tex]-2\sen^2 x-7\sen x-3=0[/tex]
[tex]2\sen^2 x+7\sen x+3=0[/tex]

Sea [tex]\sen x=y, y\in[1,1][/tex]
[tex]2y^2+7y+3=0[/tex]
[tex]D=25[/tex]
[tex]y_1=-3\notin [1,1][/tex]
[tex]y_2=-\frac12 \in [1, 1][/tex]

[tex]\sen x=-\frac12[/tex]

[tex]\sen\frac{\pi}{6}=\frac12[/tex] y [tex]\sen(-\alpha)= -\sen(\alpha)[/tex]

[tex]\Rightarrow \sen(-\frac{\pi}{6})=-\sen\frac{\pi}{6}=-\frac12\Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{6}[/tex]

[tex]x_1=\alpha+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]
[tex]x_2=\pi-\alpha +2k\pi=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex]

Respuesta: [tex]-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex]

Solución:
[tex]\cos2x-5\cos x+3=0[/tex]

[tex]2\cos^2x-1-5\cos x+3=0[/tex]

[tex]2\cos^2x-5\cos x+2=0[/tex]

Sea [tex]\cos x=y,\ \ y\in[1,1][/tex]


[tex]2y^2-5y+2=0[/tex]

[tex]D=9[/tex]

[tex]y_1=\frac12\in[1,1][/tex]

[tex]y_2=2\notin[1,1][/tex]


[tex]\cos x=\frac12[/tex]

[tex]\cos\frac{\pi}{3}=\frac12[/tex]


Respuesta: [tex]x=\frac{\pi}{3}[/tex]

Solución:
[tex]\cos 2x-5\sen x-3=0[/tex]

[tex]1-2\sen^2x-5\sen x-3=0[/tex]
[tex]-2\sen^2x-5\sen x-2=0[/tex]
[tex]2\sen^2x+5\sen x+2=0[/tex]
Sea [tex]\sen x=y, y\in[-1,1][/tex]
[tex]2y^2+5y+2=0[/tex]
[tex]D=9[/tex]
[tex]y_1=-2 \notin [-1,1][/tex]
[tex]y_2=-\frac12 \in [-1,1][/tex]

[tex]\sen x=-\frac12[/tex]
[tex]\sen\frac{\pi}{6}=\frac12[/tex], pero
[tex]\sen(-\alpha) = -\sen(\alpha)[/tex]
[tex]\Rightarrow \sen(-\frac{\pi}{6})=-\sen\frac{\pi}{6}=-\frac12[/tex]
[tex]\alpha=-\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]x_1=\alpha+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]
[tex]x_2=\pi-\alpha+2k\pi=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex]

Respuesta: [tex]-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex]

Solución:
[tex]\cos 2x+6\sen x-5=0[/tex]
[tex]1-2\sen^2x+6\sen x-5=0[/tex]
[tex]-2\sen^2x+6\sen x-4=0[/tex]
[tex]2\sen^2x-6\sen x+4=0[/tex]
[tex]\sen^2x-3\sen x+2=0[/tex]

Sea [tex]\sen x=y, y\in[-1, 1][/tex]

[tex]y^2-3y+2=0[/tex]
[tex]D=1[/tex]
[tex]x_1=2\notin[-1,1][/tex]
[tex]x_2=1\in[-1, 1][/tex]

[tex]\sen x=1[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]

Solución:
[tex]5\sen x-2\cos^2x-1=0[/tex]
[tex]5\sen x-2(1-\sen^2 x)-1=0[/tex]
[tex]5\sen x-2+2\sen^2 x-1=0[/tex]
[tex]2\sen^2x+5\sen x-3=0[/tex]

Sea [tex]\sen x=y, y \in [-1, 1][/tex]

[tex]2y^2+5y-3=0[/tex]
[tex]D=49[/tex]
[tex]x_1=-2\notin [-1, 1][/tex]
[tex]x_2=\frac{1}{2}\in[-1, 1][/tex]

[tex]\sen x=\frac12[/tex]
[tex]\sen\frac{\pi}{6}=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}[/tex]

Solución:
[tex]3+\cos 2x+3\sqrt{2}\cos x=0[/tex]
[tex]3+2\cos^2x-1+3\sqrt{2}\cos x=0[/tex]
[tex]2\cos^2x+3\sqrt{2}\cos x+2=0[/tex]

Sea [tex]\cos x=y, \ y\in[-1,1][/tex]

[tex]2y^2+3\sqrt{2}y+2=0[/tex]
[tex]D=2[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-3\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{4}[/tex]

[tex]x_1=-\sqrt{2} \notin [-1,1][/tex]

[tex]x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2} \in [-1,1][/tex]

[tex]\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]x=\frac{3\pi}{4}[/tex]

Solución:
Dominio:
[tex]\sqrt{1+\cot^2(x)} \ne 0[/tex] - esto siempre es verdad
[tex]1+\cot^2(x)\ge0 \Leftrightarrow \cot^2(x)\ge -1[/tex] - siempre verdad

[tex]\cos2x+\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2(x)}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\cos^2(x)}{\sen^2(x)}}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+\frac{1}{\sqrt{\frac{\sen^2x+\cos^2x}{\sen^2x}}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sen^2x}}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sen^2x}}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+\frac{\sqrt{\sen^2x}}{\sqrt{1}}=0[/tex]

[tex]\cos2x+|\sen x|=0[/tex]


Caso 1 [tex]\sen x \ge 0 \Rightarrow x \in [0, \pi][/tex]
[tex]|\sen x| = \sen x[/tex]
[tex]\cos2x+\sen x=0[/tex]
[tex]1-2\sen^2 x+\sen x=0[/tex]
Sea [tex]\sen x = y\ \ \ y\in[0, 1][/tex]
[tex]1-2y^2+y=0[/tex]
[tex]2y^2-y-1=0[/tex]
[tex]D=9[/tex]
[tex]y_1=1\in [0, \pi][/tex]
[tex]y_2=-\frac{1}{2}\notin [0, \pi][/tex]
[tex]\sen x=1[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\in [0, \pi][/tex]


Caso 2 [tex]\sen x < 0 \Rightarrow x \in (\pi, 2\pi)[/tex]
[tex]|\sen x| = -\sen x[/tex]
[tex]\cos2x-\sen x=0[/tex]
[tex]1-2\sen^2 x-\sen x=0[/tex]
Sea [tex]\sen x = y\ \ \ y\in[-1, 0][/tex]
[tex]1-2y^2-y=0[/tex]
[tex]2y^2+y-1=0[/tex]
[tex]D=9[/tex]
[tex]y_1=-1\in [-1, 0][/tex]
[tex]y_2=\frac{1}{2}\notin [-1, 0][/tex]
[tex]\sen x=-1[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\in [0, \pi][/tex]

Respuesta: [tex]-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

Solución:
[tex]\sen^4x+\cos^4x=\frac{5}{8}[/tex]
[tex](\sen^2x)^2+\cos^4x=\frac{5}{8}[/tex]
[tex](1-\cos^2x)^2+\cos^4x=\frac{5}{8}[/tex]

Sea [tex]\cos^2 x = y, \ \ y\in[0, 1][/tex]

[tex](1-y)^2+y^2=\frac{5}{8}[/tex]
[tex]1-2y +y^2+y^2=\frac{5}{8}[/tex]
[tex]2y^2-2y+1-\frac{5}{8}=0[/tex]
[tex]2y^2-2y+\frac{3}{8}=0[/tex]
[tex]16y^2-16y+3=0[/tex]
[tex]D=64[/tex]
[tex]y_1=\frac{3}{4} \in [0, 1][/tex]

[tex]y_2=\frac{1}{4} \in [0, 1][/tex]


Caso 1 [tex]y=\frac{3}{4}[/tex]

[tex]\cos^2x=\frac{3}{4}[/tex]

[tex]|\cos x|=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]\cos x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]


[tex]\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x=\frac{\pi}{6}[/tex]

[tex]\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x = \frac{5\pi}{6}[/tex]


Caso 2 [tex]y=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]\cos^2x=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]|\cos x|=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos x=\pm\frac{1}{2}[/tex]


[tex]\cos x = \frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]\cos x = -\frac{1}{2}, x = \frac{2\pi}{3}[/tex]


Respuesta: [tex]\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}[/tex]

Solución:
[tex]\sen^3x-3\sen^2 x+3\sen x=1[/tex]

Sea [tex]\sen x = y, y\in[-1,1][/tex]

[tex]y^3-3y^2+3y=1[/tex]
[tex]y^3-3y^2+3y-1=0[/tex]
[tex]y^3-1-3y^2+3y=0[/tex]
[tex](y^3-1)-3y(y-1)=0[/tex]
[tex](y-1)(y^2+y+1)-3y(y-1)=0[/tex]
[tex](y-1)(y^2+y+1-3y)=0[/tex]
[tex](y-1)(y^2-2y+1)=0[/tex]
[tex](y-1)(y-1)^2=0[/tex]
[tex](y-1)^3=0[/tex]
[tex]y-1=0[/tex]
[tex]y=1[/tex]

[tex]\sen x= 1[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]

Solución:
[tex](\cos2x-1)\cot^2x=-3\sen x[/tex]

[tex](2\cos^2x-1-1)\frac{\cos^2x}{\sen^2x}=-3\sen x[/tex]

[tex]-2(1-\cos^2x)\frac{\cos^2x}{\sen^2x}=-3\sen x[/tex]

[tex]2(1-\cos^2x)\frac{\cos^2x}{\sen^2x}=3\sen x[/tex]

[tex]2\sen^2x\frac{\cos^2x}{\sen^2x}=3\sen x[/tex]

[tex]2\cos^2x=3\sen x[/tex]
[tex]2(1-\sen^2x)=3\sen x[/tex]

Sea [tex]\sen x = y, \ \ y \in [-1, 1][/tex]

[tex]2(1-y^2)=3y[/tex]
[tex]2-2y^2=3y[/tex]
[tex]-2y^2-3y+2=0[/tex]
[tex]2y^2+3y-2=0[/tex]
[tex]D=25[/tex]
[tex]y_1=-2\notin[-1,1][/tex]
[tex]y_2=\frac{1}{2}\in[1,1][/tex]

[tex]\sen x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]x_1=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]x_2=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}[/tex]

Solución:
[tex]3\cos16x+8\sen^22x\cdot \cos^22x-5=0[/tex]
[tex]3\cos16x+2\cdot 2^2\sen^22x\cdot \cos^22x-5=0[/tex]
[tex]3\cos16x+2(2\sen2x\cdot \cos2x)^2-5=0[/tex]
[tex]3\cos16x+2(\sen4x)^2-5=0[/tex]
[tex]3(2\cos^28x-1)+2\sen^24x-5=0[/tex]
[tex]6\cos^28x-3+2\sen^24x-5=0[/tex]
[tex]6\cos^28x+2\sen^24x-8=0[/tex]
[tex]3\cos^28x+\sen^24x-4=0[/tex]
[tex]3(\cos8x)^2+\sen^24x-4=0[/tex]
[tex]3(2\cos^24x-1)^2+\sen^24x-4=0[/tex]
[tex]3(2\cos^24x-1)^2+(1-\cos^24x)-4=0[/tex]

Sea [tex]\cos^24x=y[/tex]
[tex]cos4x\in[-1,1][/tex]
pero [tex]y\in[0,1][/tex]

[tex]3(2y-1)^2+(1-y)-4=0[/tex]
[tex]3(4y^2-4y+1)-y-3=0[/tex]
[tex]12y^2-12y+3-y-3=0[/tex]
[tex]12y^2-13y=0[/tex]
[tex]y(12y-13)=0[/tex]
[tex]y_1=0\in[0,1][/tex]
[tex]y_1=\frac{13}{12}\notin[0,1][/tex]

[tex]\cos^24x=0[/tex]
[tex]\cos4x=0[/tex]
[tex]4x=\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{8}[/tex]

Solución:
[tex]\sen^2x-3\sen x\cos x+2\cos^2x=0[/tex]

Supongamos que [tex]\sen x = 0 \Rightarrow \cos x = 1[/tex]

[tex]0^2+3\cdot0\cdot 1+2\cdot 1^2=0[/tex]
[tex]2=0 \Rightarrow \sen x \ne 0[/tex]

[tex]\sen^2x-3\sen x\cos x+2\cos^2x=0 \ \ \ /\div \sen^2x\ne0[/tex]

[tex]\frac{\sen^2x}{\sen^2x}-\frac{3\sen x\cos x}{\sen^2x}+\frac{2\cos^2x}{\sen^2x}=0[/tex]

[tex]1-\frac{3\cos x}{\sen x}+2\left(\frac{\cos x}{\sen x}\right)^2=0[/tex]

[tex]1-3\cot x+2\cot^2x = 0[/tex]

Sea [tex]\cot x = y[/tex]
[tex]2y^2-3y+1=0[/tex]
[tex]D=1[/tex]
[tex]y_1=1[/tex]
[tex]y_2=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\cot x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\cot x=\frac{1}{2} \Rightarrow x \ne [0, \frac{\pi}{2}][/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

Solución:
Supongamos que [tex]\sen x = 0 \Rightarrow \cos x = 1[/tex]
[tex]0^2-(\sqrt{3}+1)\cdot0\cdot1+\sqrt{3}\cdot1^2=\sqrt{3}\ne0 \Rightarrow \sen x \ne 0[/tex]

[tex]\sen^2x-(\sqrt{3}+1)\sen x \cos x +\sqrt{3}\cos^2x=0 \ \ \ /\div \sen^2x[/tex]

[tex]\frac{\sen^2x}{\sen^2x}-\frac{(\sqrt{3}+1)\sen x \cos x}{\sen^2x} +\frac{\sqrt{3}\cos^2x}{\sen^2x}=0[/tex]

[tex]1-(\sqrt{3}+1)\frac{\cos x}{\sen x}+\frac{\sqrt{3}\cos^2x}{\sen^2x}=0[/tex]

[tex]1-(\sqrt{3}+1)\frac{\cos x}{\sen x}+\sqrt{3}\left(\frac{\cos x}{\sen x}\right)^2=0[/tex]

[tex]1-(\sqrt{3}+1)\cot x+\sqrt{3}\cot^2x=0[/tex]

Sea [tex]\cot x=y[/tex]

[tex]1-(\sqrt{3}+1)y+\sqrt{3}y^2=0[/tex]
[tex]\sqrt{3}y^2-(\sqrt{3}+1)y+1=0[/tex]
[tex]D=(\sqrt{3}+1)^2-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1^2=(\sqrt{3}-1)^2[/tex]
[tex]y_{1,2}=\frac{\sqrt{3}+1\pm(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}}[/tex]
[tex]y_1=1[/tex]
[tex]y_2=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[tex]\cot x = 1[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]\cot x = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}[/tex]

Solución:
[tex]a = 1[/tex]
[tex]b=1[/tex]
[tex]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]\cos x+ \sen x = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ /\div \sqrt{2}[/tex]

[tex]\frac{\cos x}{\sqrt{2}}+ \frac{\sen x}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}[/tex]

[tex]\frac{\cos x}{\sqrt{2}}+ \frac{\sen x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{\cos x \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}+ \frac{\sen x\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2}\cos x}{2}+ \frac{\sqrt{2}\sen x}{2} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+ \frac{\sqrt{2}}{2}\sen x = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos\frac{\pi}{4}\cos x+ \sen\frac{\pi}{4}\sen x = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos x\cos\frac{\pi}{4}+ \sen x\sen\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}[/tex]

Pero [tex]\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]x = \frac{7\pi}{12}[/tex]

Solución:
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2[/tex]

[tex]\sen 2x-\sqrt{3}\cos 2x=-\sqrt{3}[/tex]

[tex]\frac{\sen 2x}{2}-\frac{\sqrt{3}\cos 2x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\sen 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\cos\frac{\pi}{3}\sen 2x-\sen\frac{\pi}{3}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sen 2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos 2x\sen\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sen (2x-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]\sen\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sen\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]x=\alpha+2k\pi[/tex]
[tex]x=\pi-\alpha+2k\pi[/tex]

[tex]2x-\frac{\pi}{3}=\alpha+2k\pi \Rightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow [/tex]

[tex]2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow x=k\pi[/tex]

[tex]2x-\frac{\pi}{3} = \pi-\alpha +2k\pi \Rightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow[/tex]

[tex]2x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{6}+k\pi[/tex]

Respuesta:

[tex]x=k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{5\pi}{6}+k\pi[/tex]

Solución:
[tex]\sen 2x-\cos x=0[/tex]
[tex]2\sen x\cos x-\cos x=0[/tex]
[tex]\cos x(2\sen x-1)=0[/tex]

[tex]\cos x = 0[/tex]
[tex]x = \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]

[tex]2\sen x-1 = 0[/tex]
[tex]2\sen x = 1[/tex]
[tex]\sen x = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\sen \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]x_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]

[tex]x_2=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]


Respuesta:
[tex]\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]

Solución:
[tex]\sen 3x =2\sen x[/tex]

[tex]3\sen x-4\sen^3x =2\sen x[/tex]

[tex]\sen x-4\sen^3x =0[/tex]

[tex]\sen x(1-4\sen^2x) =0[/tex]

[tex]\sen x(1-2\sen x)(1+2\sen x) =0[/tex]

1) [tex]\sen x = 0 \Leftrightarrow x=\pi[/tex]


2) [tex]1-2\sen x=0[/tex]
[tex]2\sen x = 1[/tex]
[tex]\sen x = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}[/tex]


3) [tex]1+2\sen x=0[/tex]
[tex]2\sen x = -1[/tex]
[tex]\sen x = -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}[/tex]
[tex]x=\pi-(-\frac{\pi}{6})=\frac{7\pi}{6}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \pi,\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}[/tex]

Solución:
[tex]\sen x+\sen 3x=\sen 2x+\sen 4x[/tex]

[tex]\sen 3x+\sen x=\sen 4x+\sen 2x[/tex]

[tex]2\sen\frac{ 3x+x}{2}\cdot\cos \frac{3x-x}{2}=2\sen\frac{4x+2x}{2}\cdot\cos \frac{4x-2x}{2}[/tex]

[tex]2\sen2x\cdot\cos x=2\sen3x\cdot\cos x[/tex]

[tex]\sen2x\cdot\cos x=\sen3x\cdot\cos x[/tex]

[tex]\sen2x\cdot\cos x-\sen3x\cdot\cos x=0[/tex]

[tex]\cos x(\sen2x-\sen3x)=0[/tex]

[tex]-\cos x(\sen3x-\sen2x)=0[/tex]

[tex]\cos x(\sen3x-\sen2x)=0[/tex]

[tex]\cos x(2\sen\frac{3x-2x}{2}\cdot\cos\frac{3x+2x}{2})=0[/tex]

[tex]\cos x(2\sen\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{5x}{2})=0[/tex]

[tex]\cos x\cdot\sen\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{5x}{2}=0[/tex]

[tex]\cos x = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]\sen \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi \Rightarrow x=2\pi \notin [0, \pi][/tex]

[tex]\cos\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{2}[/tex]

Solución:
[tex]\cos x + \cos 2x+\cos 3x = 0[/tex]

[tex](\cos 3x + \cos x) + \cos 2x = 0[/tex]

[tex]2\cos\frac{3x+x}{2}\cdot \cos\frac{3x-x}{2} + \cos 2x = 0[/tex]

[tex]2\cos2x\cdot \cos x + \cos 2x = 0[/tex]

[tex]\cos2x(2\cos x + 1) = 0[/tex]

1) [tex]\cos 2x = 0[/tex]

[tex]2x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

[tex]x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]


2) [tex]2\cos x + 1=0[/tex]

[tex]2\cos x=-1[/tex]

[tex]\cos x = -\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/tex]

Respuesta: [tex]\pm\frac{\pi}{4}+k\pi, \pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/tex]

Solución:
[tex](\sen 4x+\sen20x)-\sen12x=0[/tex]

[tex]2\sen\frac{20x+4x}{2}\cos\frac{20x-4x}{2}-\sen12x=0[/tex]

[tex]2\sen12x\cos8x-\sen12x=0[/tex]

[tex]\sen12x(2\cos8x-1)=0[/tex]

[tex]\sen12x=0[/tex]
[tex]\sen 0 = 0[/tex]
[tex]12x=0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{6}[/tex]

[tex]12x=\pi-0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}[/tex]


[tex]2\cos8x-1=0[/tex]

[tex]2\cos8x=1[/tex]

[tex]\cos8x=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]8x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]

[tex]x=\pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}[/tex]


Respuesta: [tex]\frac{k\pi}{6}, \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}, \pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}[/tex]

Solución:
[tex]\sen 3x\in[-1, 1][/tex]
[tex]\cos(x-\frac{\pi}{6})\in[-1, 1]\Rightarrow[/tex]

[tex]\sen 3x+\cos(x-\frac{\pi}{6})=2[/tex] - esto solo es posible cuando

[tex]\sen 3x=1[/tex] y [tex]\cos(x-\frac{\pi}{6})=1[/tex]

[tex]\sen 3x=1[/tex]
[tex]\sen\frac{\pi}{2}=1[/tex]
[tex]3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi[/tex]

[tex]3x=\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi[/tex]


[tex]\cos(x-\frac{\pi}{6})=1[/tex]
[tex]\cos 0 = 1[/tex]
[tex]x-\frac{\pi}{6}=\pm0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi[/tex]

Respuesta: [tex]\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi[/tex]

Solución:
La ecuación significa [tex]\operatorname{sen} x=\frac{1}{2}[/tex] o [tex]\operatorname{sen} x=-\frac{1}{2}[/tex]. La primera da [tex]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex], la segunda [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex]. Juntas, estas cuatro series dan
[tex]x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Otra forma:
[tex]\operatorname{sen} ^2 x=\frac{1}{4}\iff\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]

Solución:
Como [tex]\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}[/tex] y el período de la tangente es [tex]\pi[/tex]:
[tex]\frac{\pi}{6}-3x=\frac{\pi}{3}+k\pi\iff-3x=\frac{\pi}{6}+k\pi\iff x=-\frac{\pi}{18}-\frac{k\pi}{3}[/tex]
Cuando [tex]k[/tex] recorre todos los enteros, también lo hace [tex]-k[/tex], así que [tex]x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
[tex]4x=\frac{\pi}{3}+k\pi\iff x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{4}=\frac{(1+3k)\pi}{12}[/tex]
La condición [tex]0\lt\frac{(1+3k)\pi}{12}\le 2\pi[/tex] significa [tex]0\lt 1+3k\le 24[/tex], es decir, [tex]k=0; 1; \dots; 7[/tex]. Por lo tanto, hay [tex]8[/tex] raíces.

Solución:
Sea [tex]\alpha=\operatorname{arcsen} \frac{1}{4}[/tex]. De [tex]\operatorname{sen} 3x=\operatorname{sen} \alpha[/tex]:
[tex]3x=\alpha+2k\pi; \quad 3x=\pi-\alpha+2k\pi[/tex]
Dividimos entre [tex]3[/tex] (el período también se divide):
[tex]x=\frac{1}{3}\operatorname{arcsen} \frac{1}{4}+\frac{2k\pi}{3}; \quad x=\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\operatorname{arcsen} \frac{1}{4}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]

Solución:
La tangente tiene período [tex]\pi[/tex], así que [tex]\tan a=\tan b[/tex] (ambas definidas) significa [tex]a=b+k\pi[/tex]:
[tex]2x+1=4x-3+k\pi\iff 2x=4-k\pi\iff x=2-\frac{k\pi}{2}[/tex]
Sustituyendo [tex]-k[/tex] por [tex]k[/tex]: [tex]x=2+\frac{k\pi}{2}[/tex]. Comprobación del dominio: para estos [tex]x[/tex] se tiene [tex]2x+1=5+k\pi[/tex] y [tex]4x-3=5+2k\pi[/tex], cuyos cosenos son [tex]\pm\cos 5\ne 0[/tex]. Así que todos estos valores son raíces.

Solución:
Dominio: [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Un producto es cero cuando uno de los factores es cero. [tex]\tan x=0[/tex] da [tex]x=k\pi[/tex]; [tex]\operatorname{sen} x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] da [tex]x=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex]. Para todos estos valores [tex]\cos x\ne 0[/tex], así que todos son raíces.

Solución:
Como [tex]1-\cos x=2\operatorname{sen} ^2\frac{x}{2}[/tex], la ecuación se convierte en
[tex]2\operatorname{sen} \frac{x}{2}\left(\operatorname{sen} \frac{x}{2}-1\right)=0[/tex]
Si [tex]\operatorname{sen} \frac{x}{2}=0[/tex], entonces [tex]\frac{x}{2}=k\pi[/tex] y [tex]x=2k\pi[/tex]. Si [tex]\operatorname{sen} \frac{x}{2}=1[/tex], entonces [tex]\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\pi+4k\pi[/tex].

Solución:
Usamos [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex] y las fórmulas de suma y diferencia de cosenos:
[tex]\cos\left(x-\frac{\pi}{8}\right)-\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)=2\operatorname{sen} x\operatorname{sen} \frac{\pi}{8}; \quad\cos\left(x-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)=2\cos x\cos\frac{\pi}{8}[/tex]
Su producto es
[tex]4\operatorname{sen} x\cos x\operatorname{sen} \frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=\operatorname{sen} 2x\operatorname{sen} \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen} 2x[/tex]
Por lo tanto, [tex]\operatorname{sen} 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]: [tex]2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] o [tex]2x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/tex], es decir, [tex]x=\frac{\pi}{8}+k\pi[/tex] o [tex]x=\frac{3\pi}{8}+k\pi[/tex].

Solución:
Usamos [tex]\operatorname{sen} 3x=3\operatorname{sen} x-4\operatorname{sen} ^3 x[/tex] y ponemos [tex]t=\operatorname{sen} x\in\left[-1; 1\right][/tex]:
[tex]4t^3-19t+15=0\iff(t-1)(2t-3)(2t+5)=0[/tex]
Las raíces [tex]\frac{3}{2}[/tex] y [tex]-\frac{5}{2}[/tex] no están en [tex]\left[-1; 1\right][/tex]. Por lo tanto, [tex]\operatorname{sen} x=1[/tex] y [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex].

Solución:
Reducimos el grado:
[tex]\frac{1+\cos 12x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}\iff\cos 12x=\cos 6x\iff 12x=\pm 6x+2k\pi[/tex]
Se obtiene [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex] o [tex]x=\frac{k\pi}{9}[/tex]. La primera serie está contenida en la segunda, porque [tex]\frac{k\pi}{3}=\frac{3k\pi}{9}[/tex]. Por lo tanto, [tex]x=\frac{k\pi}{9},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].