Triángulos semejantes - problemas y soluciones

Solución:
La bisectriz divide el lado opuesto en la razón de los lados adyacentes: [tex]\frac{CL}{BL}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/tex].

Solución:
La razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza: [tex]k=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}[/tex]. El tercer lado del primer triángulo es [tex]36-9-15=12[/tex].
Así, los lados del segundo son [tex]9 \times \frac{5}{3}=15;\ 12 \times \frac{5}{3}=20;\ 15 \times \frac{5}{3}=25[/tex].

Solución:
La razón de las áreas de triángulos semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{36}{25}[/tex].
Por lo tanto, [tex]S_2=108 \times \frac{25}{36}=75[/tex].

Solución:
Los ángulos de lados respectivamente paralelos son iguales o suplementarios. Si dos pares de ángulos correspondientes fueran suplementarios, esos cuatro ángulos sumarían un ángulo completo, lo cual es imposible, porque dos ángulos de un triángulo suman menos que un ángulo llano.
Así, al menos dos pares de ángulos son iguales, por ejemplo [tex]\angle A=\angle A_1[/tex] y [tex]\angle B=\angle B_1[/tex], y por el criterio AA [tex]\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1[/tex].

Solución:
Los triángulos rectángulos tienen el ángulo común en [tex]B[/tex], por eso [tex]\triangle CBD \sim \triangle ABC[/tex], de donde [tex]\frac{BD}{CB}=\frac{CB}{AB}[/tex].
Así, [tex]BD=\frac{CB^2}{AB}=\frac{144}{18}=8[/tex] y [tex]AD=18-8=10[/tex].

Solución:
Como [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\triangle EDC \sim \triangle EAB[/tex], por eso [tex]\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{EB}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{13}[/tex].
De [tex]\frac{ED}{ED+8}=\frac{5}{13}[/tex] se obtiene [tex]ED=5[/tex], y de [tex]\frac{EC}{EC+10}=\frac{5}{13}[/tex], [tex]EC=\frac{25}{4}[/tex].

Solución:
El lado superior del cuadrado corta un triángulo semejante al dado, de base [tex]x[/tex] y altura [tex]9-x[/tex], por eso [tex]\frac{x}{18}=\frac{9-x}{9}[/tex], es decir, [tex]9x=162-18x[/tex] y [tex]x=6[/tex].

Solución:
Sea [tex]M[/tex] el punto medio de [tex]AB[/tex], [tex]CH[/tex] la altura y [tex]K[/tex] el pie de la perpendicular desde [tex]G[/tex] a [tex]AB[/tex]. El baricentro está en la mediana [tex]CM[/tex] y [tex]MG=\frac{1}{3}MC[/tex]. Como [tex]GK \parallel CH[/tex], los triángulos rectángulos con vértice [tex]M[/tex] son semejantes, por eso [tex]\frac{GK}{CH}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}[/tex].
Por lo tanto, [tex]GK=\frac{12}{3}=4[/tex].

Solución:
Como [tex]PQ \parallel AC[/tex], [tex]\triangle PBQ \sim \triangle ABC[/tex] con razón [tex]\frac{BQ}{BC}=\frac{3}{5}[/tex]. Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón, por eso [tex]P_{PBQ}=\frac{3}{5} \times 35=21[/tex].

Solución:
El doble del área es igual a cada lado por su altura: [tex]a \times h_a=b \times h_b=2S[/tex], por eso [tex]\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{5}{3}[/tex].
Por lo tanto, [tex]a=\frac{5}{8} \times 40=25[/tex].

Solución:
Los lados del [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] son paralelas medias del [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]B_1C_1=\frac{BC}{2};\ C_1A_1=\frac{CA}{2};\ A_1B_1=\frac{AB}{2}[/tex]. Así, [tex]\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC[/tex] con razón [tex]k=\frac{1}{2}[/tex], y [tex]S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{4} \times 120=30[/tex].

Solución:
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}[/tex]. Sea [tex]S_1=16t;\ S_2=25t[/tex]; entonces [tex]41t=82[/tex], [tex]t=2[/tex] y [tex]S_1=32;\ S_2=50[/tex].

Solución:
El baricentro divide la mediana en la razón [tex]2:1[/tex] desde el vértice, por eso [tex]CG=\frac{2}{3}CM[/tex]; además [tex]CP=\frac{1}{2}CM[/tex].
Por lo tanto, [tex]PG=CG-CP=\frac{1}{6}CM[/tex], por eso [tex]CM=30[/tex].

Solución:
Sea [tex]M[/tex] el punto medio de la hipotenusa. La mediana sobre la hipotenusa es la mitad de esta: [tex]CM=\frac{AB}{2}=9[/tex]. El baricentro divide la mediana en la razón [tex]2:1[/tex] desde el vértice, por eso [tex]GC=\frac{2}{3}CM=6[/tex].

Solución:
Por el teorema de la bisectriz [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=2[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}[/tex], por eso [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex].

Solución:
Sean [tex]K[/tex] y [tex]H[/tex] los pies de las perpendiculares desde [tex]D[/tex] y [tex]B[/tex] a [tex]AC[/tex]. Entonces [tex]DK \parallel BH[/tex], por eso [tex]\triangle ADK \sim \triangle ABH[/tex] y [tex]\frac{DK}{BH}=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex].

Solución:
Sean las paralelas medias paralelas a los lados correspondientes tales que [tex]m_1=n_1;\ m_2=n_2;\ m_3=n_3[/tex]. Cada paralela media es la mitad del lado al que es paralela, por eso [tex]BC=2m_1=2n_1=B_1C_1[/tex] y análogamente [tex]CA=C_1A_1;\ AB=A_1B_1[/tex].
Por el criterio LLL [tex]\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1[/tex].