Circunferencia: cuerdas y tangentes - problemas y soluciones

Solución:
Sea [tex]M[/tex] el pie de la perpendicular desde [tex]O[/tex] a la cuerda: [tex]OM \perp AB[/tex]. La perpendicular desde el centro biseca la cuerda, por eso [tex]AM=\frac{AB}{2}=8[/tex].
Del [tex]\triangle OAM[/tex] rectángulo: [tex]OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{100-64}=6[/tex].

Solución:
Sea [tex]AM=3k;\ BM=2k[/tex]. Por el teorema de las cuerdas que se cortan [tex]AM \times BM=CM \times DM[/tex], por eso [tex]6k^2=96[/tex] y [tex]k=4[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=5k=20[/tex].

Solución:
[tex]BA=BD+DA=26[/tex]. Por el teorema de la tangente y la secante [tex]BC^2=BD \times BA=8 \times 26=208[/tex], por eso [tex]BC=\sqrt{208}=4\sqrt{13}[/tex].

Solución:
La distancia entre los centros es [tex]O_1O_2=50+32=82[/tex]. Los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a la tangente; una paralela a la tangente por el centro menor da un triángulo rectángulo de hipotenusa [tex]O_1O_2[/tex] y cateto igual a la diferencia de los radios, por eso [tex]T_1T_2=\sqrt{O_1O_2^2-(50-32)^2}=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6400}=80[/tex].

Solución:
La recta de los centros es la mediatriz de la cuerda común, y la mitad de la cuerda es [tex]\frac{24}{2}=12[/tex]. Las distancias de los centros a la cuerda son [tex]d_1=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex] y [tex]d_2=\sqrt{15^2-12^2}=9[/tex].
Los centros están en lados opuestos de la cuerda, por eso [tex]O_1O_2=5+9=14[/tex].

Solución:
Sean [tex]M[/tex] y [tex]N[/tex] los pies de las perpendiculares desde [tex]O[/tex]: [tex]OM \perp AB;\ ON \perp CD[/tex], y [tex]OM=ON[/tex]. La perpendicular desde el centro biseca la cuerda, por eso [tex]AM=\frac{AB}{2};\ CN=\frac{CD}{2}[/tex].
Los triángulos rectángulos tienen [tex]OA=OC[/tex] (radios) y [tex]OM=ON[/tex], por eso [tex]\triangle OAM \cong \triangle OCN[/tex] y [tex]AM=CN[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=CD[/tex].

Solución:
El ángulo que abarca el diámetro [tex]AB[/tex] es recto: [tex]\angle AMB=90^\circ[/tex], por eso [tex]BM \perp AM[/tex].
Como [tex]AM \parallel BN[/tex], también [tex]BM \perp BN[/tex], es decir, [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex].
Así, el ángulo inscrito [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex] abarca la cuerda [tex]MN[/tex], por eso [tex]MN[/tex] es un diámetro.

Solución:
[tex]O_1A=O_1B[/tex] (radios de [tex]k_1[/tex]), por eso [tex]O_1[/tex] está en la mediatriz de [tex]AB[/tex].
Análogamente [tex]O_2A=O_2B[/tex], por eso [tex]O_2[/tex] también está en ella.
Dos puntos distintos determinan una recta, por eso [tex]O_1O_2[/tex] es la mediatriz de [tex]AB[/tex].

Solución:
Sean [tex]R=5k;\ r=3k[/tex]. En la tangencia interior la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios: [tex]O_1O_2=R-r=2k[/tex].
Así, [tex]2k=14[/tex], [tex]k=7[/tex] y [tex]R=35;\ r=21[/tex].

Solución:
El diámetro mide [tex]8+3=11[/tex], por eso [tex]R=\frac{11}{2}[/tex].
La cuerda corta al diámetro en [tex]M[/tex], que está a distancia [tex]3[/tex] de un extremo del diámetro, por eso [tex]OM=R-3=\frac{5}{2}[/tex].

Solución:
[tex]r_1+r_2=5+3=8[/tex], por eso [tex]O_1O_2=r_1+r_2[/tex]: las circunferencias son tangentes exteriormente.
Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen dos tangentes comunes exteriores y una tangente común en el punto de contacto, en total [tex]3[/tex].

Solución:
Trazamos las perpendiculares [tex]AA_1 \perp a;\ BB_1 \perp a;\ OO_1 \perp a[/tex]. Entonces [tex]AA_1B_1B[/tex] es un trapecio rectángulo y [tex]OO_1[/tex] es su base media, porque [tex]O[/tex] es el punto medio de [tex]AB[/tex].
Por lo tanto, [tex]OO_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+11}{2}=7[/tex].

Solución:
Como [tex]AM \perp MB[/tex], [tex]AB[/tex] es un diámetro y [tex]O[/tex] es su punto medio. Sean [tex]K[/tex] y [tex]L[/tex] los puntos medios de [tex]AM[/tex] y [tex]MB[/tex]; [tex]OK;\ OL[/tex] son paralelas medias del [tex]\triangle AMB[/tex], por eso [tex]OK \parallel MB;\ OL \parallel AM[/tex], y son perpendiculares a las cuerdas.
Por lo tanto, [tex]OK=\frac{MB}{2}=2;\ OL=\frac{AM}{2}=\frac{3}{2}[/tex].

Solución:
El ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo inscrito sobre el mismo arco. Para la cuerda [tex]BC[/tex]: [tex]\angle PBC=\angle BAC=60^\circ[/tex] y [tex]\angle PCB=\angle BAC=60^\circ[/tex].
Entonces [tex]\angle BPC=60^\circ[/tex], por eso todos los ángulos del [tex]\triangle BPC[/tex] son iguales y es equilátero.

Solución:
La simetría respecto a la recta de los centros [tex]O_1O_2[/tex] intercambia las dos tangentes comunes exteriores, por eso intercambia los puntos de tangencia de cada circunferencia. Luego [tex]O_1O_2[/tex] es la mediatriz de los segmentos que los unen: [tex]T_1T_1' \perp O_1O_2[/tex] y [tex]T_2T_2' \perp O_1O_2[/tex].
Así, [tex]T_1T_1' \parallel T_2T_2'[/tex], y como los radios son distintos estos segmentos tienen longitudes distintas; por lo tanto [tex]T_1T_1'T_2'T_2[/tex] es un trapecio (isósceles, pues [tex]T_1T_2=T_1'T_2'[/tex]).

Solución:
Sea [tex]H[/tex] el pie de la perpendicular desde [tex]O[/tex] a [tex]l[/tex]: [tex]OH \perp l[/tex]. La perpendicular desde el centro biseca toda cuerda sobre [tex]l[/tex], por eso [tex]HA=HB[/tex] y [tex]HC=HD[/tex].
Por lo tanto, [tex]AC=HA-HC=HB-HD=BD[/tex].

Solución:
Comparamos el radio con la distancia [tex]d=8[/tex] del centro a la recta. Para [tex]R=6 \lt d[/tex] la recta no corta la circunferencia: [tex]0[/tex] puntos comunes; para [tex]R=8=d[/tex] es tangente: [tex]1[/tex] punto común; para [tex]R=10 \gt d[/tex] es secante: [tex]2[/tex] puntos comunes.

Solución:
El radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: [tex]OA \perp CA[/tex], por eso [tex]CA=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}[/tex]. Los segmentos tangentes desde un punto son iguales: [tex]CA=CB[/tex].
Además [tex]\sen \angle OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}[/tex], por eso [tex]\angle OCA=30^\circ;\ \angle ACB=60^\circ[/tex]; un triángulo isósceles con ese ángulo en el vértice es equilátero: [tex]AB=CA=CB=2\sqrt{3}[/tex].

Solución:
En una hora la punta recorre una circunferencia completa de radio [tex]10[/tex] cm: [tex]C=2\pi r=2\pi \times 10=20\pi[/tex] cm.
En [tex]10[/tex] horas: [tex]10 \times 20\pi=200\pi[/tex] cm.

Solución:
Como [tex]AO \lt 6[/tex], el punto [tex]A[/tex] es interior a [tex]k(O;6)[/tex], por eso la tangencia es interior y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Si [tex]k'(A;r)[/tex] está dentro de [tex]k(O;6)[/tex]: [tex]r=6-3=3[/tex]. Si [tex]k(O;6)[/tex] está dentro de [tex]k'(A;r)[/tex]: [tex]r=6+3=9[/tex].

Solución:
Sean [tex]K;\ L[/tex] los pies de las perpendiculares desde [tex]O[/tex]: [tex]OK \perp AB;\ OL \perp CD[/tex]. Las cuerdas iguales equidistan del centro, por eso [tex]OK=OL[/tex].
Los triángulos rectángulos con hipotenusa común [tex]MO[/tex] y catetos [tex]OK=OL[/tex] son congruentes: [tex]\triangle OKM \cong \triangle OLM[/tex], por eso [tex]\angle OMK=\angle OML[/tex].