Problemas de geometría analítica plana - problemas y soluciones

Solución:
La distancia entre dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ viene dada por la fórmula:
$\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$

[tex]AB=\sqrt{(5-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/tex]

Solución:
[tex]y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\rightarrow y=\frac{7-(-3)}{0-5}=\frac{10}{-5}=-2[/tex]

Solución:
La pendiente de una recta que es paralela al eje x es cero. Asi que
[tex]y+1=0(x-4)\rightarrow y+1=0\rightarrow y=-1[/tex]

Solución:
Observe que la línea pasa por (0,-4), (2,0).
Por lo tanto:
[tex]\frac{x}{2}+\frac{y}{-4}=1\rightarrow 2x-y=4[/tex]

Solución:
La distancia entre el punto $A (x_1, y_1)$ y
línea $L: Ax + By + C = 0$ viene dada por la fórmula:

[tex]d=\frac{|3\times 2-4\times (-3)+2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|6+12+2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|20|}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4[/tex]

Solución:
[tex]A=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\rightarrow S=\frac{1}{2}|0\times(0-3)+5\times(3-(-3))+0\times((-3)-0)|= \frac{30}{2}=15[/tex]

Solución:
[tex]x=-4 \rightarrow x+4=0 \rightarrow A=1, B=0, C=4[/tex]
[tex]7=\frac{|1\times(2a-3)+0\times 5+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|2a-3+4|}{\sqrt{1}} =\frac{|2a+1|}{1}=|2a+1|\rightarrow[/tex]
[tex]|2a+1|=7 \rightarrow \begin{cases} 2a+1=7 \\ 2a+1=-7 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 2a=6 \\ 2a=-8 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} a=3 \\ a=-4 \end{cases}[/tex]

Solución:
[tex]D_1:x-y=1[/tex]
[tex]D_2=2x+y=5[/tex]
[tex]\rightarrow 3x=6 \rightarrow x=2, y=1[/tex]
[tex](2m-5)x-my=3\rightarrow (2m-5)2-m=3 \rightarrow 4m-10-m=3 \rightarrow 3m=13 \rightarrow m=\frac{13}{3}[/tex]