Expresiones e identidades trigonométricas

Problemas de expresiones trigonométricas: valores exactos, simplificación con las fórmulas de suma, del ángulo doble y de transformación de sumas en productos, valor de una expresión conocida tan α, identidades condicionales en un triángulo y demostración de identidades. Todos los problemas tienen solución paso a paso.

Problema 1

Demuestra que el valor de la expresión [tex]2\operatorname{sen} ^4\alpha+2\cos^4\alpha+\operatorname{sen} ^2 2\alpha[/tex] no depende de [tex]\alpha[/tex] y hállalo.

Problema 2

Calcula [tex](\operatorname{sen} \alpha-\cos\alpha)(\operatorname{sen} \beta-\cos\beta)[/tex] si [tex]\operatorname{sen} (\alpha+\beta)=0{,} 8[/tex] y [tex]\cos(\alpha-\beta)=0{,} 3[/tex].

[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{11}{10}[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]-\frac{11}{10}[/tex]

Problema 3

Los ángulos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] son tales que [tex]\cos(A-B)=3\cos(A+B)[/tex] y [tex]\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B\ne 0[/tex]. Halla [tex]\cot A\times \cot B[/tex].

Problema 4

Halla el valor de la expresión [tex]\frac{\cos 2\alpha}{1-\operatorname{sen} 2\alpha}[/tex] si [tex]\tan \alpha=\frac{3}{4}[/tex].

Problema 5

Sin usar tablas ni calculadora, calcula [tex]\tan ^2 15^{\circ}+\cot ^2 15^{\circ}[/tex].

Problema 6

Simplifica la expresión [tex]\operatorname{sen} \alpha-2\operatorname{sen} \left(\frac{\alpha}{2}-15^{\circ}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+15^{\circ}\right)[/tex].

[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]2\operatorname{sen} \alpha-\frac{1}{2}[/tex]

Problema 7

Simplifica la expresión [tex]\frac{2\operatorname{sen} \alpha-\operatorname{sen} 2\alpha}{2\operatorname{sen} \alpha+\operatorname{sen} 2\alpha}[/tex].

[tex]\tan \frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\cot ^2\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\tan ^2\alpha[/tex]

[tex]\tan ^2\frac{\alpha}{2}[/tex]

Problema 8

Los cosenos de dos ángulos de un triángulo son [tex]\frac{3}{5}[/tex] y [tex]\frac{5}{13}[/tex]. Halla el seno del tercer ángulo.

[tex]\frac{33}{65}[/tex]

[tex]\frac{56}{65}[/tex]

[tex]\frac{16}{65}[/tex]

[tex]\frac{63}{65}[/tex]

Problema 9

Halla el valor de la expresión [tex]\cos(x+30^{\circ})\cos(x-30^{\circ})[/tex] si [tex]\cos 2x=-\frac{4}{5}[/tex].

[tex]-\frac{13}{20}[/tex]

[tex]\frac{13}{20}[/tex]

[tex]-\frac{3}{10}[/tex]

[tex]-\frac{3}{20}[/tex]

Problema 10

Calcula el valor de la expresión [tex]\frac{\cot 32^{\circ}\tan 77^{\circ}-1}{\tan 58^{\circ}+\cot 13^{\circ}}[/tex].

Problema 11

Halla el valor de la expresión [tex]\operatorname{sen} ^4\alpha+\cos^4\alpha[/tex] si [tex]\operatorname{sen} \alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}[/tex].

[tex]\frac{23}{32}[/tex]

[tex]\frac{55}{64}[/tex]

[tex]\frac{1}{4}[/tex]

[tex]\frac{7}{16}[/tex]

Problema 12

Si [tex]\operatorname{sen} \alpha=-0{,} 8[/tex] y [tex]\alpha\in\left(270^{\circ}; 360^{\circ}\right)[/tex], calcula [tex]\sqrt{5}\operatorname{sen} \frac{\alpha}{2}+3\tan \alpha[/tex].

Problema 13

Si [tex]\frac{1}{1-\operatorname{sen} x}+\frac{1}{1+\operatorname{sen} x}=6[/tex], halla [tex]\tan x[/tex].

[tex]\tan x=\sqrt{2}[/tex]

[tex]\tan x=\pm\sqrt{2}[/tex]

[tex]\tan x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\tan x=\pm\sqrt{3}[/tex]

Correcto:

Incorrecto:

Problemas sin resolver:

Fácil

Normal

Difícil

Expresiones e identidades trigonométricas - problemas y soluciones

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