Expresiones e identidades trigonométricas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\operatorname{sen} x\operatorname{sen} (60^{\circ}-x)\operatorname{sen} (60^{\circ}+x)=\operatorname{sen} x\left(\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}\operatorname{sen} 3x[/tex]
Del mismo modo,
[tex]\cos x\cos(60^{\circ}-x)\cos(60^{\circ}+x)=\frac{1}{4}\cos 3x[/tex]
Así, [tex]\tan x\tan (60^{\circ}-x)\tan (60^{\circ}+x)=\tan 3x[/tex]. Para [tex]x=20^{\circ}[/tex]: [tex]\tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ}\tan 80^{\circ}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}[/tex]. El producto pedido es [tex]\sqrt{3}\times \tan 60^{\circ}=3[/tex].

Solución:
[tex]\tan x+\tan (90^{\circ}-x)=\tan x+\cot x=\frac{2}{\operatorname{sen} 2x}[/tex]
Así, [tex]\tan 9^{\circ}+\tan 81^{\circ}=\frac{2}{\operatorname{sen} 18^{\circ}}[/tex] y [tex]\tan 27^{\circ}+\tan 63^{\circ}=\frac{2}{\operatorname{sen} 54^{\circ}}[/tex]. Como [tex]\operatorname{sen} 54^{\circ}-\operatorname{sen} 18^{\circ}=2\cos 36^{\circ}\operatorname{sen} 18^{\circ}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 54^{\circ}=\cos 36^{\circ}[/tex], la expresión es igual a
[tex]\frac{2}{\operatorname{sen} 18^{\circ}}-\frac{2}{\operatorname{sen} 54^{\circ}}=\frac{2(\operatorname{sen} 54^{\circ}-\operatorname{sen} 18^{\circ})}{\operatorname{sen} 18^{\circ}\operatorname{sen} 54^{\circ}}=\frac{4\cos 36^{\circ}\operatorname{sen} 18^{\circ}}{\operatorname{sen} 18^{\circ}\cos 36^{\circ}}=4[/tex]

Solución:
Como [tex]-\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\frac{5\pi}{7}[/tex], la suma es [tex]S=\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}[/tex]. Multiplicamos por [tex]2\operatorname{sen} \frac{\pi}{7}[/tex] y usamos [tex]2\operatorname{sen} x\cos y=\operatorname{sen} (x+y)+\operatorname{sen} (x-y)[/tex]:
[tex]2\operatorname{sen} \frac{\pi}{7}\times S=\operatorname{sen} \frac{2\pi}{7}+\left(\operatorname{sen} \frac{4\pi}{7}-\operatorname{sen} \frac{2\pi}{7}\right)+\left(\operatorname{sen} \frac{6\pi}{7}-\operatorname{sen} \frac{4\pi}{7}\right)=\operatorname{sen} \frac{6\pi}{7}[/tex]
Como [tex]\operatorname{sen} \frac{6\pi}{7}=\operatorname{sen} \frac{\pi}{7}\ne 0[/tex], se obtiene [tex]S=\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
De las fórmulas del ángulo triple:
[tex]\cos^3\alpha=\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}; \quad\operatorname{sen} ^3\alpha=\frac{3\operatorname{sen} \alpha-\operatorname{sen} 3\alpha}{4}[/tex]
El lado izquierdo queda
[tex]\frac{1}{4}\left(\cos^2 3\alpha-\operatorname{sen} ^2 3\alpha+3(\cos 3\alpha\cos\alpha+\operatorname{sen} 3\alpha\operatorname{sen} \alpha)\right)=\frac{1}{4}(\cos 6\alpha+3\cos 2\alpha)[/tex]
Como [tex]\cos 6\alpha=4\cos^3 2\alpha-3\cos 2\alpha[/tex], esto es igual a [tex]\cos^3 2\alpha[/tex].

Solución:
Como [tex]\cos 84^{\circ}=-\cos 96^{\circ}[/tex], multiplicamos [tex]\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 96^{\circ}[/tex] por [tex]16\operatorname{sen} 12^{\circ}[/tex] y usamos cuatro veces [tex]2\operatorname{sen} x\cos x=\operatorname{sen} 2x[/tex]:
[tex]16\operatorname{sen} 12^{\circ}\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 96^{\circ}=\operatorname{sen} 192^{\circ}=-\operatorname{sen} 12^{\circ}[/tex]
Así, [tex]\cos 12^{\circ}\cos 24^{\circ}\cos 48^{\circ}\cos 84^{\circ}=\frac{1}{16}[/tex]. Del mismo modo [tex]4\operatorname{sen} 36^{\circ}\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}=\operatorname{sen} 144^{\circ}=\operatorname{sen} 36^{\circ}[/tex], así que [tex]\cos 36^{\circ}\cos 72^{\circ}=\frac{1}{4}[/tex]. Con [tex]\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}[/tex] el producto es
[tex]\frac{1}{16}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{128}[/tex]

Solución:
Usamos [tex]\tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}[/tex] con [tex]x=15^{\circ}[/tex], donde [tex]\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex]:
[tex]\tan 7^{\circ}30'=\frac{4-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\left(4-\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}=\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}-8-4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2[/tex]
Por lo tanto, el número es igual a [tex]-2[/tex].

Solución:
Como [tex]\tan (x+120^{\circ})=\tan (x-60^{\circ})[/tex]:
[tex]\tan (x+60^{\circ})+\tan (x-60^{\circ})=\frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos(x+60^{\circ})\cos(x-60^{\circ})}=\frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos^2 x-\frac{3}{4}}=\frac{8\operatorname{sen} x\cos x}{4\cos^2 x-3}[/tex]
Sumando [tex]\tan x[/tex]:
[tex]\frac{\operatorname{sen} x\left(4\cos^2 x-3\right)+8\operatorname{sen} x\cos^2 x}{\cos x\left(4\cos^2 x-3\right)}=\frac{3\operatorname{sen} x\left(4\cos^2 x-1\right)}{\cos 3x}=\frac{3\operatorname{sen} 3x}{\cos 3x}=3\tan 3x[/tex]
porque [tex]\cos 3x=\cos x\left(4\cos^2 x-3\right)[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 3x=\operatorname{sen} x\left(3-4\operatorname{sen} ^2 x\right)=\operatorname{sen} x\left(4\cos^2 x-1\right)[/tex].

Solución:
Con [tex]t=\tan x[/tex] se tiene [tex]\tan 3x=\frac{3t-t^3}{1-3t^2}[/tex]. Para [tex]x=10^{\circ}[/tex], [tex]x=-50^{\circ}[/tex] y [tex]x=70^{\circ}[/tex] se obtiene [tex]\tan 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex], así que [tex]\tan 10^{\circ}[/tex], [tex]-\tan 50^{\circ}[/tex] y [tex]\tan 70^{\circ}[/tex] son las tres raíces distintas de
[tex]\sqrt{3}\left(3t-t^3\right)=1-3t^2\iff t^3-\sqrt{3}t^2-3t+\frac{1}{\sqrt{3}}=0[/tex]
Por las fórmulas de Vieta, [tex]t_1+t_2+t_3=\sqrt{3}[/tex] y [tex]t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-3[/tex], así que
[tex]t_1^2+t_2^2+t_3^2=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\times (-3)=9[/tex]

Solución:
Sean [tex]u=\cos(x+y)[/tex] y [tex]v=\cos(x-y)[/tex]. Entonces
[tex]\operatorname{sen} ^2 x+\operatorname{sen} ^2 y=1-\frac{\cos 2x+\cos 2y}{2}=1-uv=\frac{3}{2}[/tex]
es decir, [tex]uv=-\frac{1}{2}[/tex]. La expresión es igual a
[tex]\left(1-u^2\right)v+\left(1-v^2\right)u=(u+v)(1-uv)=\frac{3}{2}(u+v)[/tex]
De [tex]uv=-\frac{1}{2}[/tex], [tex]|u|\le 1[/tex] y [tex]|v|\le 1[/tex] se deduce [tex]\frac{1}{2}\le|u|\le 1[/tex] y [tex]u+v=u-\frac{1}{2u}[/tex]. Esta función crece en [tex]\left[-1; -\frac{1}{2}\right][/tex] y en [tex]\left[\frac{1}{2}; 1\right][/tex], así que [tex]u+v\le\frac{1}{2}[/tex]. El máximo [tex]\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}[/tex] se alcanza, por ejemplo, en [tex]x=60^{\circ}[/tex], [tex]y=-60^{\circ}[/tex].

Solución:
[tex]\frac{\operatorname{sen} 1^{\circ}}{\operatorname{sen} k^{\circ}\operatorname{sen} (k+1)^{\circ}}=\frac{\operatorname{sen} \left((k+1)^{\circ}-k^{\circ}\right)}{\operatorname{sen} k^{\circ}\operatorname{sen} (k+1)^{\circ}}=\cot k^{\circ}-\cot (k+1)^{\circ}[/tex]
Para [tex]k=91; 93; \dots; 133[/tex] usamos [tex]\operatorname{sen} x=\operatorname{sen} (180^{\circ}-x)[/tex]: el sumando es igual a [tex]\frac{1}{\operatorname{sen} (179-k)^{\circ}\operatorname{sen} (180-k)^{\circ}}[/tex], es decir, son los sumandos con [tex]m=46; 48; \dots; 88[/tex]. Así, la suma contiene [tex]\frac{1}{\operatorname{sen} m^{\circ}\operatorname{sen} (m+1)^{\circ}}[/tex] para todo [tex]m[/tex] de [tex]45[/tex] a [tex]89[/tex], y es telescópica:
[tex]\frac{1}{\operatorname{sen} 1^{\circ}}\left(\cot 45^{\circ}-\cot 90^{\circ}\right)=\frac{1}{\operatorname{sen} 1^{\circ}}[/tex]
Por lo tanto, [tex]\operatorname{sen} n^{\circ}=\operatorname{sen} 1^{\circ}[/tex] y el menor [tex]n[/tex] así es [tex]1[/tex].

Solución:
Todas las tangentes existen, así que no hay ángulo recto, y para [tex]\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}[/tex] se cumple
[tex]\tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma=\tan \alpha\tan \beta\tan \gamma[/tex]
Sean las tangentes los enteros no nulos [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex]. Como máximo un ángulo es obtuso. Si [tex]c\lt 0[/tex], entonces [tex]\alpha+\beta\lt 90^{\circ}[/tex] y [tex]\tan (\alpha+\beta)=\frac{a+b}{1-ab}\gt 0[/tex] da [tex]ab\lt 1[/tex], lo cual es imposible para enteros positivos. Así, [tex]1\le a\le b\le c[/tex] y [tex]abc=a+b+c\le 3c[/tex], de donde [tex]ab\le 3[/tex]. El caso [tex]a=b=1[/tex] da [tex]c+2=c[/tex] (imposible); [tex]a=1[/tex], [tex]b=2[/tex] da [tex]c=3[/tex]; [tex]a=1[/tex], [tex]b=3[/tex] da [tex]c=2\lt b[/tex]. Por lo tanto, las tangentes son [tex]1; 2; 3[/tex] y su suma es [tex]6[/tex].

Solución:
Ponemos [tex]a=\tan \alpha[/tex], [tex]b=\tan \beta[/tex], [tex]c=\tan \gamma[/tex] con [tex]\alpha; \beta; \gamma\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Entonces
[tex]\tan (\alpha+\beta+\gamma)=\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca}=0[/tex]
(el denominador no es [tex]0[/tex], porque [tex]ab+bc+ca\ge\frac{9abc}{a+b+c}=9[/tex]), así que [tex]\alpha+\beta+\gamma=\pi[/tex]. Además [tex]\frac{1}{1+a^2}=\cos^2\alpha[/tex], y la raíz del último término es [tex]\frac{1}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}[/tex]. La expresión es [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma[/tex]. Ahora
[tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1+\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=1-\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)[/tex]
[tex]\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\cos\gamma\left(-\cos(\alpha+\beta)+2\cos\alpha\cos\beta\right)=\cos\gamma\cos(\alpha-\beta)[/tex]
Por lo tanto, la expresión es igual a [tex]1[/tex].