Expresiones e identidades trigonométricas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Sea [tex]p=\operatorname{sen} ^2\alpha\cos^2\alpha[/tex]. Entonces
[tex]\operatorname{sen} ^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2p; \quad\operatorname{sen} ^8\alpha+\cos^8\alpha=(1-2p)^2-2p^2=1-4p+2p^2[/tex]
La fracción es igual a [tex]\frac{-4p+2p^2}{p}=-4+2p[/tex], y toda la expresión es [tex]-4+2p+1-2p=-3[/tex].

Solución:
Simplificamos paso a paso:
[tex]\frac{\operatorname{sen} 4\alpha}{1+\cos 4\alpha}=\frac{2\operatorname{sen} 2\alpha\cos 2\alpha}{2\cos^2 2\alpha}=\tan 2\alpha[/tex]
[tex]\tan 2\alpha\times \frac{\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{\operatorname{sen} 2\alpha}{2\cos^2\alpha}=\tan \alpha[/tex]
[tex]\tan \alpha\times \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\operatorname{sen} \alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2\operatorname{sen} \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2}[/tex]

Solución:
[tex]\cos 2\alpha=\frac{1-\tan ^2\alpha}{1+\tan ^2\alpha}=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}; \quad\cos 4\alpha=2\cos^2 2\alpha-1=-\frac{7}{9}[/tex]
Por la fórmula del producto de cosenos:
[tex]\cos\alpha\cos 3\alpha=\frac{1}{2}(\cos 4\alpha+\cos 2\alpha)=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{9}-\frac{3}{9}\right)=-\frac{5}{9}[/tex]

Solución:
Como [tex]\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x=\cos(90^{\circ}-x)[/tex], la expresión es igual a [tex]8\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}[/tex]. Multiplicamos y dividimos por [tex]\operatorname{sen} 20^{\circ}[/tex] y usamos tres veces [tex]2\operatorname{sen} x\cos x=\operatorname{sen} 2x[/tex]:
[tex]8\operatorname{sen} 20^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}=4\operatorname{sen} 40^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}=2\operatorname{sen} 80^{\circ}\cos 80^{\circ}=\operatorname{sen} 160^{\circ}=\operatorname{sen} 20^{\circ}[/tex]
Por lo tanto, el valor es [tex]\frac{\operatorname{sen} 20^{\circ}}{\operatorname{sen} 20^{\circ}}=1[/tex].

Solución:
Transformamos el numerador:
[tex]\operatorname{sen} 2\alpha+\operatorname{sen} 6\alpha+\operatorname{sen} 4\alpha=2\operatorname{sen} 4\alpha\cos 2\alpha+2\operatorname{sen} 2\alpha\cos 2\alpha=2\cos 2\alpha(\operatorname{sen} 4\alpha+\operatorname{sen} 2\alpha)=4\cos\alpha\cos 2\alpha\operatorname{sen} 3\alpha[/tex]
Por lo tanto, la fracción es igual a [tex]4[/tex].

Solución:
Llevamos el primer paréntesis a denominador común:
[tex]\frac{(1-\operatorname{sen} \alpha)-(1+\operatorname{sen} \alpha)}{\sqrt{1-\operatorname{sen} ^2\alpha}}=\frac{-2\operatorname{sen} \alpha}{|\cos\alpha|}[/tex]
Del mismo modo, el segundo paréntesis es igual a [tex]\frac{-2\cos\alpha}{|\operatorname{sen} \alpha|}[/tex]. El producto es
[tex]\frac{4\operatorname{sen} \alpha\cos\alpha}{|\operatorname{sen} \alpha|\times |\cos\alpha|}[/tex]
Para [tex]\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi[/tex] se tiene [tex]\operatorname{sen} \alpha\gt 0[/tex] y [tex]\cos\alpha\lt 0[/tex], así que el valor es [tex]-4[/tex].

Solución:
[tex]\operatorname{sen} ^2 17^{\circ}=\frac{1-\cos 34^{\circ}}{2}; \quad\cos^2 47^{\circ}=\frac{1+\cos 94^{\circ}}{2}; \quad\operatorname{sen} 17^{\circ}\cos 47^{\circ}=\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen} 64^{\circ}-\operatorname{sen} 30^{\circ}\right)[/tex]
Además, [tex]\cos 94^{\circ}-\cos 34^{\circ}=-2\operatorname{sen} 64^{\circ}\operatorname{sen} 30^{\circ}=-\operatorname{sen} 64^{\circ}[/tex]. La suma es
[tex]1+\frac{\cos 94^{\circ}-\cos 34^{\circ}}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{sen} 64^{\circ}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}\operatorname{sen} 64^{\circ}+\frac{1}{2}\operatorname{sen} 64^{\circ}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

Solución:
[tex]\operatorname{sen} 78^{\circ}-\operatorname{sen} 42^{\circ}=2\cos 60^{\circ}\operatorname{sen} 18^{\circ}=\operatorname{sen} 18^{\circ}; \quad\operatorname{sen} 6^{\circ}-\operatorname{sen} 66^{\circ}=-2\cos 36^{\circ}\operatorname{sen} 30^{\circ}=-\cos 36^{\circ}[/tex]
Así, [tex]A=\operatorname{sen} 18^{\circ}-\operatorname{sen} 54^{\circ}=-2\cos 36^{\circ}\operatorname{sen} 18^{\circ}[/tex]. Multiplicando por [tex]\cos 18^{\circ}[/tex]:
[tex]A\cos 18^{\circ}=-\cos 36^{\circ}\operatorname{sen} 36^{\circ}=-\frac{1}{2}\operatorname{sen} 72^{\circ}=-\frac{1}{2}\cos 18^{\circ}[/tex]
Por lo tanto, [tex]A=-\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
Usando [tex]\operatorname{sen} u\cos v=\frac{1}{2}\left[\operatorname{sen} (u+v)+\operatorname{sen} (u-v)\right][/tex] con [tex]u+v=2x+\frac{\pi}{12}[/tex] y [tex]u-v=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{6}[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} \left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{sen} \left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{1}{4}[/tex]
El valor mínimo del seno es [tex]-1[/tex], así que el mínimo es [tex]-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}[/tex].

Solución:
Sean [tex]u=\alpha-\frac{\beta}{2}[/tex] y [tex]v=\frac{\alpha}{2}-\beta[/tex]; entonces [tex]u-v=\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]. Ambos ángulos son agudos, así que
[tex]\operatorname{sen} u=\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}; \quad\cos v=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]
[tex]\cos\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos u\cos v+\operatorname{sen} u\operatorname{sen} v=\frac{1}{9}\times \frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{4\sqrt{5}}{9}\times \frac{2}{3}=\frac{9\sqrt{5}}{27}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]

Solución:
Sean [tex]s=\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex] y [tex]d=\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex]. Por las fórmulas de suma, [tex]a=2\cos s\cos d[/tex] y [tex]b=2\operatorname{sen} s\cos d[/tex]. Así,
[tex]a^2+b^2=4\cos^2 d; \quad a^2-b^2=4\cos^2 d\left(\cos^2 s-\operatorname{sen} ^2 s\right)=4\cos^2 d\cos(\alpha+\beta)[/tex]
Como [tex]a^2+b^2\ne 0[/tex], se obtiene [tex]\cos(\alpha+\beta)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/tex].

Solución:
[tex]\cot x-\tan x=\frac{\cos^2 x-\operatorname{sen} ^2 x}{\operatorname{sen} x\cos x}=\frac{2\cos 2x}{\operatorname{sen} 2x}=2\cot 2x[/tex]
Lo aplicamos tres veces:
[tex]\cot \alpha-\tan \alpha=2\cot 2\alpha; \quad 2\cot 2\alpha-2\tan 2\alpha=4\cot 4\alpha; \quad 4\cot 4\alpha-4\tan 4\alpha=8\cot 8\alpha[/tex]

Solución:
Como [tex]\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)[/tex], se tiene [tex]\operatorname{sen} \gamma=\operatorname{sen} (\alpha+\beta)=\operatorname{sen} \alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen} \beta[/tex]. La condición se convierte en
[tex]\operatorname{sen} \alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen} \beta=2\operatorname{sen} \alpha\cos\beta\iff\operatorname{sen} \alpha\cos\beta-\cos\alpha\operatorname{sen} \beta=0\iff\operatorname{sen} (\alpha-\beta)=0[/tex]
Como [tex]-180^{\circ}\lt\alpha-\beta\lt 180^{\circ}[/tex], se obtiene [tex]\alpha-\beta=0[/tex]. Así, [tex]\alpha=\beta[/tex] y el triángulo es isósceles.

Solución:
Como [tex]\operatorname{sen} (\alpha+\beta)=\operatorname{sen} (180^{\circ}-\gamma)=\operatorname{sen} \gamma[/tex] y [tex]\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} 2\alpha+\operatorname{sen} 2\beta=2\operatorname{sen} \gamma\cos(\alpha-\beta); \quad\operatorname{sen} 2\gamma=2\operatorname{sen} \gamma\cos\gamma=-2\operatorname{sen} \gamma\cos(\alpha+\beta)[/tex]
Así, el lado izquierdo es igual a
[tex]2\operatorname{sen} \gamma\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]=2\operatorname{sen} \gamma\times 2\operatorname{sen} \alpha\operatorname{sen} \beta=4\operatorname{sen} \alpha\operatorname{sen} \beta\operatorname{sen} \gamma[/tex]

Solución:
[tex]\operatorname{sen} \alpha+\operatorname{sen} \beta=2\operatorname{sen} \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}; \quad\operatorname{sen} \gamma=\operatorname{sen} (\alpha+\beta)=2\operatorname{sen} \frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]
Como [tex]\operatorname{sen} \frac{\alpha+\beta}{2}\ne 0[/tex], la condición da [tex]\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex]. Desarrollando:
[tex]\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\operatorname{sen} \frac{\alpha}{2}\operatorname{sen} \frac{\beta}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-2\operatorname{sen} \frac{\alpha}{2}\operatorname{sen} \frac{\beta}{2}[/tex]
Así, [tex]3\operatorname{sen} \frac{\alpha}{2}\operatorname{sen} \frac{\beta}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}[/tex], es decir, [tex]\tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}=\frac{1}{3}[/tex]. El valor pedido es [tex]\frac{2}{3}[/tex].

Solución:
Escribimos el producto como
[tex]\frac{\operatorname{sen} \alpha\operatorname{sen} (60^{\circ}-\alpha)}{\cos\alpha\cos(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{\cos(2\alpha-60^{\circ})-\cos 60^{\circ}}{\cos(2\alpha-60^{\circ})+\cos 60^{\circ}}[/tex]
Sea [tex]u=\cos(2\alpha-60^{\circ})[/tex]; entonces [tex]\frac{1}{2}\lt u\le 1[/tex]. La expresión es igual a
[tex]\frac{u-\frac{1}{2}}{u+\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{u+\frac{1}{2}}[/tex]
y crece con [tex]u[/tex]. El máximo se da en [tex]u=1[/tex], es decir, [tex]\alpha=30^{\circ}[/tex]: [tex]1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex].

Solución:
[tex]\operatorname{sen} 3\alpha+\operatorname{sen} 3\beta=2\operatorname{sen} \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3(\alpha-\beta)}{2}; \quad\operatorname{sen} 3\gamma=\operatorname{sen} 3(\alpha+\beta)=2\operatorname{sen} \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3(\alpha+\beta)}{2}[/tex]
Así, la suma es igual a
[tex]2\operatorname{sen} \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\left[\cos\frac{3(\alpha-\beta)}{2}+\cos\frac{3(\alpha+\beta)}{2}\right]=4\operatorname{sen} \frac{3(\alpha+\beta)}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{3\beta}{2}[/tex]
y [tex]\operatorname{sen} \frac{3(\alpha+\beta)}{2}=\operatorname{sen} \left(270^{\circ}-\frac{3\gamma}{2}\right)=-\cos\frac{3\gamma}{2}[/tex]. Por lo tanto, [tex]\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{3\beta}{2}\cos\frac{3\gamma}{2}=0[/tex]. Cada [tex]\frac{3x}{2}[/tex] está en [tex]\left(0^{\circ}; 270^{\circ}\right)[/tex], así que uno de los ángulos cumple [tex]\frac{3x}{2}=90^{\circ}[/tex], es decir, mide [tex]60^{\circ}[/tex]. Los otros dos suman [tex]120^{\circ}[/tex], así que uno mide como máximo [tex]60^{\circ}[/tex] y el otro al menos [tex]60^{\circ}[/tex]. Por lo tanto, el ángulo intermedio mide [tex]60^{\circ}[/tex].

Solución:
Sea [tex]t=\operatorname{sen} \alpha[/tex]:
[tex]15t^2-29t+12=0\iff t=\frac{29\pm 11}{30}[/tex]
es decir, [tex]t=\frac{4}{3}[/tex] (imposible) o [tex]t=\frac{3}{5}[/tex]. En el segundo cuadrante [tex]\cos\alpha=-\frac{4}{5}[/tex]. Entonces
[tex]\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\operatorname{sen} \alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}}=3[/tex]

Solución:
El período de la tangente es [tex]180^{\circ}[/tex] y [tex]2015^{\circ}=11\times 180^{\circ}+35^{\circ}[/tex], así que [tex]\tan 2015^{\circ}=\tan 35^{\circ}[/tex]. Como [tex]35^{\circ}=45^{\circ}-10^{\circ}[/tex]:
[tex]\tan 35^{\circ}=\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ}\tan 10^{\circ}}=\frac{1-a}{1+a}[/tex]